2023届内蒙古高三仿真模拟考试数学（理）试题含解析

2023届内蒙古高三仿真模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】解不等式可求得集合，根据并集定义可得结果.

【详解】由得：，解得：，即；

由得：，即，.

故选：A.

2．若复数满足，则（    ）

A． B． C．5 D．17

【答案】C

【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

【详解】∵，

∴，

∴.

故选：C.

3．在中，内角所对应的边分别是，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用余弦定理直接构造方程求解即可.

【详解】由余弦定理得：，即，

解得：（舍）或，.

故选：D.

4．已知直线被圆截得的线段长为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由圆的一般方程可确定圆心和半径，根据直线被圆截得的弦长为可构造方程求得结果.

【详解】由圆方程得：圆心，半径，

圆心到直线的距离，

，解得：.

故选：B.

5．已知函数的图象关于直线对称，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦型函数的对称轴可构造方程求得的取值，进而可确定的最小值.

【详解】关于直线对称，，解得：，

当时，取得最小值.

故选：A.

6．在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线BE与DF所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】取等边△ABC的AC边的中点O，以O为原点建立空间直角坐标系，运用异面直线所成角的计算公式即可得结果.

【详解】取等边△ABC的AC边的中点O，连接OB，则，过O作的平行线，则以O为原点，分别以OB、OC、Oz为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设等边△ABC的边长为2，则，，，，

∴，，

∴.

所以异面直线BE与DF所成角的余弦值为.

7．某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，8.7，9.3，x，y.已知这5名参赛选手的得分的平均数为9，方差为0.1，则（    ）

A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8

【答案】D

【分析】先由平均数和方差分别得到和的值，再整体代入计算的值即可.

【详解】因为平均数为，

所以.

因为方差为

所以，

所以，

又因为，

所以，

所以，

所以.

故选：D.

8．设函数的导函数为，若在其定义域内存在，使得，则称为“有源”函数.已知是“有源”函数，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据“有源”函数概念，转化为函数有解问题，利用导函数求出函数值域即可得到参数a的范围

【详解】∵，∴，

由是“有源”函数定义知，存在，使得，即有解，

记，所以a的取值范围是就是函数的值域，

则，

当时，，此时单调递增，

当时，，此时单调递减，

所以，所以，

即a的取值范围是.

故选：A

9．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由条件求的解析式，设，利用表示梯形的面积，利用导数求其最大值.

【详解】因为曲线是函数的图象，点的坐标为，

所以，故，

所以，

设线段对应的函数解析式为，

因为直线经过点，所以，

所以，

设，则点的坐标为

由可得，

所以点的坐标为，

所以，

所以直角梯形的面积，

所以，

令，可得，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

所以当时，函数取最大值，最大值为.

故选：D.

10．如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种颜色可供选择，则恰用4种颜色的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求用5种颜色任意涂色的方法总数，再求恰好用完4种颜色涂色的方法总数，最后按照古典概型求概率即可.

【详解】若按要求用5种颜色任意涂色：

先涂中间块，有5种选择，再涂上块，有4种选择.

再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块和右块均有3种选择；

若下块与上块涂不同颜色，则下块有3种选择，左块和右块均有2种选择.

则共有种方法.

若恰只用其中4种颜色涂色：

先在5种颜色中任选4种颜色，有种选择.

先涂中间块，有4种选择，再涂上块，有3种选择.

再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块有2种选择，

为恰好用尽4种颜色，则右块只有1种选择；

若下块与上块涂不同颜色，则下块有2种选择，左块和右块均只有1种选择.

则共有种方法，

故恰用4种颜色的概率是.

故选：C.

11．已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，且直线分别与抛物线交于和，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，结合抛物线焦点弦长公式可求得，同理可得，从而得到，由，利用基本不等式可取得最小值.

【详解】由抛物线方程得：；

由题意知：直线的斜率存在且不为，设，，，

由得：，，此时，

，，

同理可得：，，

（当且仅当，即时取等号），

的最小值为.

故选：B.

12．设函数的定义域为，且满足，，当时，，则（    ）

A．是周期为的函数

B．

C．的值域是

D．方程在区间内恰有个实数解

【答案】D

【分析】根据抽象函数关系式可推导得到，并确定为上的奇函数，由此可确定AB错误；利用导数可求得在上的值域，结合对称性和周期性可求得在上的值域，知C错误；将问题转化为与的交点个数问题，采用数形结合的方式可确定D正确.

【详解】对于A，由得：，

，是周期为的周期函数，A错误；

对于B，，，

又，，为定义在上的奇函数，

，又，，

，B错误；

对于C，当时，，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上的单调递增，，

又，，当时，；

为奇函数，当时，，

则当时，；

由得：关于直线对称，

当时，；

又的周期为，当时，，C错误；

对于D，方程解的个数等价于与的交点个数，

作出与的部分图象如下图所示，

的周期为，且当时，与有两个交点，

当时，与有个交点，

，当时，与有且仅有一个交点，

当时，与有且仅有一个交点；

综上所述：当时，与有个交点，即方程恰有个实数解，D正确.

故选：D.

【点睛】方法点睛：本题D选项考查了方程根的个数的求解，解决此类问题的常用方法有：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，从而确定根的个数；

（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

二、填空题

13．已知向量，，若，则______．

【答案】##

【分析】由向量垂直的坐标表示直接构造方程求解即可.

【详解】由题意得：，

，，解得：.

故答案为：.

14．已知是第二象限角，且，则______．

【答案】

【分析】利用同角三角函数关系和二倍角正弦公式可直接求得结果.

【详解】是第二象限角，，

，，

.

故答案为：.

15．设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别是，若双曲线的离心率为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，则______．

【答案】

【分析】根据离心率和双曲线关系可用表示出，并得到渐近线方程；在和中，结合余弦定理可用表示出，进而求得结果.

【详解】双曲线的离心率，，，

双曲线渐近线为：，

不妨设在上，如下图所示，

，，则，

在中，，

在中，由余弦定理得：，

，.

故答案为：.

16．在棱长为3的正方体中，点P在平面上运动，则的最小值为______.

【答案】

【分析】根据正方形体对角线与平面垂直，找到点关于平面的对称点，将转化为，再根据三角形三边关系得的最小值为，最后通过建系利用坐标计算得的长度即可.

【详解】如下图所示

设与平面交于点，易知，平面，

由平面，所以，又，面，

所以平面，面，所以，同理可证，

由，面，所以平面.

因为，所以，

又因为,所以.

倍长至，则，

故点是点关于平面的对称点.

那么有，.

所以.

如下图，以为原点，分别为轴、轴、轴建系，

则，，，即.

所以，即的最小值为.

故答案为：.

三、解答题

17．设数列的前n项和为，且，.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先根据，可得数列是以为公差的等差数列，从而可得数列的通项，再根据与的关系结合构造法即可得解；

（2）先求出数列的通项，再利用裂项相消法即可得解.

【详解】（1）因为，

所以，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以，则，

当时，，

两式相减得，即，

所以数列为常数列，且，

所以；

（2）由（1）得，

所以，

所以.

18．某企业为鼓励员工多参加体育锻炼，举办了一场羽毛球比赛，经过初赛，该企业的A，B，C三个部门分别有3，4，4人进入决赛.决赛分两轮，第一轮为循环赛，前3名进入第二轮，第二轮为淘汰赛，进入决赛第二轮的选手通过抽签确定先进行比赛的两位选手，第三人轮空，先进行比赛的获胜者和第三人再打一场，此时的获胜者赢得比赛.假设进入决赛的选手水平相当（即每局比赛每人获胜的概率都是）.

(1)求进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门的概率；

(2)记进入决赛第二轮的选手中来自B部门的人数为X，求X的数学期望.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门分为来自A，B，C三个部门，分别求出其概率，由分类加法计数原理即可得出答案.

（2）求出X的可能取值及每个变量X对应的概率，即可求出分布列，再由期望公式即可求出.

【详解】（1）设进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门为事件，

则.

故进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门的概率为.

（2）X的可能取值为，

，

，

，

，

则X的分布列为：

所以.

19．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点．

(1)证明：平面；

(2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面垂直判定可证得平面，进而得到；利用勾股定理和线面垂直的判定得到平面，从而得到；利用勾股定理可证得，由此可得结论；

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由二面角的向量求法可求得，结合二次函数的性质可求得的最大值.

【详解】（1）连接，

，，，又，，

为棱中点，，又，，平面，

平面，又平面，；

在直角梯形中，取中点，连接，

，，又，，，

四边形为正方形，，，

，又，，，

，平面，平面，

平面，；

，，，，

又，平面，平面.

（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，，，，，

，，，；

，，；

设平面的法向量为，

则，令，解得：，，

；

轴平面，平面的一个法向量，

设平面与平面所成的锐二面角为，

则

当时，，，

即平面与平面所成的锐二面角余弦值的最大值为.

20．已知椭圆C：的离心率是，点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)直线l：与椭圆C交于A，B两点，在y轴上是否存在点P（点不与原点重合），使得直线PA，PB与x轴交点的横坐标之积的绝对值为定值？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）根据题意求出，即可得解；

（2）设，则，联立方程，利用韦达定理求出，在分别求出直线PA，PB的方程，从而可得两直线与交点的横坐标，再相乘整理结合其积为定值，即可得出结论.

【详解】（1）由题意可得，解得，

所以椭圆C的标准方程为；

（2）假设存在，

设，则，

联立，消得，

则，即，

，

则直线的方程为，

令，则，

直线的方程为，

令，则，

则

，

则要使直线PA，PB与x轴交点的横坐标之积的绝对值为定值，

则，解得，

所以存在，且.

【点睛】本题考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了点的存在性问题及定值问题，有一定的难度.

21．已知函数．

(1)求在上的极值；

(2)若，求的最小值．

【答案】(1)为极小值，无极大值.

(2)

【分析】(1)求导后，借助导数分析单调性，借助单调性分析极值的情况；

(2) 令,令，设，再借助导函数的正负性，分析原函数的单调性确定极值，再反推的单调性，判断极大值情况.

【详解】（1），令，得，

在为负，单调递减，

在为正，单调递增，

故为极小值，无极大值.

（2）由题知 ,令，

令，则 ，

设 则 ，

，为正，在单调递增，

，为负，在单调递减，

故为极大值，

若，即，此时，则在单调递减，

又，所以时，在单调递增，

时，，在单调递减，

故为极大值，所以，则当时，符合条件；

，即 此时，

存在，在上；，则在单调递增，

又，则在区间上

所以在区间上，单调递减，则，不满足条件.

综上所述的最小值为.

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是.

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）曲线C的参数方程通过平方消元得到普通方程；通过极坐标方程与直角坐标方程关系得到直线l的直角坐标方程；

（2）由题可知点P过直线l，利用直线的参数方程中参数与定点位置关系即可列式计算.

【详解】（1），得，

根据极坐标方程与直角坐标方程关系可知直线l的直角坐标方程为：.

（2）由（1）可知点过直线l，故直线l的参数方程可写为（t为参数），

代入曲线C的普通方程得，

由韦达定理可知：，，

所以.

23．已知函数.

(1)求的最小值；

(2)若，不等式恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据x的不同取值范围，展开化解函数，根据函数的单调性即可判断出的最小值；

（2）根据（1）中解析式简化不等式，再展开绝对值计算即可.

【详解】（1）当时，

当时，

当时，

综上，由此可知

（2）由（1）可知

解得，当时，欲使不等式恒成立，则，解得