湖北省武汉市吴家山中学2021-2022学年高一上学期第一次（10月）月考数学【试卷+答案】

这是一份湖北省武汉市吴家山中学2021-2022学年高一上学期第一次（10月）月考数学【试卷+答案】，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖北省武汉市吴家山中学高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知集合M＝{x∈Z||x|＜5}，则下列式子正确的是（　　）
A．2.5∈M B．0⊆M C．{0}∈M D．{0}⊆M
2．“x＞2且y＞3”是“x+y＞5”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
3．设集合A＝{（x，y）|y＝x+1}，B＝{（x，y）|y＝x2﹣1}，则A∩B＝（　　）
A．∅ B．{1，2}
C．{（﹣1，0），（2，0）} D．{（﹣1，0），（2，3）}
4．已知集合A＝{x∈N*|﹣1≤x≤4}，B＝{x|x2﹣3x+2＝0}，若B⊆C⊆A，则满足条件的集合C的个数为（　　）
A．8 B．7 C．4 D．3
5．已知集合M＝{x||x﹣7|＜9}，N＝{x|y＝}，且M，N都是全集U的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分表示的集合（　　）

A．{x|﹣3＜x＜﹣2} B．{x|﹣3≤x≤﹣2} C．{x|x≥16} D．{x|x＞16}
6．下列命题的否定是假命题的是（　　）
A．存在一个实数，使﹣2x2+x﹣4＝0
B．所有的质数都是奇数
C．存在一个菱形不是平行四边形
D．存在两个不全等三角形的面积相等
7．已知A＝{x|﹣1＜x＜2}，命题“∀x∈A，x2﹣a＜0”是真命题的一个必要不充分条件是（　　）
A．a≥4 B．a≥1 C．a≥5 D．a＞4
8．已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1，∀x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．a＜﹣1 C． D．a≤﹣1
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，少选得3分，多选得0分.
9．下列结论正确的是（　　）
A．命题“∃x∈Q，x2＝2”是真命题
B．不等式x2﹣4x+5＞0的解集为R
C．“x＞1”是“（x﹣1）（x+2）＞0”的充分不必要条件
D．
10．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，则（　　）
A．a＞0
B．不等式bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣4}
C．a+b+c＞0
D．不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为或
11．给出下列四个选项，其中能成为x＞y的充分条件是（　　）
A．xt2＞yt2 B．xt＞yt C．x2＞y2 D．
12．给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a﹣b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（　　）
A．集合M＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合
B．正整数集是闭集合
C．集合M＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合
D．若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．命题“∃x∈R，使x2+x+1＜0”的否定是　 　．
14．已知集合A＝{1，m+2，2m2+m}，若3∈A，则实数m＝　 　．
15．若关于x的不等式ax2＞﹣ax﹣1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围为 　 　．
16．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为 　 　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.
17．解关于x的不等式．
（1）；
（2）|2x﹣1|＞|x+2|．
18．已知集合A＝．
（1）求∁R（A∩B）及（∁RB）∩A；
（2）已知C＝{x|a+1＜x＜a+2}，若C⊆B，求实数a的取值范围．
19．已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，B＝{x|（x﹣a+1）（x﹣1）＝0}，C＝{x|x2﹣mx+1＝0}．
（1）若A∪B＝A，求实数a的值；
（2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围．
20．已知集合A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，B＝{x|2m＜x＜1﹣m}，m∈R．
（1）若x∈∁RB是x∈∁RA的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
21．已知命题p：∀x∈{x|x2﹣4x≤0}，0≤x＜2a，命题q：∃x∈R，x2﹣2x+a＜0．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题￢p和命题q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．
22．已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a≤0．
（1）当a∈R时，解关于x的不等式；
（2）当x∈[2，3]时，不等式ax2﹣x+1﹣a≤0恒成立，求a的取值范围．


参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知集合M＝{x∈Z||x|＜5}，则下列式子正确的是（　　）
A．2.5∈M B．0⊆M C．{0}∈M D．{0}⊆M
【分析】由集合M＝{x∈Z||x|＜5}＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，利用元素与集合、集合与集合间关系的符号能得到正确结果．
解：∵集合M＝{x∈Z||x|＜5}
＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，
∴2.5∉M，{0}⊆M，
故选：D．
2．“x＞2且y＞3”是“x+y＞5”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【分析】利用不等式的性质，通过举反例即可得出．
解：“x＞2且y＞3”⇒“x+y＞5”，反之不成立，例如取x＝6，y＝1．
∴“x＞2且y＞3”是“x+y＞5”的充分不必要条件．
故选：A．
3．设集合A＝{（x，y）|y＝x+1}，B＝{（x，y）|y＝x2﹣1}，则A∩B＝（　　）
A．∅ B．{1，2}
C．{（﹣1，0），（2，0）} D．{（﹣1，0），（2，3）}
【分析】可解方程组即可得出A∩B的元素，从而得出A∩B．
解：由得，或，
∴A∩B＝{（﹣1，0），（2，3）}．
故选：D．
4．已知集合A＝{x∈N*|﹣1≤x≤4}，B＝{x|x2﹣3x+2＝0}，若B⊆C⊆A，则满足条件的集合C的个数为（　　）
A．8 B．7 C．4 D．3
【分析】化简A，B，再利用B⊆C⊆A，即可求出满足条件的集合C的个数．
解：因为A＝{x∈N*|﹣1≤x≤4}＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B⊆C⊆A，
所以满足条件的集合C为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个，
故选：C．
5．已知集合M＝{x||x﹣7|＜9}，N＝{x|y＝}，且M，N都是全集U的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分表示的集合（　　）

A．{x|﹣3＜x＜﹣2} B．{x|﹣3≤x≤﹣2} C．{x|x≥16} D．{x|x＞16}
【分析】先化简M集合，再求得其补集，再与N集合求交集即可
解：M＝{x||x﹣7|＜9}＝{x|﹣2＜x＜16}，
则∁UM＝{x|x≥16或x≤﹣2}，又N＝{x|y＝}＝{x|﹣3≤x≤3}，
∴∁UM∩N＝{x|﹣3≤x≤﹣2}．
故选：B．
6．下列命题的否定是假命题的是（　　）
A．存在一个实数，使﹣2x2+x﹣4＝0
B．所有的质数都是奇数
C．存在一个菱形不是平行四边形
D．存在两个不全等三角形的面积相等
【分析】直接利用一元二次方程的解法，命题的否定，命题真假的判定的应用判定A、B、C、D的结论．
解：对于A：方程﹣2x2+x﹣4＝0，整理得：2x2﹣x+4＝0，由于△＜0，故方程无解，故不存在实数x，故该命题为假命题，故命题的否定为真命题，故A错误；
对于B：当质数为2时，不是奇数，故该命题为假命题，故该命题的否定为真命题，故B错误；
对于C：存在一个菱形不是平行四边形为假命题，故该命题的否定为真命题，故C错误；
对于D：存在两个不全等三角形的面积相等，该命题为为真命题，该命题的否定为假命题，故D正确．
故选：D．
7．已知A＝{x|﹣1＜x＜2}，命题“∀x∈A，x2﹣a＜0”是真命题的一个必要不充分条件是（　　）
A．a≥4 B．a≥1 C．a≥5 D．a＞4
【分析】由命题“∀x∈A，x2﹣a＜0”，可得a＞x2，进而得出命题“∀x∈A，x2﹣a＜0”是真命题的一个必要不充分条件．
解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，命题“∀x∈A，x2﹣a＜0”，
a＞x2，∴a≥4，
因此命题“∀x∈A，x2﹣a＜0”是真命题的一个必要不充分条件是a≥1，
故选：B．
8．已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1，∀x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．a＜﹣1 C． D．a≤﹣1
【分析】对二次项系数a的取值进行分类讨论，分a＝0，a＞0，a＜0三种情况分别求解，即可得到答案．
解：当a＝0时，f（x）＝4x﹣1＜0，解得，
故当x＝时，f（x）＞0，故不符合题意；
当a＞0时，则有，无解；
当a＜0时，则有①，或②，或△＝16+16a＜0③，
解得①无解，②无解，③a＜﹣1，
故a＜﹣1，
综上所述，实数a的取值范围是a＜﹣1．
故选：B．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，少选得3分，多选得0分.
9．下列结论正确的是（　　）
A．命题“∃x∈Q，x2＝2”是真命题
B．不等式x2﹣4x+5＞0的解集为R
C．“x＞1”是“（x﹣1）（x+2）＞0”的充分不必要条件
D．
【分析】直接利用命题真假的判定，一元二次方程的解法，充分条件和必要条件的应用判断A、B、C、D的结论．
解：对于A：命题由于x2＝2，故x＝∉Q，故该命题为假命题，故A错误；
对于B：由于不等式x2﹣4x+5＞0，且Δ＝16﹣20＝﹣4，故不等式的解集为R，故B正确；
对于C：当x＞1时，（x﹣1）（x+2）＞0成立，反之不成立，故“x＞1”是“（x﹣1）（x+2）＞0”的充分不必要条件，故C正确；
对于D：＝，故D错误．
故选：BC．
10．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，则（　　）
A．a＞0
B．不等式bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣4}
C．a+b+c＞0
D．不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为或
【分析】由已知可得﹣2，4是方程ax2+bx+c＝0的两根，则由韦达定理可得：，且a＞0，解得c＝﹣8a，b＝﹣2a，然后对应各个选项逐个判断即可．
解：由已知可得﹣2，4是方程ax2+bx+c＝0的两根，
则由韦达定理可得：，且a＞0，解得c＝﹣8a，b＝﹣2a，所以A正确，
选项B：bx+c＞0化简为﹣x﹣4＞0，解得x＜﹣4，B正确，
选项C：a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a＜0，C错误，
选项D：cx2﹣bx+a＞0化简为：8x2﹣2x﹣1＜0，解得﹣，D错误，
故选：AB．
11．给出下列四个选项，其中能成为x＞y的充分条件是（　　）
A．xt2＞yt2 B．xt＞yt C．x2＞y2 D．
【分析】利用不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法即可得出结论．
解：A．xt2＞yt2⇒x＞y，反之不一定成立，∴xt2＞yt2为x＞y成立的充分条件；
B．由xt＞yt不一定得到x＞y，因此xt2＞yt2不为x＞y成立的充分条件；
C．x2＞y2⇔x＞|y|，或x＜﹣|y|，因此x2＞y2不为x＞y成立的充分条件；
D.0＜＜⇔0＜y＜x，因此0＜＜为x＞y成立的充分条件．
故选：AD．
12．给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a﹣b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（　　）
A．集合M＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合
B．正整数集是闭集合
C．集合M＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合
D．若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
【分析】根据新定义依次判断即可
解：根据对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a﹣b∈M，
对于A．当集合M＝{﹣4，﹣2，0，2，4}时，而2+4∉M，所以集合M不为闭集合．
对于B．设a，b是任意的两个正整数，当a＜b时，a﹣b＜0不是正整数，所以正整数集不为闭集合．
对于C．当M＝{n|n＝3k，k∈Z}时，设a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z，则a+b＝3k1+3k2＝3（k1+k2）∈M
a﹣b＝3k1﹣3k2＝3（k1﹣k2）∈M，所以集合M闭集合．
对于D．设A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}是闭集合，且3∈A1，2∈A2，而2+3∉A1∪A2，此时A1∪A2不为闭集合．
所以，说法中不正确的是ABD；
故选：ABD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．命题“∃x∈R，使x2+x+1＜0”的否定是　∀x∈R，x2+x+1≥0　．
【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“∃x∈R，使x2+x+1＜0”的否定是：∀x∈R，x2+x+1≥0．
故答案为：∀x∈R，x2+x+1≥0
14．已知集合A＝{1，m+2，2m2+m}，若3∈A，则实数m＝　﹣　．
【分析】根据3∈A，得到或，求出m后检验是否满足集合中元素的互异性，即可确定m的值．
解：∵集合A＝{1，m+2，2m2+m}，3∈A，
∴m+2＝3且2m2+m≠3，或m+2≠3且2m2+m＝3，
即或，解得m＝﹣，
当m＝﹣时，符合条件．
故答案为：﹣．
15．若关于x的不等式ax2＞﹣ax﹣1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围为 　[0，4）　．
【分析】分类讨论a，根据二次函数的图象列式可求得结果．
解：当a＝0，不等式ax2＞﹣ax﹣1对任意实数x都成立；
当a≠0时，关于x的不等式ax2＞﹣ax﹣1即ax2+ax+1＞0对任意实数x都成立，
等价于，
解得0＜a＜4，
综上所述：0≤a＜4．
故答案为：[0，4）．
16．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为 　{0，，2}　．
【分析】讨论a＝0和a＞0，求得集合B，再由新定义，得到a的方程，即可解得a的值．
解：集合A＝{﹣1，2}，
B＝{x|ax2＝2，a≥0}，
若a＝0，则B＝∅，
即有B⊆A；
若a＞0，可得B＝{﹣，}，
不满足B⊆A；
若A，B两个集合有公共元素，但互不为对方子集，
可得＝2或﹣＝﹣1，解得a＝或a＝2．
综上可得，a＝0或或2；
故答案为：{0，，2}．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.
17．解关于x的不等式．
（1）；
（2）|2x﹣1|＞|x+2|．
【分析】（1）利用分式不等式的解法求解即可；
（2）利用绝对值不等式的解法，两边同时平方，转化为一元二次不等式求解即可．
解：（1）不等式，即，即，解得，
故不等式的解集为；
（2）不等式|2x﹣1|＞|x+2|，即3x2﹣8x﹣3＞0，即（x﹣3）（3x+1）＞0，解得x＜或x＞3，
故不等式的解集为．
18．已知集合A＝．
（1）求∁R（A∩B）及（∁RB）∩A；
（2）已知C＝{x|a+1＜x＜a+2}，若C⊆B，求实数a的取值范围．
【分析】求解分式不等式化简A，求解一元二次不等式化简B．
（1）利用交集运算求A∩B，再由补集运算求∁R（A∩B），先求∁RB，再由交集运算求（∁RB）∩A；
（2）由题意可得关于a的不等式组求解．
解：由＜0，得3＜x＜6，∴A＝{x|3＜x＜6}；
由x2﹣6x+8＜0，得2＜x＜4，∴B＝{x|2＜x＜4}．
（1）∵A∩B＝{x|3＜x＜4}，∴∁R（A∩B）＝{x|x≤3或x≥4}；
∵∁RB＝{x|x≤2或x≥4}，A＝{x|3＜x＜6}，∴（∁RB）∩A＝{x|4≤x＜6}；
（2）∵C＝{x|a+1＜x＜a+2}，且C⊆B，
∴，解得1≤a≤2．
∴实数a的取值范围是[1，2]．
19．已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，B＝{x|（x﹣a+1）（x﹣1）＝0}，C＝{x|x2﹣mx+1＝0}．
（1）若A∪B＝A，求实数a的值；
（2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由条件A∪B＝A，可得B⊆A，分别求出A，B，再由B⊆A，求得a的值，即可得到实数a的值所组成的集合；
（2）若A∩C＝C，则C⊆A，分类讨论可得满足条件的实数m的取值范围．
解：（1）∵A＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}，
B＝{x|（x﹣a+1）（x﹣1）＝0}＝{1，a﹣1}，
若A∪B＝A，可得B⊆A，
①若a﹣1＝1，即a＝2，则B＝{1}，满足题意．
②若a≠2，则B＝{1，a﹣1}，由B⊆A得a﹣1＝3，a＝4，
∴a＝4或a＝2．
（2）若A∩C＝C，则C⊆A，
若△＝m2﹣4＜0，即m∈（﹣2，2），满足条件；
若△＝m2﹣4＝0，m＝±2，
当m＝2时，则C＝{1}满足条件，
当m＝﹣2时，则C＝{﹣1}不满足条件，
若△＝m2﹣4＞0，则C＝A，则，无解，
综上所述m∈（﹣2，2]，
20．已知集合A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，B＝{x|2m＜x＜1﹣m}，m∈R．
（1）若x∈∁RB是x∈∁RA的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据补集的定义求出∁RB，∁RA，再根据充分必要的定义求解．
（2）讨论B＝∅和B≠∅时，求出满足条件的m的取值范围．
解：（1）∵A＝{x|x2﹣5x+6≤0}＝{x|2≤x≤3}，∴∁RA＝{x|x＜2或x＞3}，
∵B＝{x|2m＜x＜1﹣m}，∴∁RB＝{x|x≤2m或x≥1﹣m}，
∵x∈∁RB是x∈∁RA的充分不必要条件，
∴{x|x≤2m或x≥1﹣m}⊊{x|x＜2或x＞3}，
∴，∴m＜﹣2，
∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2）．
（2）当B＝∅时，2m≥1﹣m，即m≥，满足题意，
当B≠∅时，有或，
解得﹣1≤m＜，
综上，m的取值范围是[﹣1，+∞）．
21．已知命题p：∀x∈{x|x2﹣4x≤0}，0≤x＜2a，命题q：∃x∈R，x2﹣2x+a＜0．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题￢p和命题q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据命题p为真命题，得到关于a的不等式，再求出a的取值范围；
（2）命题￢p和命题q为真时a的取值范围，再结合条件，求出a的取值范围．
解：（1）命题p：∀x∈{x|x2﹣4x≤0}，0≤x＜2a，
故2a＞4，整理得a＞2，
故a的取值范围为（2，+∞）．
（2）若￢p为真命题，则a≤2，
命题q：∃x∈R，x2﹣2x+a＜0，
故△＝（﹣2）2﹣4×1×a＞0，即a＜1；
当q为假命题时，则a≥1．
①当￢p为真，q为假时，，解得1≤a≤2，
②当￢p为假，q为真时，，无解．
故a的取值范围为[1，2]．
22．已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a≤0．
（1）当a∈R时，解关于x的不等式；
（2）当x∈[2，3]时，不等式ax2﹣x+1﹣a≤0恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）不等式化为（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0，讨论a＝0和a＜0、a＞0时，求出对应不等式的解集即可．
（2）不等式化为a（x2﹣1）≤x﹣1，即a≤恒成立，求出f（x）＝在x∈[2，3]时的最小值即可．
解：（1）不等式ax2﹣x+1﹣a≤0可化为（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0，
当a＝0时，不等式化为x﹣1≥0，解得x≥1，
当a＜0时，不等式化为（x﹣1）（x﹣）≥0，
解得x≤，或x≥1；
当a＞0时，不等式化为（x﹣1）（x﹣）≤0；
①0＜a＜时，＞1，解不等式得1≤x≤，
②a＝时，＝1，解不等式得x＝1，
③a＞时，＜1，解不等式得≤x≤1．
综上，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≥1}，
当a＜0时，不等式的解集为{x|x≤或x≥1}，
0＜a＜时，不等式的解集为{x|1≤x≤}，
a＝时，不等式的解集为{x|x＝1}，
a＞时，不等式的解集为{x|≤x≤1}．
（2）由题意不等式ax2﹣x+1﹣a≤0化为a（x2﹣1）≤x﹣1，
当x∈[2，3]时，x﹣1∈[1，2]，且x+1∈[3，4]，
所以原不等式可化为a≤恒成立，
设f（x）＝，x∈[2，3]，
则f（x）的最小值为f（3）＝，
所以a的取值范围是（﹣∞，]．