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2020届安徽省宣城市高三二模数学（理）试卷及答案
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这是一份2020届安徽省宣城市高三二模数学（理）试卷及答案，文件包含安徽省宣城市2020届高三下学期理数第二次调研考试试卷学生版docx、安徽省宣城市2020届高三下学期理数第二次调研考试试卷教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
安徽省宣城市2020届高三下学期理数第二次调研考试试卷
一、单选题（共12题；共24分）
1.已知全集 U=R ，集合 A={x|log3x<1} ， ，则 ）
A. B. {x|x<3} C. D.
【答案】 A
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】解： A={x|log3x<1} ，
， 或 ，
．
故答案为：A．
【分析】可以求出集合 A ， B ，然后进行交集的运算即可．
2.已知复数 z 满足 ，则 z 的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】 D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】 ， ， 2z=1+3i,z=12+32i, 的共轭复数在复平面内对应点坐标为 ， z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，
故答案为：D.
【分析】利用复数的除法运算法则求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数，再利用复数的几何意义，从而求出复数z的共轭复数在复平面内对应点坐标，进而利用点的坐标求出复数z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限。
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 S4S8=13 ，则 S8S16 等于（ ）
A. 310 B. 13 C. 19 D. 18
【答案】 A
【考点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：根据等差数列的性质，
若数列 {an} 为等差数列，则 S4 ， ， ， 也成等差数列；
又 S4S8=13 ，
则数列 S4 ， ， ， 是以 S4 为首项，以 S4 为公差的等差数列
则 S8=3S4 ， S16=10S4 ，
S8S16=310
故答案为：A．
【分析】根据等差数列的性质 S4 ， ， ， 也成等差数列，结合 S4S8=13 ，根据等差数列的性质得到 S8=3S4 ， S16=10S4 ，代入即可得到答案．
4.已知， ，则（ ）
A. a＜c＜b B. a＜b＜c C. b＜a＜c D. b＜c＜a
【答案】 C
【考点】指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解： a=2ln2=3015ln2=30ln215 ， b=3ln3=3010ln3=30ln310 ， c=5ln5=306ln5=30ln56 ，
，
，
30ln310<30ln215<30ln56 ，即 b
【分析】利用对数的运算性质先化为 a=30ln215 ， b=30ln310 ， c=30ln56 ，再利用指数函数的性质得到 310 、 215 、 56 的大小，结合对数函数的性质即可得到 a ， b ， c 的大小关系．
5.国家正积极推行垃圾分类工作，教育部办公厅等六部门也发布了《关于在学校推进生活垃圾分类管理工作的通知》．《通知》指出，到2020年底，各学校生活垃圾分类知识普及率要达到100%某市教育主管部门据此做了“哪些活动最能促进学生进行垃圾分类”的问卷调查（每个受访者只能在问卷的4个活动中选择一个）如图是调查结果的统计图，以下结论正确的是（ ）
A. 回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数多
B. 回该问卷的受访者中，选择“校园外宣传”的人数不是最少的
C. 回答该问卷的受访者中，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多30人
D. 回答该问卷的总人数不可能是1000人
【答案】 D
【考点】收集数据的方法
【解析】【解答】解：对于 A ，答该问卷的受访者中，
选择的（2）和（3）人数总和所占百分比为：
15.75%+27%=42.75% ，
选择（4）的人数的百分比为 45.75% ，
回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数少，故 A 错误；
对于 B ，回该问卷的受访者中，
由扇形统计图得选择“校园外宣传”的百分比最小，
选择“校园外宣传”的人数是最少的，故 B 错误；
对于 C ，回答该问卷的受访者中，
选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多 30% ，故 C 错误；
对于 D ，回答该问卷的总人数若是1000人，
选择（2）（4）的人分别为 157.5 人， 457.5 人不是整数，故 D 正确．
故答案为： D ．
【分析】对于 A ，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数少；对于 B ，选择“校园外宣传”的人数是最少的；对于 C ，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多 30% ；对于 D ，回答该问卷的总人数不可能是1000人．
6.函数 的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【考点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】解：函数的定义域为 R ， ，
故函数 f(x) 为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项 AD ；
当 时， ， ， ，可排除选项 C ．
故答案为：B．
【分析】由函数的奇偶性及趋近性，结合选项即可得出答案．
7.已知 ， ，则 ）
A. 55 或0 B. 55 C. 255 D. 255 或0
【答案】 A
【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解： ，
，
，
，或 ，由于 ，解得 ，解得 ，或 （舍去）．
，或 55 ．
故答案为：A．
【分析】利用二倍角公式化简已知可得 ，结合范围 ，分类讨论可得 ，或 ，进而即可求解．
8.已知双曲线C： 1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. [ 2 ，+∞） B. （ 2 ，+∞） C. （2，+∞） D. （1，+∞）
【答案】 A
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：双曲线 的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点．
则：该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率 ba
所以
故答案为：A．
【分析】若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
9.已知下列两个命题，命题甲：平面α与平面β相交；命题乙：相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l，m中至少有一条与平面β相交．则甲是乙的（ ）
A. 充分且必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】 A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由题意此问题等价于判断
①命题：已知相交直线 l 和 m 都在平面 内，且都不在平面 内，若 l ， m 中至少有一条与 相交，则平面 与平面 相交，②命题：已知相交直线 l 和 m 都在平面 内，并且都不在平面 内，若 与 相交，则 l ， m 中至少有一条与 相交的真假；
对于①命题此处在证明必要性，因为平面 内两相交直线 l 和 m 至少一个与 相交，不妨假设直线 l 与 相交，交点为 p ，则 p 属于 l 同时属于 面，所以 与 有公共点，且由相交直线 l 和 m 都在平面 内，并且都不在平面 可知平面 与 必相交故①命题为真
对于②命题此处在证充分性，因为平 与 相交，且两相交直线 l 和 m 都在平面 内，且都不在平面 内，若 l ， m 都不与 相交，则 l ， m 平行平面 ，那么 ，这与 相交矛盾，故②命题也为真．
故答案为：A．
【分析】由题意此问题等价于判断：①命题：已知相交直线 l 和 m 都在平面 内，且都不在平面 内，若l， m 中至少有一条与 相交，则平面 与平面 相交；②命题：已知相交直线 l 和 m 都在平面 内，并且都不在平面 内，若 与 相交，则l， m 中至少有一条与 相交这两个命题的真假；分别判断分析可得答案．
10.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸一个球，定义数列 {an} ： ，如果 Sn 是数列 {an} 的前 n 项和，那么 S7=3 的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意 S7=3 说明共摸球七次，只有两次摸到红球，
由于每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是 23 ，
摸到白球的概率是 13 ，
故只有两次摸到红球的概率是 .
故答案为：B.
【分析】 S7=3 说明共摸球七次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，故可以用独立事件的概率乘法公式求解
11.已知函数 的值域与函数 y=f[f(x)] 的值域相同，则a的取值范围为（ ）
A. (0 ， 1] B. [1 ， C. (0 ， 43] D. [43 ，
【答案】 D
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：因为
所以 ，
由于 a>0 ，故函数 f'(x) 在 上为减函数，又 f'(1)=0 ，
故当 时， f'(x)>0 ，当 时， f'(x)<0 ，
函数 f(x) 在 (0,1) 上单调递增，在 上单调递减，
，且 时， ，
故函数 f(x) 的值域为 ，
作出函数 f(x) 的草图如下，
由图可知，要使函数 f(x) 的值域与函数 y=f[f(x)] 的值域相同，则需 ，解得 ，
故答案为：D．
【分析】对函数 f(x) 求导，利用导数求得 f(x) 的单调性情况，进而得到其最值，结合题意及图象建立关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．
12.如图．正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线OX，OY，OZ上，则在下列命题中，错误的为（ ）
A. O﹣ABC是正三棱锥 B. 二面角D﹣OB﹣A的平面角为 蟺3
C. 直线AD与直线OB所成角为 蟺4 D. 直线OD⊥平面ABC
【答案】 B
【考点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：正四面体 ABCD 的顶点 A ， B ， C 分别在两两垂直的三条射线 OX ， OY ， OZ 上，
在 A 中， ， OA=OB=OC ， 是正三棱锥，故 A 正确；
将正四面体 ABCD 放入正方体中，如图所示，
在 B 中，设 OB=1 ，则 A(1,0,0) ， B(0,1,0) ， D(1,1,1) ，
O(0,0,0) ， ， ，
设平面 OBD 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
平面 OAB 的法向量 ，
，
二面角 的平面角为 蟺4 ，故 B 错误；
在 C 中，设 OB=1 ，则 A(1,0,0) ， B(0,1,0) ， D(1,1,1) ，
O(0,0,0) ， ， ，
，
直线 AD 与直线 OB 所成角为 蟺4 ，故 C 正确；
在 D 中，设 OB=1 ，则 A(1,0,0) ， B(0,1,0) ， D(1,1,1) ，
O(0,0,0) ， C(0,0,1) ， ，
， ， ， ，
， 直线 平面 ABC ，故 D 正确．
故答案为： B .
【分析】在 A 中， AC=AB=BC ， OA=OB=OC ，从而 是正三棱锥；在 B 中，设 OB=1 ，求出平面 OBD 的法向量 ，平面 OAB 的法向量 ，二面角 的平面角为 蟺4 ；在 C 中，设 OB=1 ，求出 ，直线 AD 与直线 OB 所成角为 蟺4 ；在 D 中，利用向量法求出 ， ，从而直线 平面 ABC ．
二、填空题（共3题；共7分）
13. 的展开式中，x3的系数为________．
【答案】 8
【考点】二项式定理
【解析】【解答】解：对于 (1+2x)4 ，其通项为 ， k=0 ，1， ，4，
令 k=2 和4，可得对应项的系数为： ， ．
故所求的 x3 的系数为 ．
故答案为：8．
【分析】根据式子特点，可先求出 (1+2x)4 的通项，然后分别求出它的展开式中的 x2 ， x4 项的系数，然后相减即可．
14. ， ， ，点 C 在 内，且 ，设 ，则 mn= ________．
【答案】 1
【考点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，故可建立直角坐标系，
则 ， ，
故 ，
又点 C 在 内，且 ，
所以 ，
所以 nm=1
故答案为：1．
【分析】依题意建立直角坐标系，加上点 C 在 内的限制，可得点 C 的坐标，在直角三角形中由正切函数的定义可求解．
15.若椭圆 x24+y23=1 上有两点P，Q（不是长轴的端点），O为原点，若直线OP，OQ斜率分别为K1 ， K2 ， 且满足 ，则 = ________．
【答案】 7
【考点】同角三角函数间的基本关系，诱导公式
【解析】【解答】解：设 P 、 Q 的坐标分别为 ， ，
， ，即 ， ，不妨取 ，
=4+3=7 ．
故答案为：7．
【分析】设 P 、 Q 的坐标分别为 ， ，通过 ，可知 ，不妨取 ；然后用含有 和 的式子表示出 ，借助诱导公式和同角三角函数的平方关系进行化简整理即可得解．
三、双空题（共1题；共2分）
16.将正整数排成如图：
试问2020是表中第________行的第________个数．
【答案】 11；997
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意得第 n 行有 个数，
，
，
是表中第11行的第997个数．
故答案为：11，997．
【分析】由题意得第 n 行有 个数，由此利用等比数列的前 n 项和公式能求出结果．
四、解答题（共7题；共65分）
17.在△ABC中 ； sinC=69 ．
（1）求sinA；
（2）若△ABC的面积 S=2 ，求BC的边长．
【答案】 （1）解： cosB=33 ，
可得 ，
sinC=69 ， 69<63 ，即 sinC
（2）解： ， sinB=63 ， sinC=69 ，
，
设 a=23k ， b=3k ， c=k ，则由三角形的面积公式 S=12bcsinA=2 ，可得 ，解得 k=1 ，
．
【考点】两角和与差的正弦公式，同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinB ， cosC 的值，进而根据两角和的正弦函数公式可求 sinA 的值，（2）由（1）利用正弦定理可求 a:b:c=sinA:sinB:sinC=23:3:1 ，设 a=23k ， b=3k ， c=k ，则由三角形的面积公式解得 k=1 ，即可求得 a 的值．
18.如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为AD，BP的中点，AD＝3，AP＝3 2 ，PC =19 ．
（1）求证：EF//平面PDC；
（2）若∠CDP＝120°，求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值．
【答案】 （1）证明：取 PC 的中点为 M ，连结 FM ， DM ，
， M 分别为 BP 、 PC 的中点，
，且 FM=12BC ，
又四边形 ABCD 为平行四边形， ED//BC ，且 ED=12BC ，
，且 FM=ED ， 四边形 EFMD 是平行四边形，
， 平面 PDC ， 平面 PDC ，
平面 PDC ．
（2）解： 平面 PDC ，四边形 ABCD 为平行四边形，
点 E ， F 分别为 AD ， BP 的中点， AD=3 ， AP=32 ，
PC=19 ． ，
，解得 CD=2 ，
如图，以 D 为原点，在平面 CDP 内过 D 作 DP 的垂线为x轴，
DP 为 y 轴， DA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
则 A(0,0,3) ， ， ，
D(0,0,0) ， E(0,0,32) ， P(0,3,0) ，
设平面 CEP 的一个法向量 ，
，4， 0) ， ，3， ，
则 ，取 y=1 ，得 ，
平面 CDP 的一个法向量 ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ．
二面角 的平面角的余弦值为 29331 ．
【考点】直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）取 PC 的中点为 M ，连结 FM ， DM ，四边形 EFMD 是平行四边形， EF//DM ， EF// 平面 PDC ．（2）由余弦定理求出 CD=2 ，以D为原点，在平面 CDP 内过 D 作 DP 的垂线为 x 轴， DP 为 y 轴， DA 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 的平面角的余弦值．
19.已知抛物线C：y2＝2px（0＜p＜8）的焦点为F点Q是抛物线C上的一点，且点Q的纵坐标为4，点Q到焦点的距离为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l不经过Q点且与抛物线交于A，B两点，QA，QB的斜率分别为K1 ， K2 ， 若K1K2＝﹣2，求证：直线AB过定点，并求出此定点．
【答案】 （1）解：由题意 Q(8p ， 4) ，直线方程为 ，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，
由题意可得 |8p+p2|=5 ，解得 p=2 或8，由题意可得 p=2 ，
所以抛物线的方程为： y2=4x ；
（2）解：由题意设直线 l 的方程为： x=my+b ，设 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ，
联立直线 l 与抛物线的方程可得 {x=my+by2=4x ，整理可得 ，
则 ，①
由（1）可得 Q(4,4) 可得 ，
即 ，
即 ，
整理可得 ，
将①代入可得： ，即 ，
所以 ，或 ，
即 b=6+2m ，或 ，
所以直线 l 的方程为： x=my+6+2m ，即 恒过 ，
或者 即 恒过 (4,4) ，
而由题意可得直线 l 不过 Q(4,4) ，
可证得直线 AB 恒过定点 ．
【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，设 Q 的坐标，由题意可得 p 的值，进而求出抛物线的方程；（2）设直线 AB 的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而求出直线 AQ ， QB 的斜率之积，由题意可得参数之间的关系，进而求出直线 AB 恒过的定点，注意直线不过 Q ，所以求出符合题意的定点的坐标．
20.某生物公司将A型病毒疫苗用100只小白鼠进行科研和临床试验，得到统计数据如表：
未感染病毒
感染病毒
总计
未注射
10
x
A
注射
40
y
B
总计
50
50
100
现从所有试验的小白鼠中任取一只，取得注射疫苗小白鼠的概率为 12 ．
附：
P（K2≥k0）
0.10
0.010
0.001
k0
2.706
6.635
10.828
（1）能否有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效？
（2）现从感染病毒的小白鼠中任取3只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【答案】 （1）解：由条件知， x=40 ， y=10 ， A=50 ， B=50 ，
，
故有 99.9% 的把握认为注射此型号疫苗有效．
（2）解： 的可能取值为0，1，2，3，
， ，
， ．
的分布列为
0
1
2
3
P
247490
195490
45490
3490
数学期望
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先根据题意补充完整 2脳2 列联表，然后由 K2 的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；（2） 的可能取值为0，1，2，3，然后由超几何分布求概率的方法依次求出每个 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．
21.已知函数 ， ．
（1）当 m=3 时，求曲线 y=f(x) 在 (0,f(0)) 处的切线方程；
（2）若 x>0 时， f(x)>0 恒成立，求 m 的取值范围．
【答案】 （1）解：当 m=3 时， ，
．
则 ，又 f(0)=0 ，
曲线 y=f(x) 在 (0 ， f(0)) 处的切线方程为 x+y=0 ；
（2）解：由 f(x)>0 ，得 ，
即 ．设 ，
则
=1?+1−2?(?+2)2=?2+(4−2?)?+4−2?(?+2)2(?+1) ．
令 ，
?=(4−2?)2−4(4−2?)=4?(?−2) ．
①若 ，即 ， g'(x)>0 ，
当 x>0 时， y=g(x) 在 上单调递增，
而 g(0)=0 ， 时， f(x)>0 恒成立，满足题意；
②若 m<0 ， g'(x)>0 ，当 x>0 时， y=g(x) 在 上单调递增，
而 g(0)=0 ， 时， f(x)>0 恒成立，满足题意；
③若 m>2 ，当 x>0 时，由 g'(x)=0 ，
解得 ， ．
y=g(x) 在 (0,x2) 上单调递减，则 g(x2)
【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）把 m=3 代入函数解析式，求导函数，再求出 f'(0) 与 f(0) 的值，利用直线方程的点斜式得答案；（2）由 f(x)>0 ，得 ，即 ．设 ，可得 令 ，可得△ ，分 ， m<0 ， m>2 三类分析求解满足题意的 m 的取值范围．
22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为 （m为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）直线l与曲线C相交于M，N两点，若 ，求 1|PM|2+1|PN|2 的值．
【答案】 （1）解：曲线 C 的参数方程为 为参数），转换为直角坐标方程为 ，整理得 ，
根据 ，转换为极坐标方程为 ，
即 或 （包含 ），
所以曲线C的极坐标方程为 ．
（2）解：直线 l 的参数方程为 转换为直线的标准参数式为 为参数）
代入圆的直角坐标方程为 ，
，设方程两根为 t1,t2 ，
所以 t1+t2=23 ， ，
所以 1|??|2+1|??|2=1?12+1?22=(?1+?2)2−2?1?2(?1?2)2=12+24122=14 ．
【考点】二次函数的性质，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
23.已知函数
（Ⅰ）求不等式f(x)>0的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式 有解，求实数m的取值范围.
【答案】 解：（Ⅰ） ，
当 时，得 x>3 ；当 时，得 ；当 时，得 ，
综上可得不等式 f(x)>0 的解集为 .
（Ⅱ）依题意 ，
令 g(x)=f(x+3)+3|x+5|=|2x+5|+|2x+10| .
∴ ，解得 或 ，即实数 m 的取值范围是 .
【考点】其他不等式的解法，不等式的综合
【解析】【分析】（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，分类解一元一次不等式组后再合并可得解集；（2） f(x+3)+3|x+5|=|2x+5|+|2x+10| ，利用绝对值的三角不等式求得 |2x+5|+|2x+10| 的最小值 min ，然后解不等式 即可．
安徽省宣城市2020届高三下学期理数第二次调研考试试卷
一、单选题（共12题；共24分）
1.已知全集 U=R ，集合 A={x|log3x<1} ， ，则 ）
A. B. {x|x<3} C. D.
【答案】 A
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】解： A={x|log3x<1} ，
， 或 ，
．
故答案为：A．
【分析】可以求出集合 A ， B ，然后进行交集的运算即可．
2.已知复数 z 满足 ，则 z 的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】 D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】 ， ， 2z=1+3i,z=12+32i, 的共轭复数在复平面内对应点坐标为 ， z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，
故答案为：D.
【分析】利用复数的除法运算法则求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数，再利用复数的几何意义，从而求出复数z的共轭复数在复平面内对应点坐标，进而利用点的坐标求出复数z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限。
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 S4S8=13 ，则 S8S16 等于（ ）
A. 310 B. 13 C. 19 D. 18
【答案】 A
【考点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：根据等差数列的性质，
若数列 {an} 为等差数列，则 S4 ， ， ， 也成等差数列；
又 S4S8=13 ，
则数列 S4 ， ， ， 是以 S4 为首项，以 S4 为公差的等差数列
则 S8=3S4 ， S16=10S4 ，
S8S16=310
故答案为：A．
【分析】根据等差数列的性质 S4 ， ， ， 也成等差数列，结合 S4S8=13 ，根据等差数列的性质得到 S8=3S4 ， S16=10S4 ，代入即可得到答案．
4.已知， ，则（ ）
A. a＜c＜b B. a＜b＜c C. b＜a＜c D. b＜c＜a
【答案】 C
【考点】指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解： a=2ln2=3015ln2=30ln215 ， b=3ln3=3010ln3=30ln310 ， c=5ln5=306ln5=30ln56 ，
，
，
30ln310<30ln215<30ln56 ，即 b
【分析】利用对数的运算性质先化为 a=30ln215 ， b=30ln310 ， c=30ln56 ，再利用指数函数的性质得到 310 、 215 、 56 的大小，结合对数函数的性质即可得到 a ， b ， c 的大小关系．
5.国家正积极推行垃圾分类工作，教育部办公厅等六部门也发布了《关于在学校推进生活垃圾分类管理工作的通知》．《通知》指出，到2020年底，各学校生活垃圾分类知识普及率要达到100%某市教育主管部门据此做了“哪些活动最能促进学生进行垃圾分类”的问卷调查（每个受访者只能在问卷的4个活动中选择一个）如图是调查结果的统计图，以下结论正确的是（ ）
A. 回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数多
B. 回该问卷的受访者中，选择“校园外宣传”的人数不是最少的
C. 回答该问卷的受访者中，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多30人
D. 回答该问卷的总人数不可能是1000人
【答案】 D
【考点】收集数据的方法
【解析】【解答】解：对于 A ，答该问卷的受访者中，
选择的（2）和（3）人数总和所占百分比为：
15.75%+27%=42.75% ，
选择（4）的人数的百分比为 45.75% ，
回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数少，故 A 错误；
对于 B ，回该问卷的受访者中，
由扇形统计图得选择“校园外宣传”的百分比最小，
选择“校园外宣传”的人数是最少的，故 B 错误；
对于 C ，回答该问卷的受访者中，
选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多 30% ，故 C 错误；
对于 D ，回答该问卷的总人数若是1000人，
选择（2）（4）的人分别为 157.5 人， 457.5 人不是整数，故 D 正确．
故答案为： D ．
【分析】对于 A ，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数少；对于 B ，选择“校园外宣传”的人数是最少的；对于 C ，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多 30% ；对于 D ，回答该问卷的总人数不可能是1000人．
6.函数 的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【考点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】解：函数的定义域为 R ， ，
故函数 f(x) 为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项 AD ；
当 时， ， ， ，可排除选项 C ．
故答案为：B．
【分析】由函数的奇偶性及趋近性，结合选项即可得出答案．
7.已知 ， ，则 ）
A. 55 或0 B. 55 C. 255 D. 255 或0
【答案】 A
【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解： ，
，
，
，或 ，由于 ，解得 ，解得 ，或 （舍去）．
，或 55 ．
故答案为：A．
【分析】利用二倍角公式化简已知可得 ，结合范围 ，分类讨论可得 ，或 ，进而即可求解．
8.已知双曲线C： 1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. [ 2 ，+∞） B. （ 2 ，+∞） C. （2，+∞） D. （1，+∞）
【答案】 A
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：双曲线 的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点．
则：该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率 ba
所以
故答案为：A．
【分析】若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
9.已知下列两个命题，命题甲：平面α与平面β相交；命题乙：相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l，m中至少有一条与平面β相交．则甲是乙的（ ）
A. 充分且必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】 A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由题意此问题等价于判断
①命题：已知相交直线 l 和 m 都在平面 内，且都不在平面 内，若 l ， m 中至少有一条与 相交，则平面 与平面 相交，②命题：已知相交直线 l 和 m 都在平面 内，并且都不在平面 内，若 与 相交，则 l ， m 中至少有一条与 相交的真假；
对于①命题此处在证明必要性，因为平面 内两相交直线 l 和 m 至少一个与 相交，不妨假设直线 l 与 相交，交点为 p ，则 p 属于 l 同时属于 面，所以 与 有公共点，且由相交直线 l 和 m 都在平面 内，并且都不在平面 可知平面 与 必相交故①命题为真
对于②命题此处在证充分性，因为平 与 相交，且两相交直线 l 和 m 都在平面 内，且都不在平面 内，若 l ， m 都不与 相交，则 l ， m 平行平面 ，那么 ，这与 相交矛盾，故②命题也为真．
故答案为：A．
【分析】由题意此问题等价于判断：①命题：已知相交直线 l 和 m 都在平面 内，且都不在平面 内，若l， m 中至少有一条与 相交，则平面 与平面 相交；②命题：已知相交直线 l 和 m 都在平面 内，并且都不在平面 内，若 与 相交，则l， m 中至少有一条与 相交这两个命题的真假；分别判断分析可得答案．
10.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸一个球，定义数列 {an} ： ，如果 Sn 是数列 {an} 的前 n 项和，那么 S7=3 的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意 S7=3 说明共摸球七次，只有两次摸到红球，
由于每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是 23 ，
摸到白球的概率是 13 ，
故只有两次摸到红球的概率是 .
故答案为：B.
【分析】 S7=3 说明共摸球七次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，故可以用独立事件的概率乘法公式求解
11.已知函数 的值域与函数 y=f[f(x)] 的值域相同，则a的取值范围为（ ）
A. (0 ， 1] B. [1 ， C. (0 ， 43] D. [43 ，
【答案】 D
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：因为
所以 ，
由于 a>0 ，故函数 f'(x) 在 上为减函数，又 f'(1)=0 ，
故当 时， f'(x)>0 ，当 时， f'(x)<0 ，
函数 f(x) 在 (0,1) 上单调递增，在 上单调递减，
，且 时， ，
故函数 f(x) 的值域为 ，
作出函数 f(x) 的草图如下，
由图可知，要使函数 f(x) 的值域与函数 y=f[f(x)] 的值域相同，则需 ，解得 ，
故答案为：D．
【分析】对函数 f(x) 求导，利用导数求得 f(x) 的单调性情况，进而得到其最值，结合题意及图象建立关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．
12.如图．正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线OX，OY，OZ上，则在下列命题中，错误的为（ ）
A. O﹣ABC是正三棱锥 B. 二面角D﹣OB﹣A的平面角为 蟺3
C. 直线AD与直线OB所成角为 蟺4 D. 直线OD⊥平面ABC
【答案】 B
【考点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：正四面体 ABCD 的顶点 A ， B ， C 分别在两两垂直的三条射线 OX ， OY ， OZ 上，
在 A 中， ， OA=OB=OC ， 是正三棱锥，故 A 正确；
将正四面体 ABCD 放入正方体中，如图所示，
在 B 中，设 OB=1 ，则 A(1,0,0) ， B(0,1,0) ， D(1,1,1) ，
O(0,0,0) ， ， ，
设平面 OBD 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
平面 OAB 的法向量 ，
，
二面角 的平面角为 蟺4 ，故 B 错误；
在 C 中，设 OB=1 ，则 A(1,0,0) ， B(0,1,0) ， D(1,1,1) ，
O(0,0,0) ， ， ，
，
直线 AD 与直线 OB 所成角为 蟺4 ，故 C 正确；
在 D 中，设 OB=1 ，则 A(1,0,0) ， B(0,1,0) ， D(1,1,1) ，
O(0,0,0) ， C(0,0,1) ， ，
， ， ， ，
， 直线 平面 ABC ，故 D 正确．
故答案为： B .
【分析】在 A 中， AC=AB=BC ， OA=OB=OC ，从而 是正三棱锥；在 B 中，设 OB=1 ，求出平面 OBD 的法向量 ，平面 OAB 的法向量 ，二面角 的平面角为 蟺4 ；在 C 中，设 OB=1 ，求出 ，直线 AD 与直线 OB 所成角为 蟺4 ；在 D 中，利用向量法求出 ， ，从而直线 平面 ABC ．
二、填空题（共3题；共7分）
13. 的展开式中，x3的系数为________．
【答案】 8
【考点】二项式定理
【解析】【解答】解：对于 (1+2x)4 ，其通项为 ， k=0 ，1， ，4，
令 k=2 和4，可得对应项的系数为： ， ．
故所求的 x3 的系数为 ．
故答案为：8．
【分析】根据式子特点，可先求出 (1+2x)4 的通项，然后分别求出它的展开式中的 x2 ， x4 项的系数，然后相减即可．
14. ， ， ，点 C 在 内，且 ，设 ，则 mn= ________．
【答案】 1
【考点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，故可建立直角坐标系，
则 ， ，
故 ，
又点 C 在 内，且 ，
所以 ，
所以 nm=1
故答案为：1．
【分析】依题意建立直角坐标系，加上点 C 在 内的限制，可得点 C 的坐标，在直角三角形中由正切函数的定义可求解．
15.若椭圆 x24+y23=1 上有两点P，Q（不是长轴的端点），O为原点，若直线OP，OQ斜率分别为K1 ， K2 ， 且满足 ，则 = ________．
【答案】 7
【考点】同角三角函数间的基本关系，诱导公式
【解析】【解答】解：设 P 、 Q 的坐标分别为 ， ，
， ，即 ， ，不妨取 ，
=4+3=7 ．
故答案为：7．
【分析】设 P 、 Q 的坐标分别为 ， ，通过 ，可知 ，不妨取 ；然后用含有 和 的式子表示出 ，借助诱导公式和同角三角函数的平方关系进行化简整理即可得解．
三、双空题（共1题；共2分）
16.将正整数排成如图：
试问2020是表中第________行的第________个数．
【答案】 11；997
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意得第 n 行有 个数，
，
，
是表中第11行的第997个数．
故答案为：11，997．
【分析】由题意得第 n 行有 个数，由此利用等比数列的前 n 项和公式能求出结果．
四、解答题（共7题；共65分）
17.在△ABC中 ； sinC=69 ．
（1）求sinA；
（2）若△ABC的面积 S=2 ，求BC的边长．
【答案】 （1）解： cosB=33 ，
可得 ，
sinC=69 ， 69<63 ，即 sinC
（2）解： ， sinB=63 ， sinC=69 ，
，
设 a=23k ， b=3k ， c=k ，则由三角形的面积公式 S=12bcsinA=2 ，可得 ，解得 k=1 ，
．
【考点】两角和与差的正弦公式，同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinB ， cosC 的值，进而根据两角和的正弦函数公式可求 sinA 的值，（2）由（1）利用正弦定理可求 a:b:c=sinA:sinB:sinC=23:3:1 ，设 a=23k ， b=3k ， c=k ，则由三角形的面积公式解得 k=1 ，即可求得 a 的值．
18.如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为AD，BP的中点，AD＝3，AP＝3 2 ，PC =19 ．
（1）求证：EF//平面PDC；
（2）若∠CDP＝120°，求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值．
【答案】 （1）证明：取 PC 的中点为 M ，连结 FM ， DM ，
， M 分别为 BP 、 PC 的中点，
，且 FM=12BC ，
又四边形 ABCD 为平行四边形， ED//BC ，且 ED=12BC ，
，且 FM=ED ， 四边形 EFMD 是平行四边形，
， 平面 PDC ， 平面 PDC ，
平面 PDC ．
（2）解： 平面 PDC ，四边形 ABCD 为平行四边形，
点 E ， F 分别为 AD ， BP 的中点， AD=3 ， AP=32 ，
PC=19 ． ，
，解得 CD=2 ，
如图，以 D 为原点，在平面 CDP 内过 D 作 DP 的垂线为x轴，
DP 为 y 轴， DA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
则 A(0,0,3) ， ， ，
D(0,0,0) ， E(0,0,32) ， P(0,3,0) ，
设平面 CEP 的一个法向量 ，
，4， 0) ， ，3， ，
则 ，取 y=1 ，得 ，
平面 CDP 的一个法向量 ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ．
二面角 的平面角的余弦值为 29331 ．
【考点】直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）取 PC 的中点为 M ，连结 FM ， DM ，四边形 EFMD 是平行四边形， EF//DM ， EF// 平面 PDC ．（2）由余弦定理求出 CD=2 ，以D为原点，在平面 CDP 内过 D 作 DP 的垂线为 x 轴， DP 为 y 轴， DA 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 的平面角的余弦值．
19.已知抛物线C：y2＝2px（0＜p＜8）的焦点为F点Q是抛物线C上的一点，且点Q的纵坐标为4，点Q到焦点的距离为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l不经过Q点且与抛物线交于A，B两点，QA，QB的斜率分别为K1 ， K2 ， 若K1K2＝﹣2，求证：直线AB过定点，并求出此定点．
【答案】 （1）解：由题意 Q(8p ， 4) ，直线方程为 ，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，
由题意可得 |8p+p2|=5 ，解得 p=2 或8，由题意可得 p=2 ，
所以抛物线的方程为： y2=4x ；
（2）解：由题意设直线 l 的方程为： x=my+b ，设 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ，
联立直线 l 与抛物线的方程可得 {x=my+by2=4x ，整理可得 ，
则 ，①
由（1）可得 Q(4,4) 可得 ，
即 ，
即 ，
整理可得 ，
将①代入可得： ，即 ，
所以 ，或 ，
即 b=6+2m ，或 ，
所以直线 l 的方程为： x=my+6+2m ，即 恒过 ，
或者 即 恒过 (4,4) ，
而由题意可得直线 l 不过 Q(4,4) ，
可证得直线 AB 恒过定点 ．
【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，设 Q 的坐标，由题意可得 p 的值，进而求出抛物线的方程；（2）设直线 AB 的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而求出直线 AQ ， QB 的斜率之积，由题意可得参数之间的关系，进而求出直线 AB 恒过的定点，注意直线不过 Q ，所以求出符合题意的定点的坐标．
20.某生物公司将A型病毒疫苗用100只小白鼠进行科研和临床试验，得到统计数据如表：
未感染病毒
感染病毒
总计
未注射
10
x
A
注射
40
y
B
总计
50
50
100
现从所有试验的小白鼠中任取一只，取得注射疫苗小白鼠的概率为 12 ．
附：
P（K2≥k0）
0.10
0.010
0.001
k0
2.706
6.635
10.828
（1）能否有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效？
（2）现从感染病毒的小白鼠中任取3只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【答案】 （1）解：由条件知， x=40 ， y=10 ， A=50 ， B=50 ，
，
故有 99.9% 的把握认为注射此型号疫苗有效．
（2）解： 的可能取值为0，1，2，3，
， ，
， ．
的分布列为
0
1
2
3
P
247490
195490
45490
3490
数学期望
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先根据题意补充完整 2脳2 列联表，然后由 K2 的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；（2） 的可能取值为0，1，2，3，然后由超几何分布求概率的方法依次求出每个 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．
21.已知函数 ， ．
（1）当 m=3 时，求曲线 y=f(x) 在 (0,f(0)) 处的切线方程；
（2）若 x>0 时， f(x)>0 恒成立，求 m 的取值范围．
【答案】 （1）解：当 m=3 时， ，
．
则 ，又 f(0)=0 ，
曲线 y=f(x) 在 (0 ， f(0)) 处的切线方程为 x+y=0 ；
（2）解：由 f(x)>0 ，得 ，
即 ．设 ，
则
=1?+1−2?(?+2)2=?2+(4−2?)?+4−2?(?+2)2(?+1) ．
令 ，
?=(4−2?)2−4(4−2?)=4?(?−2) ．
①若 ，即 ， g'(x)>0 ，
当 x>0 时， y=g(x) 在 上单调递增，
而 g(0)=0 ， 时， f(x)>0 恒成立，满足题意；
②若 m<0 ， g'(x)>0 ，当 x>0 时， y=g(x) 在 上单调递增，
而 g(0)=0 ， 时， f(x)>0 恒成立，满足题意；
③若 m>2 ，当 x>0 时，由 g'(x)=0 ，
解得 ， ．
y=g(x) 在 (0,x2) 上单调递减，则 g(x2)
【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）把 m=3 代入函数解析式，求导函数，再求出 f'(0) 与 f(0) 的值，利用直线方程的点斜式得答案；（2）由 f(x)>0 ，得 ，即 ．设 ，可得 令 ，可得△ ，分 ， m<0 ， m>2 三类分析求解满足题意的 m 的取值范围．
22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为 （m为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）直线l与曲线C相交于M，N两点，若 ，求 1|PM|2+1|PN|2 的值．
【答案】 （1）解：曲线 C 的参数方程为 为参数），转换为直角坐标方程为 ，整理得 ，
根据 ，转换为极坐标方程为 ，
即 或 （包含 ），
所以曲线C的极坐标方程为 ．
（2）解：直线 l 的参数方程为 转换为直线的标准参数式为 为参数）
代入圆的直角坐标方程为 ，
，设方程两根为 t1,t2 ，
所以 t1+t2=23 ， ，
所以 1|??|2+1|??|2=1?12+1?22=(?1+?2)2−2?1?2(?1?2)2=12+24122=14 ．
【考点】二次函数的性质，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
23.已知函数
（Ⅰ）求不等式f(x)>0的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式 有解，求实数m的取值范围.
【答案】 解：（Ⅰ） ，
当 时，得 x>3 ；当 时，得 ；当 时，得 ，
综上可得不等式 f(x)>0 的解集为 .
（Ⅱ）依题意 ，
令 g(x)=f(x+3)+3|x+5|=|2x+5|+|2x+10| .
∴ ，解得 或 ，即实数 m 的取值范围是 .
【考点】其他不等式的解法，不等式的综合
【解析】【分析】（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，分类解一元一次不等式组后再合并可得解集；（2） f(x+3)+3|x+5|=|2x+5|+|2x+10| ，利用绝对值的三角不等式求得 |2x+5|+|2x+10| 的最小值 min ，然后解不等式 即可．
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