苏科版数学九年级上册期末模拟试卷07（含答案）

这是一份苏科版数学九年级上册期末模拟试卷07（含答案），共31页。试卷主要包含了填空，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知，则= ．
2．一组数据﹣1、1、3、5的极差是 ．
3．已知方程x2﹣6x+m=0有一个根是2，则另一个根是 ，m= ．
4．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF= ．
5．已知⊙O的弦AB=8cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则⊙O的直径为 cm．
6．已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积为 ．
7．在4张完全相同的卡片上分别画上等边三角形、平行四边形、正方形和圆，从中随机摸出1张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是 ．
8．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣2ab+b2，根据这个规则求方程（x﹣4）*1=0的解为 ．
9．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，BD长为 ．
10．如图，多边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠ACD等于 ．
11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论中：①abc＞0 ②2a+b=0 ③b2﹣4ac＜0 ④4a+2b+c＞0⑤a+b≤m（am+b），（m为一切实数）其中正确的是 ．
12．已知二次函数y=x2﹣（2m﹣3）x﹣m，当﹣1＜m＜2时，该函数图象顶点纵坐标y的取值范围是 ．
二、选择题
13．一组数据2、5、4、3、5、4、5的中位数和众数分别是（ ）
A．3.5，5B．4.5，4C．4，4D．4，5
14．在比例尺是1：38000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7cm，它的实际长度约为（ ）
A．266kmB．26.6kmC．2.66kmD．0.266km
15．如图，D、E分别在△ABC的边AB和AE上，下列不能说明△ADE和△ACB相似的是（ ）
A． =B． =C．∠AED=∠BD．∠BDE+∠C=180°
16．若二次函数y=x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2
17．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
三、解答题
18．解下列方程
（1）x2﹣4x﹣5=0 （2）2（x﹣1）+x（x﹣1）=0
19．已知Rt△ABC的三边长为a、b、c，且关于x的一元二次方程x2+（b﹣2）x+b﹣3=0有两个相等的实数根．
（1）求b的值；
（2）若a=3，求c的值．
20．A、B、C三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表和图1：
（1）请将表和图1中的空缺部分补充完整．
（2）竞选的最后一个程序是由本系的200名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能推荐一个），则A在扇形统计图中所占的圆心角是 度．
（3）若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：4：2的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选．
21．在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同），其中白球、黄球各1个，且从中随机摸出一个球是白球的概率是．
（1）求暗箱中红球的个数；
（2）先从暗箱中随机摸出一个球，记下颜色不放回，再从暗箱中随机摸出一个球，求两次摸到的球颜色不同的概率．
22．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．
（1）△ABE与△DFA相似吗？请说明理由；
（2）若AB=3，AD=6，BE=4，求DF的长．
23.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（3）若 AB=6，BD=2，求⊙O的半径．
24．市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=40时，y=120；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用500元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
25．已知如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A和点C（2，0），与y轴交于点D，将△DOC绕点O逆时针旋转90°后，点D恰好与点A重合，点C与点B重合，
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求a和b的值；
（3）已知点E是该抛物线的顶点，求证：AB⊥EB
26．阅读理解
（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=46°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC= °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=28°，求∠BAC的数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心， BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心， BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，求证：∠EFC=∠DFC．
27．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．
（1）直接写出点A和点B的坐标．
（2）求抛物线的函数解析式．
（3）D为直线AB下方抛物线上一动点
①连接DO交AB于点E，若DE：OE=3：4，求点D的坐标．
②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC度数2倍，如果存在，求点D的坐标，如果不存在，说明理由．

参考答案
1．已知，则= ．
【分析】由，得x=y，再代入所求的式子化简即可．
【解答】解：，得x=y，
把x=y，代入=．
故答案为：．
【点评】考查了比例的性质，找出x、y的关系，代入所求式进行约分．

2．一组数据﹣1、1、3、5的极差是 6 ．
【分析】极差是最大值减去最小值，即5﹣（﹣1）即可．
【解答】解：极差为5﹣（﹣1）=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了极差的求法，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．

3．已知方程x2﹣6x+m=0有一个根是2，则另一个根是 4 ，m= 8 ．
【分析】利用根与系数的关系先求出另一根，再利用根与系数的关系即可求出m的值．
【解答】解：设另一根为a，由根与系数的关系可得
2+a=6，解得a=4，可得m=2×4=8．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是熟记根与系数的关系．

4．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF= 4：9 ．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，
∴S△ABC：S△DEF=（）2=．
故答案为：4：9．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比．

5．已知⊙O的弦AB=8cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则⊙O的直径为 10 cm．
【分析】连结OA，先根据垂径定理得到AC=4，然后根据勾股定理计算出OA，从而得到圆的直径．
【解答】解：连结OA，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=×8=4，
在Rt△AOC中，OC=3，
OA==5，
∴⊙O的直径为10cm．
故答案为10．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．

6．已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积为 8π ．
【分析】求出圆锥的底面圆周长，利用公式S=LR即可求出圆锥的侧面积．
【解答】解：圆锥的地面圆周长为2π2=4π，
则圆锥的侧面积为×4π×4=8π．
故答案为8π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，能将圆锥侧面展开是解题的关键，并熟悉相应的计算公式．

7．在4张完全相同的卡片上分别画上等边三角形、平行四边形、正方形和圆，从中随机摸出1张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是 ．
【分析】根据中心对称图形的定义先找出中心对称图形，再用中心对称图形的个数除以所有图形的个数即可求得答案．
【解答】解：∵4张完全相同的卡片中中心对称图形有平行四边形、正方形和圆3个，
∴卡片上的图形是中心对称图形的概率是；
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

8．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣2ab+b2，根据这个规则求方程（x﹣4）*1=0的解为 x1=x2=5 ．
【分析】根据新定义运算法则列出关于x的一元二次方程，然后利用直接开平方法解答．
【解答】解：（x﹣4）*1=（x﹣4）2﹣2（x﹣4）+1=x2﹣10x+25=0，即（x﹣5）2=0，
解得 x1=x2=5，
故答案是：x1=x2=5．
【点评】本题考查学生读题做题的能力．正确理解这种运算的规则是解题的关键．

9．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，BD长为 3 ．
【分析】证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴=，即=，
解得，AB=4，
则BD=AB﹣AD=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

10．如图，多边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠ACD等于 72° ．
【分析】连接OA、OD，根据∠ACD=∠AOD计算即可．
【解答】解：连接OA、OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOD=2×=144°，
∴∠ACD=∠AOD=72°，
故答案为72°．
【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键是记住正n多边形的中心角=，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论中：①abc＞0 ②2a+b=0 ③b2﹣4ac＜0 ④4a+2b+c＞0⑤a+b≤m（am+b），（m为一切实数）其中正确的是 ②④⑤ ．
【分析】①由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，又抛物线与y轴正半轴相交，得到c＞0，可得出abc＜0，选项①错误；
②由对称轴为直线x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，选项②正确；
③由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b2﹣4ac大于0，故③错误；
④由x=2时对应的函数值＞0，将x=2代入抛物线解析式可得出4a+2b+c大于0，得到选项④正确；
⑤由对称轴为直线x=1，即x=1时，y有最小值，可得结论，即可得到⑤正确．
【解答】解：①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴ab＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误；
②∵对称轴为直线x=1，
∴﹣=1，即2a+b=0，②正确，
③∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，③错误；
④∵对称轴为直线x=1，
∴x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，④正确；
⑤∵抛物线开口向下，
∴当x=1时，y有最小值，
∴a+b+c≤am2+bm+c（m为一切实数），
∴a+b≤m（am+b），
故⑤正确；
则其中正确的有②④⑤．
故答案为：②④⑤．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系及最值问题，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），ab的符号由抛物线的对称轴的位置决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意x=1，﹣1，2及﹣2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．

12．已知二次函数y=x2﹣（2m﹣3）x﹣m，当﹣1＜m＜2时，该函数图象顶点纵坐标y的取值范围是 ﹣＜y≤﹣ ．
【分析】利用顶点坐标公式求出顶点的纵坐标，再利用配方法，根据二次函数的性质即可解决问题；
【解答】解：抛物线的顶点纵坐标为y==﹣（m﹣1）2﹣，
∵﹣1＜m＜2，
∴m=1时，顶点y的最大值为﹣，
m=﹣1时，得到y的最小值为﹣，
∴﹣＜y≤﹣，
故答案为﹣＜y≤﹣．
【点评】本题考查二次函数的性质、配方法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13．一组数据2、5、4、3、5、4、5的中位数和众数分别是（ ）
A．3.5，5B．4.5，4C．4，4D．4，5
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，4，4，5，5，5，
中位数为：4，众数为：5．
故选：D．
【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

14．在比例尺是1：38000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7cm，它的实际长度约为（ ）
A．266kmB．26.6kmC．2.66kmD．0.266km
【分析】根据游览图上的距离与实际距离的比就是比例尺，列出比例式求解即可．
【解答】解：设玄武湖的实际长度是xcm，根据题意得：7：x=1：38000．
解得：x=266000cm=2.66千米．
故选：C．
【点评】本题主要考查了比例尺的含义，实际就是比例的问题．

15．如图，D、E分别在△ABC的边AB和AE上，下列不能说明△ADE和△ACB相似的是（ ）
A． =B． =C．∠AED=∠BD．∠BDE+∠C=180°
【分析】由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可．
【解答】解：由题意得，∠A=∠A，
A、当=时，不能推断△ADE与△ABC相似；故本选项符合题意；
B、当=时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意；
C、当∠AED=∠B时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意；
D、当∠BDE+∠C=180°时，则∠ADE=∠C，故△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．

16．若二次函数y=x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2
【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为x=﹣=3．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【解答】解：∵二次函数y=x2﹣6x+c，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x=3．
∵点（﹣1，y1）、（2，y2）、（5，y3）都在二次函数y=x2﹣6x+c的图象上，
而三点横坐标离对称轴x=3的距离按由远到近为：
（﹣1，y1）、（5，y3）、（2，y2），
∴y2＜y3＜y1
故选：B．
【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据函数关系式，找出对称轴．

17．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；
【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD=90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD==12，
BM===13，
∴BH的最小值为BM﹣MH=13﹣5=8．
故选：D．
【点评】本题考查时与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线=圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

三、解答题（本大题共10小题，共81分）
18．（8分）解下列方程
（1）x2﹣4x﹣5=0
（2）2（x﹣1）+x（x﹣1）=0
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法把方程化为x﹣1=0或2+x=0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣5）（x+1）=0，
x﹣5=0或x+1=0，
所以x1=5，x2=﹣1；
（2）（x﹣1）（2+x）=0
x﹣1=0或2+x=0，
所以x1=1，x2=﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

19．（6分）已知Rt△ABC的三边长为a、b、c，且关于x的一元二次方程x2+（b﹣2）x+b﹣3=0有两个相等的实数根．
（1）求b的值；
（2）若a=3，求c的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到（b﹣2）2﹣4×（b﹣3）=0，然后解方程可求出b的值；
（2）讨论：当c为斜边或b为斜边时，利用勾股定理可计算出对应的c的值．
【解答】解：（1）∵方程有两个相等的实数根
∴（b﹣2）2﹣4×（b﹣3）=0
∴b=4；
（2）当c为斜边时，c==5；
当b为斜边时，c==，
即c的值为5或．
【点评】本题考查了判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了勾股定理．

20．（7分）A、B、C三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表和图1：
（1）请将表和图1中的空缺部分补充完整．
（2）竞选的最后一个程序是由本系的200名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能推荐一个），则A在扇形统计图中所占的圆心角是 126 度．
（3）若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：4：2的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选．
【分析】（1）根据条形统计图和统计表中的数据，即可得到结果；
（2）利用A所占的比例乘以360度即可求解；
（3）首先求得A、B、C的投票得分，然后利用加权平均数公式即可求解．
【解答】解：（1）由图1可得，表格所填数据为90，
由表格可得条形图如下：
（2）A在扇形统计图中所占的圆心角是360°×35%=126°；
故答案为：126；
（3）A得票分数200×35%=70（分）、B得票分数200×40%=80（分），C得票分数200×25%=50（分），
将笔试、口试、得票三项测试得分按4：4：2的比例确定个人成绩，则
A最后分数：85×+90×+70×=34+36+14=84（分），
B最后分数：95×+80×+80×=38+32+16=86（分），
C最后分数：90×+85×+50×=36+34+10=80（分），
∴B当选．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．

21．（6分）在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同），其中白球、黄球各1个，且从中随机摸出一个球是白球的概率是．
（1）求暗箱中红球的个数；
（2）先从暗箱中随机摸出一个球，记下颜色不放回，再从暗箱中随机摸出一个球，求两次摸到的球颜色不同的概率．
【分析】（1）设红球有x个，根据意摸出一个球是白球的概率是列方程求解可得；
（2）根据题意先列出表格，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）设红球有x个数，
根据题意得=，解得x=2，
所以暗箱中红球的个数为2个；
（2）根据题意列表如下：
∵一共有12种情况，两次摸到的球颜色不同的有10种情况，
∴两次摸到的球颜色不同的概率为=．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22．（6分）如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．
（1）△ABE与△DFA相似吗？请说明理由；
（2）若AB=3，AD=6，BE=4，求DF的长．
【分析】（1）两三角形相似，只要证明∠B=∠AFD，∠AEB=∠DAE即可；
（2）理由勾股定理求出AE，△ABE∽△DFA，可得=即可解决问题；
【解答】解：（1）相似．
理由：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠B=∠AFD=90°，
在△ABE与△DFA中：
∠B=∠AFD，∠AEB=∠DAE
∴△ABE∽△DFA．
（2）在Rt△ABE中，AB=3，BE=4，
∴AE=5，
△ABE∽△DFA
∴=，
∴=，
∴DF=3.6．
【点评】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

23．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（3）若 AB=6，BD=2，求⊙O的半径．
【分析】（1）作AD的中垂线与AB交于点O，以O为圆心OA为半径作⊙O即可；
（2）结论：相切．只要证明OD⊥BC即可；
（3）设OA=OD=x，在Rt△BDO中，根据OD2+BD2=OB2，构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）如图⊙O即为所求；
（2）结论：相切．
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠BDO=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（3）设OA=OD=x，
在Rt△BDO中，∵OD2+BD2=OB2，
∴x2+（2）2=（6﹣x）2，
∴x=2，
∴⊙O的半径为2．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、直线与圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

24．（10分）市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=40时，y=120；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用500元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式；
（3）将（2）中所得函数解析式配方成顶点式后，再结合x的取值范围，依据二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设y=kx+b，
则，
解得：，
则y=﹣2x+200 （30≤x≤60）；
（2）W=（x﹣30）（﹣2x+200）﹣500=﹣2x2+260x﹣6500；
（3）∵W=﹣2x2+260x﹣6500=﹣2（x﹣65）2+1950，
∴当x＜65时，W随x的增大而增大，
∵30≤x≤60，
∴当x=60时，W取得最大值，最大值为﹣2（60﹣65）2+1950=1900，
答：当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大获利是1900元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系，并据此列出函数解析式和待定系数法求函数解析式、二次函数的性质．

25．（10分）已知如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A和点C（2，0），与y轴交于点D，将△DOC绕点O逆时针旋转90°后，点D恰好与点A重合，点C与点B重合，
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求a和b的值；
（3）已知点E是该抛物线的顶点，求证：AB⊥EB
【分析】（1）由抛物线解析式可求得D的坐标，利用旋转的性质可求得OA、OB的长，则可求得A、B点的坐标；
（2）把A、C坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值；
（3）由抛物线解析式可求得E的坐标，则可求得AB、BE和AE的长，利用勾股定理的逆定理可证得结论．
【解答】解：
（1）在y=ax2+bx+6中，令x=0可得y=6，
∴D（0，6），且C（2，0），
∴OC=2，OD=6，
∵将△DOC绕点O逆时针旋转90°后得到△AOB，
∴OA=OD=6，OB=OC=2，
∴A（﹣6，0）、B（0，2）；
（2）把A、C坐标代入抛物线解析式可得，解得；
（3）由（2）可知抛物线解析式为y=x2+2x﹣6=（x+2）2﹣8，
∴E（﹣2，8），
∵A（﹣6，0），B（0，2），
∴AB2=（0+6）2+22=40，EB2=（0+2）2+（2﹣8）2=40，AE2=（﹣6+2）2+（0﹣8）2=80，
∴AB2+BE2=AE2，
∴△ABE是以AE为斜边的直角三角形，
∴AB⊥BE．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及旋转的性质、待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及逆定理的应用等知识．在（1）中注意旋转性质的应用，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中注意勾股定理及逆定理的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

26．（10分）阅读理解
（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=46°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC= 23 °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=28°，求∠BAC的数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心， BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心， BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，求证：∠EFC=∠DFC．
【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，
（3）先判断出点A、F、H、E在以AH为直径的同一个圆上，得出∠EFC=∠DAC，同理得出∠DFC=∠CBE，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，∵AB=AC，AD=AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC=∠BAC=23°，
故答案是：23°；
（2）证明：取BD中点O，连接AO、CO，
在Rt△BAO中，AO=BD，
同理：CO=BD
∴AO=DO=CO=BO，
∴点A、B、C、D在以O为圆心的同一个圆上，
∴∠BAC=∠BDC=28°；
（3）∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴点A、F、H、E在以AH为直径的同一个圆上，
∴∠EFC=∠DAC，
同理：点B、D、H、E在以BH为直径的同一个圆上，
∠DFC=∠CBE，
又∵∠DAC=∠EBC，
∴∠EFC=∠DFC．
【点评】本题主要考查了圆的综合题，主要考查了同弧所对的圆周角相似，直角三角形的性质，判断四点共圆是解本题的关键．

27．（10分）已知，如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．
（1）直接写出点A和点B的坐标．
（2）求抛物线的函数解析式．
（3）D为直线AB下方抛物线上一动点
①连接DO交AB于点E，若DE：OE=3：4，求点D的坐标．
②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC度数2倍，如果存在，求点D的坐标，如果不存在，说明理由．
【分析】（1）分别令x=0和y=0代入y=﹣x﹣2中可得点A和点B的坐标．
（2）利用待定系数法求抛物线的函数解析式；
（3）①证明△DFE∽△OBE，则，得FD=，可列方程：（﹣ m﹣2）﹣（）=，解出即可；②在y轴的正半轴上截取OH=OB，可得△ABH是等腰三角形，根据直线BD与抛物线的解析式列方程组可得点D的坐标．
【解答】本题共（10分）
解：（1）当x=0时，y=﹣2，
∴B（0，﹣2），
当y=0时，﹣ x﹣2=0，x=﹣4，
∴A（﹣4，0）；（，每个1分）
（2）把A（﹣4，0），B（0，﹣2）代入y=x2+bx+c中得：
，解得：
∴抛物线的函数解析式为：y=x2+x﹣2；（4分）
（3）①如图1，过点D作x轴的垂线交AB于点F，设点D（m，），F（m，﹣ m﹣2），
∵DF∥OB，
∴△DFE∽△OBE，
∴，
∵DE：OE=3：4，
∴FD：BO=3：4，
∴，
即：FD=，
∴（﹣m﹣2）﹣（）=，（5分）
解之得：m1=﹣1，m2=﹣3，（6分）
∴D的坐标为（﹣1，﹣3）或（﹣3，﹣2）；（7分）
②存在，
如图2，在y轴的正半轴上截取OH=OB，可得△ABH是等腰三角形，
∴∠BAH=2∠BAC，
∵∠DBA=2∠BAC，
∴∠DBA=∠BAH，
∴AH∥DB，
∴直线AH的解析式是：y=x+2，则直线DB的解析式是：y=x﹣2（8分）
则，解得：或（舍）
解得点D的坐标（﹣2，﹣3）（10分）
（其它方法，酌情给分）
【点评】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识、三角形相似、平行线的性质以及两函数的交点问题．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
竞选人
A
B
C
笔试
85
95
90
口试

80
85
竞选人
A
B
C
笔试
85
95
90
口试
90
80
85
第一次
红1
红2
黄
白
红1
（红1，红2）
（红1，黄）
（红1，白）
红2
（红2，红1）
（红2，黄）
（红2，白）
黄
（黄，红1）
（黄，红2）
（黄，白）
白
（白，红1）
（白，红2）
（白，黄）