安徽省宣城市郎溪县2021届高考仿真模拟考试数学(理)试题

这是一份安徽省宣城市郎溪县2021届高考仿真模拟考试数学(理)试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

安徽省宣城市郎溪县2021届理数高考仿真模拟考试试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数 z 满足 (1+i)z=|2+i| ，则复数 z 的虚部是（    ）
A. −52                                   B. −52i                                   C. 52                                   D. 52i
2.设集合 A={x|x3},B={x|ex−1−10,b>0) 的左､右顶点分别是 A ， B ，右焦点为 F ，点 P 在过 F 且垂直于 x 轴的直线 l 上，当 △ABP 的外接圆面积达到最小时，点 P 恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ）
A. y=±33x                        B. y=±22x                        C. y=±x                        D. y=±2x
12.已知四面体 ABCD 的所有棱长均为 2 ， M ， N 分别为棱 AD ， BC 的中点， F 为棱 AB 上异于 A ， B 的动点．有下列结论：
①线段 MN 的长度为1；②若点 G 为线段 MN 上的动点，则无论点 F 与 G 如何运动，直线 FG 与直线 CD 都是异面直线；③ ∠MFN 的余弦值的取值范围为 [0,55) ；④ △FMN 周长的最小值为 2+1 ．其中正确结论的个数为（    ）
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.设 x,y 满足约束条件 {1⩽x⩽31⩽y⩽3 ，且 z=ax+by(a>0,b>0) 的最大值为3，则 ab 的最大值为      .
14.已知可导函数 f(x) 的定义域为 (0,+∞) ，满足 xf'(x)−2f(x)4x 的解集是       ．
15.过抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点，且 A,B 两点在准线上的射影分别为 M,N ， S△MFNS△AFM=λ,S△BFNS△MFN=μ ，则 λμ=      .
16.已知数列 {an} 满足： a1=1 ， an+1−an∈{a1,a2,⋯,an}(n∈N∗) ，记数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，若对所有满足条件的列数 {an} ， S10 的最大值为 M ，最小值为 m ，则 M+m=      .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数 f(x)=3sinxcosx−3cos2x+1 .
（1）.求函数 f(x) 的单调递减区间；
（2）.在锐角 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别 a,b,c .若 f(C)=1,c=3 ， D 为 AB 的中点，求 CD 的最大值.
18.如图，在四棱锥 A−BCFE 中，四边形 EFCB 为梯形， EF//BC ，且 EF=34BC ， ΔABC 是边长为2的正三角形，顶点 F 在 AC 上的射影为点 G ，且 FG=3 ， CF=212 ， BF=52 .

（1）.证明：平面 FGB⊥ 平面 ABC ；
（2）.求二面角 E−AB−F 的余弦值.
19.公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫 (Demere) 向另一位著名的数学家帕斯卡 (B.Pascal) 提请了一个问题，帕斯卡和费马 (Fermat) 讨论了这个问题，后来惠更斯 (C.Huygens) 也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢 k(k>1,k∈N∗) 局，谁便赢得全部赌注 a 元.每局甲赢的概率为 p(00,b>0) 的左､右顶点分别是 A ， B ，右焦点为 F ，点 P 在过 F 且垂直于 x 轴的直线 l 上，当 △ABP 的外接圆面积达到最小时，点 P 恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ）
A. y=±33x                        B. y=±22x                        C. y=±x                        D. y=±2x
【答案】 C
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】根据双曲线的对称性，不妨设点 P 的坐标为 (2,y0)(y0>0) ，由于 |AB| 为定值，由正弦定理可知当 sin∠APB 取得最大值时， △APB 的外接圆面积取得最小值，也等价于 tan∠APB 取得最大值，∵tan∠APF=a+cy0 ， tan∠BPF=c−ay0 ，
 
∴tan∠APB=tan(∠APF−∠BPF)=a+cy0−c−ay01+a+cy0⋅c−ay0=2ay0+b2y0≤2a2y0⋅b2y0=ab ，
当且仅当 y0=b2y0(y0>0) ，即当 y0=b 时，等号成立，此时 ∠APB 最大，此时 △APB 的外接圆面积取最小值，点 P 的坐标为 (c,b) ，代入 x2a2−y2b2=1 ，可得 c2a2=2 ，即 a2+b2a2=2 ，即 b2a2=1 ，所以双曲线的渐近线方程为： y=±x 。
故答案为：C

【分析】根据双曲线的对称性，不妨设点 P 的坐标为 (2,y0)(y0>0) ，由于 |AB| 为定值，由正弦定理可知当 sin∠APB 取得最大值时， △APB 的外接圆面积取得最小值，也等价于 tan∠APB 取得最大值，再利用正切函数的定义结合两角差的正切公式，进而利用均值不等式求最值的方法，从而求出tan∠APB≤ab ， 进而求出 ∠APB 的最大值，此时 △APB 的外接圆面积取最小值，点 P 的坐标为 (c,b) ，代入 x2a2−y2b2=1 ，进而求出a,c的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的大小关系，进而求出a,b的关系式，从而结合双曲线的焦点的位置，进而求出双曲线的渐近线方程。
12.已知四面体 ABCD 的所有棱长均为 2 ， M ， N 分别为棱 AD ， BC 的中点， F 为棱 AB 上异于 A ， B 的动点．有下列结论：
①线段 MN 的长度为1；②若点 G 为线段 MN 上的动点，则无论点 F 与 G 如何运动，直线 FG 与直线 CD 都是异面直线；③ ∠MFN 的余弦值的取值范围为 [0,55) ；④ △FMN 周长的最小值为 2+1 ．其中正确结论的个数为（    ）
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
【答案】 B
【考点】异面直线及其所成的角，点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】在棱长为 1 的正方体上取如图所示的四个顶点依次连接，即可得到棱长为 2 四面体 ABCD ，

显然， M,N 分别为正方体前后两个面的中心，故线段 MN 的长度为正方体棱长 1 ，故 ①对；
对于②：

如图， F 取为 AB 的中点， G 取为 MN 的中点， I 取为 CD 的中点，则由正方体的性质易知，该三点在一条直线上，故此时 FG 与 CD 相交于 I ，故②错；
对于③，
BN=BC2=22 ， BM=BD2−MD2=2−12=62 ，又有 MN=1
故 cos∠MBN=12+32−12⋅22⋅62=33>55
故 F 点无限接近 B 点时， cos∠MFN 会无限接近 33 ，故 ∠MFN 的余弦值的取值范围不为 [0,55) ，③错误；
对于④，如图将等边三角形 ABC 与 ABD 铺平，放在同一平面上，

故有 N'F+FM'≥M'N'=2 ，当且仅当 F 为 AB 中点时取最小值
故在正方体中 NF+FM≥2
故 △FMN 周长的最小值为 2+1
故④对
故答案为：B

【分析】 根据题意将四面体放置在正方体中，根据M、N分别为前后面的中心判断①；取F为AB中点，G为MN中点，此时直线FG与直线CD相交；通过计算cos∠MFN判断③；把空间问题转化为平面问题，计算可得NF+FM≥2判断④,从而得出答案。
二、填空题
13.设 x,y 满足约束条件 {1⩽x⩽31⩽y⩽3 ，且 z=ax+by(a>0,b>0) 的最大值为3，则 ab 的最大值为      .
【答案】14
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】因为z ， y满足约束条, {1⩽x⩽31⩽y⩽3 ，且 z=ax+b(a>0,b>0) 的最大值为3，
所以当 x,y 最大时， z 最大，
即 3a+3b=3 ，即 a+b=1 ， ab⩽(a+b)24=14 ，
当且仅当 a=b=12 时， ab 取最大值，
故答案为： 14 .

【分析】 由约束条件作出可行域，利用线性规划知识求得a+b=1，利用“1”的代换，结合基本不等式求最值.
14.已知可导函数 f(x) 的定义域为 (0,+∞) ，满足 xf'(x)−2f(x)4x 的解集是       ．
【答案】(−∞,1)
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设 g(x)=f(x)x2 ，则 g'(x)=xf'(x)−2f(x)x3 ，
因为 x>0 ， xf'(x)−2f(x)0,b>0) 过点 (2,−1) ，离心率为 32 ，抛物线 y2=−16x 的准线 l 交 x 轴于点 A ，过点 A 作直线交椭圆 C 于 M ， N ．
（1）.求椭圆 C 的标准方程和点 A 的坐标；
（2）.设 P ， Q 是直线 l 上关于 x 轴对称的两点，问：直线 PM 与 QN 的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．
【答案】 （1）解：由题意可得 {4a2+1b2=1b2=a2−c2e=ca=32 解得 a2=8,b2=2 ，
即椭圆 C 的方程为： x28+y22=1 ，
又由抛物线 y2=−16x ，可得准线方程为 l:x=4 ，所以 A(4,0) ．

（2）解：设 P(4,t) ， Q(4,−t) ， MN:x=my+4 ， M(x1,y1) ， N(x2,y2)
由 {x=my+4x2+4y2−8=0 ，整理得 (m2+4)y2+8my+8=0 ，
所以 y1+y2=−8mm2+4 ， y1y2=8m2+4 ，
则 y1+y2=−my1y2 即 y1+y2y1y2=−m ，
直线 PM 为 y−t=y1−tx1−4(x−4) ，即 y−t=y1−tmy1(x−4) ①，
直线 QN 为 y+t=y2+tx2−4(x−4) ，即 y+t=y2+tmy2(x−4) ②，
②-①得： 2t=1m(y2+ty2−y1−ty1)(x−4) ，即 2t=1m⋅t(y1+y2)y1y2(x−4)
所以 2t=1m⋅(−mt)(x−4) ，解得： x=2 ，
所以直线 PM 与 QN 的交点恒在定直线 x=2 上．
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)由离心率和椭圆过定点，直接可以求出椭圆方程和点 A 的坐标；
(2)联立直线方程和椭圆方程，由韦达定理可以表示出两直线方程，即可解决.
21.已知函数 f(x)=x⋅eax−1 ( a∈R ).
（1）.讨论函数 f(x) 的单调性
（2）.若函数 f(x) 的图像经过点 (1，1) ，求证： 1x⋅ex+lnf(x)≥0 ( x>0 ).
【答案】 （1）解：由题意，函数 f(x)=x⋅eax−1 的定义城为 R ，
当 a=0 时， f(x)=xe ，函数 f(x) 在 R 上单调递增；
当 a≠0 时，可得 f'(x)=eax−1+ax⋅eax−1=eax−1⋅a⋅(x+1a) ，
令 f'(x)=0 ，得 x=−1a ，
①当 a0 ， f(x) 单调递增，

（2）解：若函数 f(x) 的图像经过点 (1,1) ，则 f(1)=ea−1=1 ，得 a=1 ，即 f(x)=x⋅ex−1 ，
则 1x⋅ex+lnf(x)=1x⋅ex+ln(x⋅ex−1)=1x⋅ex+lnx+x−1 ，
设 g(x)=1x⋅ex+lnx+x−1 ( x>0 )，则 g'(x)=−1+xx2⋅ex+1x+1=(1+x)⋅(x⋅ex−1)x2⋅ex ，
设 ℎ(x)=x⋅ex−1 ，则 ℎ'(x)=ex+x⋅ex ，
当 x>0 时， ℎ'(x)>0 ，故 ℎ(x) 在 (0，+∞) 上单调递增，
又 ℎ(0)=−10 ，所以当 x∈(0，+∞) 时 ℎ(x) 在 (0，1) 上有唯一的零点，
不妨设 ℎ(x0)=0 ，则 x0⋅ex0−1=0 ，所以 g'(x0)=0 ，
当 x∈(0，x0) 时， g'(x)0 ) ，求得 g'(x)=−1+xx2⋅ex+1x+1=(1+x)⋅(x⋅ex−1)x2⋅ex ， 设 ℎ(x)=x⋅ex−1 ， 得到  ℎ(x) 在 (0，+∞) 上单调递增，得出当 x∈(0，+∞) 时 ℎ(x) 在 (0，1) 上有唯一的零点 ， 得出函数g(x)的单调性与最值,即可求解。
22.在直角坐标系 xOy 中，点 A 是曲线 C1:(x−2)2+y2=4 上的动点，满足 2OB=OA 的点 B 的轨迹是 C2 .
（1）以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 C1 ， C2 的极坐标方程；
（2）直线 l 的参数方程是 {x=−1+tcosαy=tsinα ( t 为参数)，点 P 的直角坐标是 (−1,0) ，若直线 l 与曲线 C2 交于 M ， N 两点，当 |PM|⋅|PN|=|MN|2 时，求 cosα 的值.
【答案】 （1）解：把 x2+y2=ρ2 ， x=ρcosθ 代入 x2−4x+4+y2=4 ，
化简得曲线 C1 的极坐标方程： ρ=4cosθ .
设动点 B 极坐标为 (ρ,θ) ，则由 2OB=OA 可知，点 A 的极坐标为 (2ρ,θ) ，
代入曲线 C1 的极坐标方程 ρ=4cosθ ，得 2ρ=4cosθ ，
所以曲线 C2 的极坐标方程： ρ=2cosθ .

（2）解：因为曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2cosθ ，所以 ρ2=2ρcosθ ，
所以 x2+y2=2x ，即 (x−1)2+y2=1 ，
即曲线 C2 的直角坐标方程为： (x−1)2+y2=1 ，
把直线 l 的参数方程 {x=−1+tcosαy=tsinα 代入 C2 的直角坐标方程，
得 (tcosα−2)2+(tsinα)2=1 ，整理得 t2−4tcosα+3=0 ，
由于直线 l 与曲线 C2 交于 M ， N 两点，
设 M ， N 两点对应的参数分别为 t1 ， t2 ，则有 {Δ=16cos2α−12>0t1+t2=4cosαt1t2=3 ，
因为 |PM|=|t1| ， |MN|=|t1−t2| ， |PN|=|t2| ，
因为 |PM|⋅|PN|=|MN|2 ，即 |t1t2|=|t1−t2|2 ，
所以 (t1+t2)2−4t1t2=|t1t2| ，
即 16cos2α−12=3 ， cos2α=1516 ，所以 cosα=±154 .
【考点】简单曲线的极坐标方程，参数的意义
【解析】【分析】 （1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.
（2）利用（1）的结论，利用一元二次方程根和系数关系式的应用和等比数列的等比中项的应用求出结果.
23.已知函数 f(x)=|2x−2|+|2x−1| ， g(x)=|x+1|+|4x−2| .
（1）求不等式 f(x)≥4 的解集；
（2）若关于 x 的不等式 2f(x)−g(x)≥a|x| 恒成立，求实数 a 的取值范围.
【答案】 （1）解：不等式 f(x)≥4 即 |2x−2|+|2x−1|≥4
当 x≥1 时， 4x−3≥4 ，解得 x≥74 ；
当 12