2020-2021学年第三章 万有引力定律本章综合与测试导学案

这是一份2020-2021学年第三章 万有引力定律本章综合与测试导学案，共7页。学案主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。

1．(2019·醴陵二中期末)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的eq \f(1,20).该中心恒星与太阳的质量的比值约为( )
A.eq \f(1,10) B．1 C．5 D．10
答案 B
解析 由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r得M∝eq \f(r3,T2)
已知eq \f(r51,r地)＝eq \f(1,20)，eq \f(T51,T地)＝eq \f(4,365)，则eq \f(M恒,M太)＝(eq \f(1,20))3×(eq \f(365,4))2≈1，B项正确．
2．(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1 C．8∶1 D．16∶1
答案 C
解析 由开普勒第三定律知eq \f(T\\al(P2),T\\al(Q2))＝eq \f(r\\al(P3),r\\al(Q3))，
因为rP∶rQ＝16R∶4R＝4∶1，故TP∶TQ＝8∶1.
3．(多选)地球同步卫星距地面的高度为h，地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，地球自转的角速度为ω，则同步卫星绕地球转动的线速度为( )
A．(R＋h)ω B.eq \r(\f(Rg,R＋h))
C．Req \r(\f(g,R＋h)) D. eq \r(3,R2gω)
答案 ACD
解析 同步卫星的角速度为ω，故v＝ωr＝ω(R＋h)，选项A正确；又v＝eq \r(\f(GM,R＋h))，而GM＝gR2，所以v＝eq \r(\f(gR2,R＋h))，选项B错误，C正确；又v＝ω(R＋h)＝eq \r(\f(gR2,R＋h))，所以R＋h＝eq \r(3,\f(gR2,ω2))，故v＝ω(R＋h)＝eq \r(3,R2gω)，选项D正确．
4．(2019·西北工业大学附中期中)我国成功实施了“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据．如果该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t，卫星相对月球中心经过的路程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是1弧度，引力常量为G，根据以上数据估算月球的质量是( )
A.eq \f(t2,Gs3) B.eq \f(s3,Gt2)
C.eq \f(Gt2,s3) D.eq \f(Gs3,t2)
答案 B
解析 由题意可知卫星的线速度v＝eq \f(s,t)，角速度ω＝eq \f(1,t)，做匀速圆周运动的半径r＝eq \f(v,ω)＝s，由Geq \f(Mm,r2)＝mrω2得M＝eq \f(s3,Gt2)，故选项B正确．
5．(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统．它们以相互间的万有引力为彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知某双星系统的运转周期为T，两星到共同圆心的距离分别为R1和R2，引力常量为G，那么下列说法正确的是( )
A．这两颗恒星的质量必定相等
B．这两颗恒星的质量之和为eq \f(4π2R1＋R23,GT2)
C．这两颗恒星的质量之比m1∶m2＝R2∶R1
D．其中必有一颗恒星的质量为eq \f(4π2R1R1＋R22,GT2)
答案 BCD
解析 两星有共同的周期T，由牛顿第二定律得Geq \f(m1m2,R1＋R22)＝m1eq \f(4π2,T2)R1＝m2eq \f(4π2,T2)R2，所以两星的质量之比m1∶m2＝R2∶R1，故A错误，C正确；由以上各式可得m1＝eq \f(4π2R2R1＋R22,GT2)，m2＝eq \f(4π2R1R1＋R22,GT2)，m1＋m2＝eq \f(4π2R1＋R23,GT2)，故B、D正确．
6．(2019·北京市石景山一模)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )
A．距地面的高度变大
B．向心加速度变大
C．线速度变大
D．角速度变大
答案 A
解析 同步卫星的周期等于地球的自转周期，根据eq \f(GMm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r可知，r3∝T2，卫星的运动周期越大，轨道半径越大，所以地球自转变慢后，同步卫星需要在更高的轨道上运行，A对；又由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝man可知：r增大，则v减小、ω变小、an变小，故B、C、D均错误．
7.(多选)其实地月系统是双星模型，为了寻找航天器相对地球和月球不动的位置，科学家们作出了不懈努力．如图1所示，1767年欧拉推导出L1、L2、L3三个位置，1772年拉格朗日又推导出L4、L5两个位置．现在科学家把L1、L2、L3、L4、L5统称地月系中的拉格朗日点．中国“嫦娥四号”探测器成功登陆月球背面，并通过处于拉格朗日区的“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”把信息返回地球，引起众多师生对拉格朗日点的热议．下列说法正确的是( )
图1
A．在拉格朗日点航天器的受力不再遵循万有引力定律
B．在不同的拉格朗日点航天器随地月系统运动的周期均相同
C．“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”应选择L1点开展工程任务实验
D．“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”应选择L2点开展工程任务实验
答案 BD
解析 在拉格朗日点的航天器仍然受万有引力，在地球和月球的万有引力作用下绕地月双星系统的中心做匀速圆周运动，A错误；因在拉格朗日点的航天器相对地球和月球的位置不变，说明它们的角速度一样，因此周期也一样，B正确；“嫦娥四号”探测器登陆的是月球的背面，“鹊桥”要把探测器在月球背面采集的信息传回地球，L2在月球的背面，因此应选在L2点，C错误，D正确．
8.(2019·沙市中学月考)如图2所示，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间实验室，使其与月球同周期绕地球运动．分别以a1、a2表示该空间实验室和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是( )
图2
A．a2>a3>a1 B．a2>a1>a3
C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a1
答案 D
解析 空间实验室与月球绕地球同周期运动，根据a＝(eq \f(2π,T))2r可得，空间实验室向心加速度a1比月球向心加速度a2小，即a1a2，所以a3>a2>a1，故D项正确．
9．(2020·山东卷)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务．质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程．已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力．若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( )
A．meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g－\f(v0,t0))) B．meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.4g＋\f(v0,t0)))
C．meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g－\f(v0,t0))) D．meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.2g＋\f(v0,t0)))
答案 B
解析 着陆器向下做匀减速直线运动时的加速度大小a＝eq \f(v0,t0).在天体表面附近，有mg＝Geq \f(mM,R2)，则eq \f(g火,g)＝eq \f(M火,M地)·(eq \f(R地,R火))2，整理得g火＝0.4g，由牛顿第二定律知，着陆器减速运动时有F－mg火＝ma，则制动力F＝m(0.4g＋eq \f(v0,t0))，选项B正确．
10．(多选)(2019·石家庄市校级期中)如图3所示，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2)，在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有( )
图3
A．a、b运动的周期之比Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
答案 AD
解析 万有引力提供向心力，则有eq \f(GMm1,r\\al(a2))＝m1eq \f(4π2,T\\al(a2))ra，eq \f(GMm2,r\\al(b2))＝m2eq \f(4π2,T\\al(b2))rb，所以Ta∶Tb＝1∶8，故A正确，B错误；设每隔时间t，a、b共线一次，则(ωa－ωb)t＝π，所以t＝eq \f(π,ωa－ωb)，故n＝eq \f(Tb,t)＝eq \f(Tbωa－ωb,π)＝Tb(eq \f(2,Ta)－eq \f(2,Tb))＝14，故C错误，D正确．
11．已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍．若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，不计阻力，抛出点与落地点间的水平距离分别为s月和s地，则s月∶s地约为( )
A．9∶4 B．6∶1 C．3∶2 D．1∶1
答案 A
解析 设月球质量为M′，半径为R′，地球质量为M，半径为R.由题意知eq \f(M′,M)＝eq \f(1,81)，eq \f(R′,R)＝eq \f(1,4)，在星球表面的物体，其所受万有引力近似等于重力，得eq \f(GMm,R2)＝mg，则g＝eq \f(GM,R2)，因此eq \f(g,g′)＝eq \f(MR′2,R2M′)＝eq \f(81,16)，因为是从同样高度抛出，则h＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,2)g′t′2，解得t′＝eq \f(9,4)t，在地球上的水平位移s地＝v0t，在月球上的水平位移s月＝v0t′，则s月∶s地＝9∶4，选项A正确．
12．(多选)2018年2月6日，马斯克的SpaceX“猎鹰”重型火箭将一辆跑车发射到太空，其轨道示意图如图4中椭圆轨道Ⅱ所示，其中A、C分别是近日点和远日点，图中Ⅰ、Ⅲ轨道分别为地球和火星绕太阳运动的圆轨道，B点为轨道Ⅱ、Ⅲ的交点，若运动中只考虑太阳的万有引力，则以下说法正确的是( )
图4
A．跑车经过A点时的速率大于火星绕日的速率
B．跑车经过B点时的加速度等于火星经过B点时的加速度
C．跑车在C点的速率一定大于火星绕日的速率
D．跑车在C点的速率一定小于火星绕日的速率
答案 AB
解析 由题意知，Ⅰ、Ⅲ轨道分别是地球、火星围绕太阳做匀速圆周运动的轨道，根据万有引力提供向心力，有Geq \f(m太m,r2)＝meq \f(v2,r)，解得v＝eq \r(\f(Gm太,r))，因地球的轨道半径小于火星的轨道半径，故地球的线速度大于火星的线速度；而跑车从Ⅰ轨道的A点至Ⅱ轨道的A点时要加速，即跑车经过A点时的速率大于跑车在轨道Ⅰ的速率，故跑车经过A点时的速率大于火星绕日的速率，故A正确；根据牛顿第二定律得Geq \f(m太m,r2)＝ma，解得a＝eq \f(Gm太,r2)，在同一点离太阳的距离一样，故加速度相同，故B正确；根据开普勒第二定律可知，在C点和在A点，跑车在相同时间内扫过相同的面积，故跑车在C点的速率小于其在A点的速率，故无法比较跑车在C点的速率与火星绕日的速率的大小关系，故C、D错误．
二、非选择题
13.所谓“双星系统”，是指在相互间万有引力的作用下，绕连线上某点O做匀速圆周运动的两个星体A和B，如图5所示．若忽略其他星体的影响，可以将月球和地球看成“双星系统”．已知月球的公转周期为T，月地间距离为L，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，求：
图5
(1)地球的质量；
(2)月球的质量．
答案 (1)eq \f(gR2,G) (2)eq \f(4π2L3,GT2)－eq \f(gR2,G)
解析 (1)设地球的质量为m地，地球表面某物体质量为m，忽略地球自转的影响，则有Geq \f(m地m,R2)＝mg，解得m地＝eq \f(gR2,G).
(2)设月球的质量为m月，地球的轨道半径为r1，月球的轨道半径为r2，根据万有引力提供向心力得，对地球：Geq \f(m地m月,L2)＝m地eq \f(4π2,T2)r1，对月球：Geq \f(m地m月,L2)＝m月eq \f(4π2,T2)r2，又因为L＝r1＋r2，解得m地＋m月＝eq \f(4π2L3,GT2)，所以月球的质量m月＝eq \f(4π2L3,GT2)－m地＝eq \f(4π2L3,GT2)－eq \f(gR2,G).
14.(2019·牡丹江一中高一下期中)如图6所示是“月亮女神”和“嫦娥一号”绕月球做圆周运动过程中某时刻的示意图，用R1、R2、T1、T2分别表示“月亮女神”和“嫦娥一号”的轨道半径及运行周期，用R表示月球的半径．
图6
(1)请用万有引力知识证明：它们遵循eq \f(R\\al(13),T\\al(12))＝eq \f(R\\al(23),T\\al(22))＝k，其中k是只与月球的质量有关而与卫星无关的常量；
(2)再经过多长时间两卫星第一次相距最远；
(3)请用“嫦娥一号”所给的已知量，估测月球的平均密度．
答案 (1)见解析 (2)eq \f(T1T2,2T2－T1) (3)eq \f(3πR\\al(23),GT\\al(22)R3)
解析 (1)设月球的质量为M，对任一卫星均有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得eq \f(r3,T2)＝eq \f(GM,4π2)＝k，即eq \f(R\\al(13),T\\al(12))＝eq \f(R\\al(23),T\\al(22))＝k，k是只与月球质量有关而与卫星无关的常量．
(2)两卫星第一次相距最远时转过的角度差为π，所用时间t＝eq \f(π,ω1－ω2)＝eq \f(π,\f(2π,T1)－\f(2π,T2))，得t＝eq \f(T1T2,2T2－T1).
(3)对“嫦娥一号”，有Geq \f(Mm,R\\al(22))＝meq \f(4π2,T\\al(22))R2，
又因为M＝eq \f(4,3)πR3ρ，可得月球的平均密度ρ＝eq \f(3πR\\al(23),GT\\al(22)R3).