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苏科版数学九年级上册月考复习试卷07（含答案）
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这是一份苏科版数学九年级上册月考复习试卷07（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
苏科版数学九年级上册月考复习试卷
一、选择题
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．3（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1
2．方程x2=9的解是（ ）
A．x1=x2=3 B．x1=x2=9 C．x1=3，x2=﹣3 D．x1=9，x2=﹣9
3．如图，已知A，B，C为⊙O上三点，若∠AOB=80°，则∠ACB度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．40°
4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则以A，B，C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（3，1） D．（1，3）
5．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．20°
6．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．AD=BD B．OC=2CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB
二、填空题
7．一元二次方程x2﹣2x=0的解为 ．
8．关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是 ．
9．当x= 时，代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2．
10．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA= cm．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB= cm时，BC与⊙A相切．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为 °．
13．已知⊙O的半径为2，则其内接正三角形的面积为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 ．
15．如图，将长为10cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形= cm2．
16．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k= ．
三、解答题
17．解下列方程：
（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2） （2）x2﹣5x+1=0（用配方法）．
18．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
19．已知某等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程x2﹣6x+5=0的两根，求此三角形的周长．
20．已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．
求证：△ADE是等腰三角形．
21．如图，要建一个面积为45m2的长方形养鸡场（分为两片），养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙，另几条边用总长为22m的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽1m的门、求这个养鸡场的长与宽．
22．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．
（1）求∠DOA的度数；
（2）求证：直线ED与⊙O相切．
23．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，求圆片的半径R．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠C=22.5°，求阴影部分的面积．
25．已知⊙O的直径AB的长为4cm，C是⊙O上一点，∠BAC=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，求CP的长．
26．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状： ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
27．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别与EF，GF交于I，H两点．
（1）求∠FDE的度数；
（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；
（3）当G为线段DC的中点时，
①求证：FD=FI；
②设AC=2m，BD=2n，求m：n的值．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．3（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1
【考点】A1：一元二次方程的定义．
【分析】一元二次方程有四个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
（4）二次项系数不为0．
【解答】解：
A、3（x+1）2=2（x+1）化简得3x2+4x﹣4=0，是一元二次方程，故正确；
B、方程不是整式方程，故错误；
C、若a=0，则就不是一元二次方程，故错误；
D、是一元一次方程，故错误．
故选：A．
2．方程x2=9的解是（ ）
A．x1=x2=3 B．x1=x2=9 C．x1=3，x2=﹣3 D．x1=9，x2=﹣9
【考点】A5：解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：x2=9，
两边开平方，得x1=3，x2=﹣3．
故选C．
3．如图，已知A，B，C为⊙O上三点，若∠AOB=80°，则∠ACB度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．40°
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB=∠AOB，代入求出即可．
【解答】解：∵∠AOB=80°，
∴∠ACB=∠AOB=40°，
故选D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则以A，B，C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（3，1） D．（1，3）
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；D5：坐标与图形性质．
【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
【解答】解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．
故选C．
5．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．20°
【考点】MC：切线的性质．
【分析】由AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，推出AD⊥AB，∠DAC=∠B=∠AOC=40°，推出∠AOD=50°．
【解答】解：∵AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=∠AOC=40°，
∴∠ADB=90°﹣∠B=50°，
故选B．
6．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．AD=BD B．OC=2CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB
【考点】M2：垂径定理；L9：菱形的判定．
【分析】利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．
【解答】解：OC=2CD．理由如下：
∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，
∴AD=DB，
∵OC=2CD，
∴AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，
∴四边形OACB为菱形．
故选B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
7．一元二次方程x2﹣2x=0的解为 x1=0，x2=2 ．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x（x﹣2）=0，
可得x=0或x﹣2=0，
解得：x1=0，x2=2．
故答案为：x1=0，x2=2
8．关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣6 ．
【考点】AA：根的判别式；85：一元一次方程的解．
【分析】由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．
【解答】解：当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣，
当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣=0是一元二次方程，
根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，
解得k≥﹣6，k≠0，
综上k≥﹣6，
故答案为k≥﹣6．
9．当x= ﹣1 时，代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2．
【考点】A5：解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2，即将两式相减值为2，即可得到关于x的方程，解方程可得出答案．
【解答】解：由题意得：x2﹣3x﹣（2x2﹣x﹣1）=2
∴可得：﹣x2﹣2x﹣1=0
∴（x+1）2=0，故x=﹣1．
10．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA= 5 cm．
【考点】MG：切线长定理．
【分析】由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．
【解答】解：如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA=PB；
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；
∴PA=PB=5cm，
故答案为：5．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB= 6 cm时，BC与⊙A相切．
【考点】MD：切线的判定．
【分析】当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB=AC，∠B=30°，
∴AD=AB，即AB=2AD．
又∵BC与⊙A相切，
∴AD就是圆A的半径，
∴AD=3cm，
则AB=2AD=6cm．
故答案是：6．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为 80 °．
【考点】MI：三角形的内切圆与内心．
【分析】连接DO，FO，利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=90°，再利用三角形内角和以及四边形内角和定理求出∠DOF的度数，进而利用圆周角定理得出∠DEF的度数．
【解答】解：连接DO，FO，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°
∴∠A=20°，
∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴∠ODA=∠OFA=90°，
∴∠DOF=160°，
∴∠DEF的度数为80°．
13．已知⊙O的半径为2，则其内接正三角形的面积为 3 ．
【考点】MM：正多边形和圆．
【分析】连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB=90°，BD=CD，∠OBC=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OD，由勾股定理求出BD，得出BC，根据△ABC的面积=3S△OBC计算即可．
【解答】解：如图所示，
连接OB、OC，作OD⊥BC于D，
则∠ODB=90°，BD=CD，∠OBC=30°，
∴OD=OB=1，
∴BD==，
∴BC=2BD=2，
∴△ABC的面积=3S△OBC=3××BC×OD=3××2×1=3．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 3＜r＜5 ．
【考点】M8：点与圆的位置关系．
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，
则BD==5．
由图可知3＜r＜5．
故答案为：3＜r＜5．
15．如图，将长为10cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形= 6 cm2．
【考点】MO：扇形面积的计算．
【分析】扇形的周长等于AB的长，AB得长﹣2r求得扇形的弧长，再根据S扇形=lr计算即可．
【解答】解：l+4=10，
l=6，
S扇形=lr=×6×2=6，
故答案为6．
16．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k= ﹣5 ．
【考点】MC：切线的性质；F8：一次函数图象上点的坐标特征；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r，AD=AE，再利用勾股定理计算出OB=6，则可判断△OBC为等腰直角三角形，从而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r，AE=AD=2+r，通过证明△ACH∽△ABO，利用相似比计算出CH=，接着利用勾股定理计算出AH=，所以BH=10﹣=，然后证明△BEP∽△BHC，利用相似比得到即=，解得r=1，从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值．
【解答】解：作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，
∵⊙P与边AB，AO都相切，
∴PD=PE=r，AD=AE，
在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10，
∴OB==6，
∵AC=2，
∴OC=6，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴△PCD为等腰直角三角形，
∴PD=CD=r，
∴AE=AD=2+r，
∵∠CAH=∠BAO，
∴△ACH∽△ABO，
∴=，即=，解得CH=，
∴AH===，
∴BH=10﹣=，
∵PE∥CH，
∴△BEP∽△BHC，
∴=，即=，解得r=1，
∴OD=OC﹣CD=6﹣1=5，
∴P（5，﹣1），
∴k=5×（﹣1）=﹣5．
故答案为﹣5．
三、解答题（本大题共11小题，共102分）
17．解下列方程：
（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2）
（2）x2﹣5x+1=0（用配方法）．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；A6：解一元二次方程﹣配方法．
【分析】（1）因式分解法求解可得；
（2）配方法求解可得．
【解答】解：（1）∵3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，
∴（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]=0，即（x﹣2）（2x﹣6）=0，
则x﹣2=0或2x﹣6=0，
解得：x=2或x=3；
（2）∵x2﹣5x=﹣1，
∴x2﹣5x+=﹣1+，即（x﹣）2=，
则x﹣=±，
∴x=．
18．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【考点】AA：根的判别式；A3：一元二次方程的解；AB：根与系数的关系．
【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
【解答】解：（1）∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
19．已知某等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程x2﹣6x+5=0的两根，求此三角形的周长．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质．
【分析】利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=5，利用三角形三边的关系得等腰三角形的腰为5，底为1，然后计算三角形的周长．
【解答】解：（x﹣1）（x﹣5）=0，
x﹣1=0或x﹣5=0，
所以x1=1，x2=5，
因为1+1=2＜5，
所以等腰三角形的腰为5，底为1，
所以三角形的周长为5+5+1=11．
20．已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．
求证：△ADE是等腰三角形．
【考点】M6：圆内接四边形的性质；KI：等腰三角形的判定．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠BCE，根据等腰三角形的判定和性质定理证明．
【解答】证明：∵A，B，C，D是⊙O上的四点，
∴∠A=∠BCE，
∵BC=BE，
∴∠E=∠BCE，
∴∠A=∠E，
∴DA=DE，即△ADE是等腰三角形．
21．如图，要建一个面积为45m2的长方形养鸡场（分为两片），养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙，另几条边用总长为22m的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽1m的门、求这个养鸡场的长与宽．
【考点】&E：二元二次方程组．
【分析】设鸡场的长为xm，宽为ym，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．
【解答】解：设鸡场的长为xm，宽为ym，由题意可得：
，且x＜14，解得y=3或5；
当y=3，x=15；
∵x＜14，
∴不合题意，舍去；
当y=5时，x=9，经检验符合题意．
答：这个养鸡场的长为9m，宽为5m．
22．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．
（1）求∠DOA的度数；
（2）求证：直线ED与⊙O相切．
【考点】MD：切线的判定．
【分析】（1）根据圆周角定理即可得到结论；
（2）连接OE，通过△EAO≌△EDO，即可得到∠EDO=90°，于是得到结论．
【解答】（1）解；∵∠DBA=50°，
∴∠DOA=2∠DBA=100°，
（2）证明：连接OE．
在△EAO与△EDO中，，
∴△EAO≌△EDO，
∴∠EDO=∠EAO，
∵∠BAC=90°，
∴∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切．
23．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，求圆片的半径R．
【考点】M3：垂径定理的应用；KH：等腰三角形的性质．
【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；
（2）构建直角△BOE，利用勾股定理列方程可得结论．
【解答】解：（1）作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；
（2）连接AO、BO，AO交BC于E，
∵AB=AC，
∴AE⊥BC，
∴BE=BC=×8=4，
在Rt△ABE中，AE===3，
设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中，
OB2=BE2+OE2，
即R2=42+（R﹣3）2，
R=，
答：圆片的半径R为cm．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠C=22.5°，求阴影部分的面积．
【考点】MC：切线的性质；KH：等腰三角形的性质；MO：扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代换得∠ODB=∠ACB，利用平行线的判定得OD∥AC，由切线的性质得DF⊥OD，得出结论；
（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．
【解答】解：
（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD，
∴DF⊥AC．
（2）解：连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°，
∵⊙O的半径为4，
∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，
∴S阴影=4π﹣8．
25．已知⊙O的直径AB的长为4cm，C是⊙O上一点，∠BAC=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，求CP的长．
【考点】MC：切线的性质．
【分析】连接OC，即可求得∠P=30°，从而求得OP的长，再根据勾股定理即可求CP的长．
【解答】解：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO=30°，
∴∠COB=60°，
∵PC是切线，
∴OC⊥PC，
∴∠P=30°，
∴OP=2OC=4cm，
∴CP==2．
26．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状： 等边三角形 ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
【考点】M5：圆周角定理；KD：全等三角形的判定与性质；KM：等边三角形的判定与性质；M2：垂径定理．
【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得；
（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．
【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）在PC上截取PD=AP，如图1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP；
（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB=AB•PE，S△ABC=AB•CF，
∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=，
∴S四边形APBC=×2×=．
27．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别与EF，GF交于I，H两点．
（1）求∠FDE的度数；
（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；
（3）当G为线段DC的中点时，
①求证：FD=FI；
②设AC=2m，BD=2n，求m：n的值．
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠FDE的度数；
（2）利用平行四边形的判定方法，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；
（3）①利用圆周角定理可得出∠1=∠2，进而得到∠3=∠4，即可得出答案；
②利用菱形的性质以及平行四边形的性质得出EF=FI+IE=FD+AE=3m，进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：（1）∵EF是⊙O的直径，
∴∠FDE=90°；
（2）四边形FACD是平行四边形．
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠AEB=90°．
又∵∠FDE=90°，
∴∠AEB=∠FDE，
∴AC∥DF，
∴四边形FACD是平行四边形；
（3）①连接GE，如图．
∵四边形ABCD是菱形，
∴点E为AC中点．
∵G为线段DC的中点，
∴GE∥DA，
∴∠FHI=∠FGE．
∵EF是⊙O的直径，
∴∠FGE=90°，
∴∠FHI=90°．
∵∠DEC=∠AEB=90°，G为线段DC的中点，
∴DG=GE，
∴=，
∴∠1=∠2．
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∴FD=FI；
②∵AC∥DF，
∴∠3=∠6．
∵∠4=∠5，∠3=∠4，
∴∠5=∠6，
∴EI=EA．
∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形，
∴DE=BE=n，AE=EC=m，FD=AC=2m，
∴EF=FI+IE=FD+AE=3m．
在Rt△EDF中，根据勾股定理可得：
n2+（2m）2=（3m）2，
即n=m，
∴m：n=：5．
苏科版数学九年级上册月考复习试卷
一、选择题
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．3（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1
2．方程x2=9的解是（ ）
A．x1=x2=3 B．x1=x2=9 C．x1=3，x2=﹣3 D．x1=9，x2=﹣9
3．如图，已知A，B，C为⊙O上三点，若∠AOB=80°，则∠ACB度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．40°
4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则以A，B，C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（3，1） D．（1，3）
5．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．20°
6．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．AD=BD B．OC=2CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB
二、填空题
7．一元二次方程x2﹣2x=0的解为 ．
8．关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是 ．
9．当x= 时，代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2．
10．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA= cm．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB= cm时，BC与⊙A相切．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为 °．
13．已知⊙O的半径为2，则其内接正三角形的面积为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 ．
15．如图，将长为10cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形= cm2．
16．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k= ．
三、解答题
17．解下列方程：
（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2） （2）x2﹣5x+1=0（用配方法）．
18．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
19．已知某等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程x2﹣6x+5=0的两根，求此三角形的周长．
20．已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．
求证：△ADE是等腰三角形．
21．如图，要建一个面积为45m2的长方形养鸡场（分为两片），养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙，另几条边用总长为22m的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽1m的门、求这个养鸡场的长与宽．
22．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．
（1）求∠DOA的度数；
（2）求证：直线ED与⊙O相切．
23．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，求圆片的半径R．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠C=22.5°，求阴影部分的面积．
25．已知⊙O的直径AB的长为4cm，C是⊙O上一点，∠BAC=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，求CP的长．
26．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状： ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
27．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别与EF，GF交于I，H两点．
（1）求∠FDE的度数；
（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；
（3）当G为线段DC的中点时，
①求证：FD=FI；
②设AC=2m，BD=2n，求m：n的值．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．3（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1
【考点】A1：一元二次方程的定义．
【分析】一元二次方程有四个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
（4）二次项系数不为0．
【解答】解：
A、3（x+1）2=2（x+1）化简得3x2+4x﹣4=0，是一元二次方程，故正确；
B、方程不是整式方程，故错误；
C、若a=0，则就不是一元二次方程，故错误；
D、是一元一次方程，故错误．
故选：A．
2．方程x2=9的解是（ ）
A．x1=x2=3 B．x1=x2=9 C．x1=3，x2=﹣3 D．x1=9，x2=﹣9
【考点】A5：解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：x2=9，
两边开平方，得x1=3，x2=﹣3．
故选C．
3．如图，已知A，B，C为⊙O上三点，若∠AOB=80°，则∠ACB度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．40°
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB=∠AOB，代入求出即可．
【解答】解：∵∠AOB=80°，
∴∠ACB=∠AOB=40°，
故选D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则以A，B，C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（3，1） D．（1，3）
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；D5：坐标与图形性质．
【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
【解答】解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．
故选C．
5．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．20°
【考点】MC：切线的性质．
【分析】由AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，推出AD⊥AB，∠DAC=∠B=∠AOC=40°，推出∠AOD=50°．
【解答】解：∵AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=∠AOC=40°，
∴∠ADB=90°﹣∠B=50°，
故选B．
6．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．AD=BD B．OC=2CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB
【考点】M2：垂径定理；L9：菱形的判定．
【分析】利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．
【解答】解：OC=2CD．理由如下：
∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，
∴AD=DB，
∵OC=2CD，
∴AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，
∴四边形OACB为菱形．
故选B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
7．一元二次方程x2﹣2x=0的解为 x1=0，x2=2 ．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x（x﹣2）=0，
可得x=0或x﹣2=0，
解得：x1=0，x2=2．
故答案为：x1=0，x2=2
8．关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣6 ．
【考点】AA：根的判别式；85：一元一次方程的解．
【分析】由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．
【解答】解：当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣，
当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣=0是一元二次方程，
根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，
解得k≥﹣6，k≠0，
综上k≥﹣6，
故答案为k≥﹣6．
9．当x= ﹣1 时，代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2．
【考点】A5：解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2，即将两式相减值为2，即可得到关于x的方程，解方程可得出答案．
【解答】解：由题意得：x2﹣3x﹣（2x2﹣x﹣1）=2
∴可得：﹣x2﹣2x﹣1=0
∴（x+1）2=0，故x=﹣1．
10．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA= 5 cm．
【考点】MG：切线长定理．
【分析】由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．
【解答】解：如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA=PB；
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；
∴PA=PB=5cm，
故答案为：5．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB= 6 cm时，BC与⊙A相切．
【考点】MD：切线的判定．
【分析】当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB=AC，∠B=30°，
∴AD=AB，即AB=2AD．
又∵BC与⊙A相切，
∴AD就是圆A的半径，
∴AD=3cm，
则AB=2AD=6cm．
故答案是：6．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为 80 °．
【考点】MI：三角形的内切圆与内心．
【分析】连接DO，FO，利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=90°，再利用三角形内角和以及四边形内角和定理求出∠DOF的度数，进而利用圆周角定理得出∠DEF的度数．
【解答】解：连接DO，FO，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°
∴∠A=20°，
∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴∠ODA=∠OFA=90°，
∴∠DOF=160°，
∴∠DEF的度数为80°．
13．已知⊙O的半径为2，则其内接正三角形的面积为 3 ．
【考点】MM：正多边形和圆．
【分析】连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB=90°，BD=CD，∠OBC=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OD，由勾股定理求出BD，得出BC，根据△ABC的面积=3S△OBC计算即可．
【解答】解：如图所示，
连接OB、OC，作OD⊥BC于D，
则∠ODB=90°，BD=CD，∠OBC=30°，
∴OD=OB=1，
∴BD==，
∴BC=2BD=2，
∴△ABC的面积=3S△OBC=3××BC×OD=3××2×1=3．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 3＜r＜5 ．
【考点】M8：点与圆的位置关系．
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，
则BD==5．
由图可知3＜r＜5．
故答案为：3＜r＜5．
15．如图，将长为10cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形= 6 cm2．
【考点】MO：扇形面积的计算．
【分析】扇形的周长等于AB的长，AB得长﹣2r求得扇形的弧长，再根据S扇形=lr计算即可．
【解答】解：l+4=10，
l=6，
S扇形=lr=×6×2=6，
故答案为6．
16．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k= ﹣5 ．
【考点】MC：切线的性质；F8：一次函数图象上点的坐标特征；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r，AD=AE，再利用勾股定理计算出OB=6，则可判断△OBC为等腰直角三角形，从而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r，AE=AD=2+r，通过证明△ACH∽△ABO，利用相似比计算出CH=，接着利用勾股定理计算出AH=，所以BH=10﹣=，然后证明△BEP∽△BHC，利用相似比得到即=，解得r=1，从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值．
【解答】解：作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，
∵⊙P与边AB，AO都相切，
∴PD=PE=r，AD=AE，
在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10，
∴OB==6，
∵AC=2，
∴OC=6，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴△PCD为等腰直角三角形，
∴PD=CD=r，
∴AE=AD=2+r，
∵∠CAH=∠BAO，
∴△ACH∽△ABO，
∴=，即=，解得CH=，
∴AH===，
∴BH=10﹣=，
∵PE∥CH，
∴△BEP∽△BHC，
∴=，即=，解得r=1，
∴OD=OC﹣CD=6﹣1=5，
∴P（5，﹣1），
∴k=5×（﹣1）=﹣5．
故答案为﹣5．
三、解答题（本大题共11小题，共102分）
17．解下列方程：
（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2）
（2）x2﹣5x+1=0（用配方法）．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；A6：解一元二次方程﹣配方法．
【分析】（1）因式分解法求解可得；
（2）配方法求解可得．
【解答】解：（1）∵3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，
∴（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]=0，即（x﹣2）（2x﹣6）=0，
则x﹣2=0或2x﹣6=0，
解得：x=2或x=3；
（2）∵x2﹣5x=﹣1，
∴x2﹣5x+=﹣1+，即（x﹣）2=，
则x﹣=±，
∴x=．
18．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【考点】AA：根的判别式；A3：一元二次方程的解；AB：根与系数的关系．
【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
【解答】解：（1）∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
19．已知某等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程x2﹣6x+5=0的两根，求此三角形的周长．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质．
【分析】利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=5，利用三角形三边的关系得等腰三角形的腰为5，底为1，然后计算三角形的周长．
【解答】解：（x﹣1）（x﹣5）=0，
x﹣1=0或x﹣5=0，
所以x1=1，x2=5，
因为1+1=2＜5，
所以等腰三角形的腰为5，底为1，
所以三角形的周长为5+5+1=11．
20．已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．
求证：△ADE是等腰三角形．
【考点】M6：圆内接四边形的性质；KI：等腰三角形的判定．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠BCE，根据等腰三角形的判定和性质定理证明．
【解答】证明：∵A，B，C，D是⊙O上的四点，
∴∠A=∠BCE，
∵BC=BE，
∴∠E=∠BCE，
∴∠A=∠E，
∴DA=DE，即△ADE是等腰三角形．
21．如图，要建一个面积为45m2的长方形养鸡场（分为两片），养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙，另几条边用总长为22m的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽1m的门、求这个养鸡场的长与宽．
【考点】&E：二元二次方程组．
【分析】设鸡场的长为xm，宽为ym，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．
【解答】解：设鸡场的长为xm，宽为ym，由题意可得：
，且x＜14，解得y=3或5；
当y=3，x=15；
∵x＜14，
∴不合题意，舍去；
当y=5时，x=9，经检验符合题意．
答：这个养鸡场的长为9m，宽为5m．
22．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．
（1）求∠DOA的度数；
（2）求证：直线ED与⊙O相切．
【考点】MD：切线的判定．
【分析】（1）根据圆周角定理即可得到结论；
（2）连接OE，通过△EAO≌△EDO，即可得到∠EDO=90°，于是得到结论．
【解答】（1）解；∵∠DBA=50°，
∴∠DOA=2∠DBA=100°，
（2）证明：连接OE．
在△EAO与△EDO中，，
∴△EAO≌△EDO，
∴∠EDO=∠EAO，
∵∠BAC=90°，
∴∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切．
23．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，求圆片的半径R．
【考点】M3：垂径定理的应用；KH：等腰三角形的性质．
【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；
（2）构建直角△BOE，利用勾股定理列方程可得结论．
【解答】解：（1）作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；
（2）连接AO、BO，AO交BC于E，
∵AB=AC，
∴AE⊥BC，
∴BE=BC=×8=4，
在Rt△ABE中，AE===3，
设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中，
OB2=BE2+OE2，
即R2=42+（R﹣3）2，
R=，
答：圆片的半径R为cm．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠C=22.5°，求阴影部分的面积．
【考点】MC：切线的性质；KH：等腰三角形的性质；MO：扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代换得∠ODB=∠ACB，利用平行线的判定得OD∥AC，由切线的性质得DF⊥OD，得出结论；
（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．
【解答】解：
（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD，
∴DF⊥AC．
（2）解：连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°，
∵⊙O的半径为4，
∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，
∴S阴影=4π﹣8．
25．已知⊙O的直径AB的长为4cm，C是⊙O上一点，∠BAC=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，求CP的长．
【考点】MC：切线的性质．
【分析】连接OC，即可求得∠P=30°，从而求得OP的长，再根据勾股定理即可求CP的长．
【解答】解：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO=30°，
∴∠COB=60°，
∵PC是切线，
∴OC⊥PC，
∴∠P=30°，
∴OP=2OC=4cm，
∴CP==2．
26．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状： 等边三角形 ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
【考点】M5：圆周角定理；KD：全等三角形的判定与性质；KM：等边三角形的判定与性质；M2：垂径定理．
【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得；
（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．
【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）在PC上截取PD=AP，如图1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP；
（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB=AB•PE，S△ABC=AB•CF，
∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=，
∴S四边形APBC=×2×=．
27．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别与EF，GF交于I，H两点．
（1）求∠FDE的度数；
（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；
（3）当G为线段DC的中点时，
①求证：FD=FI；
②设AC=2m，BD=2n，求m：n的值．
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠FDE的度数；
（2）利用平行四边形的判定方法，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；
（3）①利用圆周角定理可得出∠1=∠2，进而得到∠3=∠4，即可得出答案；
②利用菱形的性质以及平行四边形的性质得出EF=FI+IE=FD+AE=3m，进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：（1）∵EF是⊙O的直径，
∴∠FDE=90°；
（2）四边形FACD是平行四边形．
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠AEB=90°．
又∵∠FDE=90°，
∴∠AEB=∠FDE，
∴AC∥DF，
∴四边形FACD是平行四边形；
（3）①连接GE，如图．
∵四边形ABCD是菱形，
∴点E为AC中点．
∵G为线段DC的中点，
∴GE∥DA，
∴∠FHI=∠FGE．
∵EF是⊙O的直径，
∴∠FGE=90°，
∴∠FHI=90°．
∵∠DEC=∠AEB=90°，G为线段DC的中点，
∴DG=GE，
∴=，
∴∠1=∠2．
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∴FD=FI；
②∵AC∥DF，
∴∠3=∠6．
∵∠4=∠5，∠3=∠4，
∴∠5=∠6，
∴EI=EA．
∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形，
∴DE=BE=n，AE=EC=m，FD=AC=2m，
∴EF=FI+IE=FD+AE=3m．
在Rt△EDF中，根据勾股定理可得：
n2+（2m）2=（3m）2，
即n=m，
∴m：n=：5．
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