(统考版)2022年高考数学(文数)模拟试卷04（含详解）

这是一份(统考版)2022年高考数学(文数)模拟试卷04（含详解），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：120分钟；满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|1≤x＜3}，N={1，2}，则M∩N=( )
A．{1} B．{1，2} C．{2} D．[1，2]
2．若复数z满足(z－1)i=4＋2i，则|z|=( )
A．25 B.eq \r(17) C．5 D．17
3．某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校2019年自主招生考试的学生人数如下表所示：
该市教委为了解参加考试的学生的学习状况，采用分层抽样的方法从四所中学报名参加考试的学生中随机抽取50名参加问卷调查．则A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为( )
A．15，20，10，5 B．15，20，5，10
C．20，15，10，5 D．20，15，5，10
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a2＜0且a5＜0”是“数列{Sn}单调递减”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2=ab=eq \r(3)，则△ABC的面积为( )
A.eq \f(\r(3),4) B.eq \f(3,4) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(3,2)
6．设a=lg0.53，b=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0.2)，c=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－\f(1,2))，则( )
A．a7．若非零向量a、b满足|a|=2|b|=4，(a－2b)·a=0，则a在b方向上的投影为( )
A．4 B．8 C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,8)
8．执行如图所示的程序框图，若输出的n=7，则输入的整数K的最大值是( )
A．18 B．50 C．78 D．306
9．已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6，8，12，则铁球的直径最大只能为( )
A.eq \r(3) B．2 C.eq \r(5) D．4
10．P为圆C1：x2＋y2=9上任意一点，Q为圆C2：x2＋y2=25上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在C2内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为( )
A.eq \f(13,25) B.eq \f(3,5) C.eq \f(12,25π) D.eq \f(3,5π)
11．已知F是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的右焦点，过点F作垂直于x轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M，若|FM|=2a，记该双曲线的离心率为e，则e2=( )
A.eq \f(1＋\r(17),2) B.eq \f(1＋\r(17),4) C.eq \f(2＋\r(5),2) D.eq \f(2＋\r(5),4)
12．已知函数f(x)=x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12(a<0)，且f(a2－4)=f(2a－8)，则eq \f(f（n）－4a,n＋1)(n∈N*)的最小值为( )
A.eq \f(37,4) B.eq \f(35,8) C.eq \f(28,3) D.eq \f(27,4)
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知函数f(x)=tan x＋sin x＋2 017，若f(m)=2，则f(－m)=________.
14．已知x，y满足不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3y－5≥0，,x＋y－7≤0，,x－2≥0))若z=x＋ay的最小值为4，则实数a的值为________．
15．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n－1，则数列bn=aeq \\al(2,n)－7an＋6的最小值为________．
16.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为4，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________．(容器壁的厚度忽略不计，结果保留)
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)=cs x·(2eq \r(3)sin x＋cs x)－sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围．
18．(本小题满分12分)从某工厂抽取50名工人进行调查，发现他们一天加工零件的个数在50至350个之间，现按生产的零件的个数将他们分成六组，第一组[50，100)，第二组[100，150)，第三组[150，200)，第四组[200，250)，第五组[250，300)，第六组[300，350]，相应的样本频率分布直方图如图所示：
(1)求频率分布直方图中的x的值；
(2)设位于第六组的工人为拔尖工，位于第五组的工人为熟练工，现用分层抽样的方法在这两类工人中抽取一个容量为6的样本，从样本中任意抽2人，求至少有一个拔尖工的概率．
19.(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA=eq \f(π,3)，ABEF为直角梯形，BE∥AF，∠BAF=eq \f(π,2)，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF.
(1)求证：AC⊥平面ABEF；
(2)求三棱锥D­AEF的体积．
20．(本小题满分12分)设函数f(x)=ln x，g(x)=ex，h(x)=ax2＋bx＋c.
(1)若a=1，b=c=0，求函数F(x)=f(x)h(x)的单调区间；
(2)若a=c=0，b>0，且G(x)=g(x)－h(x)≥m(m∈R)对任意的x∈R都成立，求mb的最大值．
21．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)在第一象限内的点P(2，t)到焦点F的距离为eq \f(5,2).
(1)若Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))，过点N，P的直线l1与抛物线相交于另一点Q，求eq \f(|QF|,|PF|)的值；
(2)若直线l2与抛物线C相交于A，B两点，与圆M：(x－a)2＋y2=1相交于D，E两点，O为坐标原点，OA⊥OB，试问：是否存在实数a，使得|DE|为定值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程
已知在一个极坐标系中点C的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))).
(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形；
(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，－\r(3)))，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．
23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲
设函数f(x)=|x－a|，a∈R.
(1)若a=1，解不等式f(x)≥eq \f(1,2)(x＋1)；
(2)记函数g(x)=f(x)－|x－2|的值域为A，若A⊆[－1，3]，求a的取值范围．
参考答案
1．解析：选B.因为M={x|1≤x＜3}，N={1，2}，所以M∩N={1，2}．故选B.
2．解析：选C.由(z－1)i=4＋2i，得z－1=eq \f(4＋2i,i)=2－4i，所以z=3－4i，所以|z|=5.
3．解析：选D.由题意知，四所中学报名参加某高校2019年自主招生考试的学生总人数为100，抽取的学生人数与学生总人数的比值为eq \f(50,100)=eq \f(1,2).所以应从A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为20，15，5，10.
4．解析：选C.因为a5=a2q3＜0，a2＜0，所以q＞0，所以an＜0恒成立，所以Sn－Sn－1=an＜0，{Sn}单调递减，故为充分条件；Sn－Sn－1=an＜0⇒a2＜0，a5＜0，故为必要条件．故选C.
5．解析：选B.依题意得cs C=eq \f(a2＋b2－c2,2ab)=eq \f(1,2)，C=60°，因此△ABC的面积等于eq \f(1,2)absin C=eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)=eq \f(3,4).
6．解析：选A.因为a=lgeq \s\d9(\f(1,2))31，所以a7．解析：选A.由(a－2b)·a=a2－2a·b=0，得a·b=eq \f(a2,2)=eq \f(|a|2,2)=8，从而a在b方向上的投影为eq \f(a·b,|b|)=eq \f(8,2)=4，故选A.
8．解析：选C.第一次循环S=2，n=2，第二次循环S=6，n=3，第三次循环S=2，n=4，第四次循环S=18，n=5，第五次循环S=14，n=6，第六次循环S=78，n=7，需满足S≥K，此时输出n=7，所以189．解析：选B.设长方体三条棱的长分别为a，b，c，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ab＝6,bc＝8,ac＝12))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3,b＝2,c＝4)).
再结合题意可得，铁球的直径最大只能为2.
故选B.
10．解析：选B.设Q(x0，y0)，中点M(x，y)，则P(2x－x0，2y－y0)代入x2＋y2=9，
得(2x－x0)2＋(2y－y0)2=9，
化简得：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(x0,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(y0,2)))eq \s\up12(2)=eq \f(9,4)，
又xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)=25表示以原点为圆心半径为5的圆，
故易知M的轨迹是在以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0,2)，\f(y0,2)))为圆心，以eq \f(3,2)为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有x2＋y2=r2(1≤r≤4)，
那么在C2内部任取一点落在M内的概率为eq \f(16π－π,25π)=eq \f(15,25)=eq \f(3,5).故选B.
11．解析：选A.由题意得，F(c，0)，该双曲线的一条渐近线为y=－eq \f(b,a)x，将x=c代入y=－eq \f(b,a)x得y=－eq \f(bc,a)，
所以eq \f(bc,a)=2a，即bc=2a2，所以4a4=b2c2=c2(c2－a2)，所以e4－e2－4=0，解得e2=eq \f(1＋\r(17),2)，故选A.
12．解析：选A.二次函数f(x)=x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12图象的对称轴为直线x=－eq \f(a＋8,2)，由f(a2－4)=f(2a－8)及二次函数的图象，可以得出eq \f(a2－4＋2a－8,2)=－eq \f(a＋8,2)，解得a=－4或a=1，又a<0，所以a=－4，所以f(x)=x2＋4x，所以eq \f(f（n）－4a,n＋1)=eq \f(n2＋4n＋16,n＋1)=eq \f(（n＋1）2＋2（n＋1）＋13,n＋1)=n＋1＋eq \f(13,n＋1)＋2≥2eq \r(（n＋1）·\f(13,n＋1))＋2=2eq \r(13)＋2，又n∈N*，所以当且仅当n＋1=eq \f(13,n＋1)，即n=eq \r(13)－1时等号成立，当n=2时，eq \f(f（n）－4a,n＋1)=eq \f(28,3)，n=3时，eq \f(f（n）－4a,n＋1)=eq \f(29,4)＋2=eq \f(37,4)13．解析：因为函数f(x)=tan x＋sin x＋2 017，所以f(－x)=－tan x－sin x＋2 017，从而f(－x)＋f(x)=4 034，又f(m)=2，所以f(－m)=4 032.
答案：4 032
14．解析：不等式
组表示的平面区域如图中阴影部分所示，假设z=x＋ay在点C(2，1)处取得最小值，则2＋a=4，a=2，此时y=－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)z，其在点C(2，1)处取得最小值，符合题意．假设z=x＋ay在点B(2，5)处取得最小值，则2＋5a=4，a=eq \f(2,5)，此时y=－eq \f(5,2)x＋eq \f(5,2)z，其在点C处取得最小值，不符合题意．假设z=x＋ay在点A(8，－1)处取得最小值，则8－a=4，a=4，此时y=－eq \f(1,4)x＋eq \f(1,4)z，其在点A处取得最小值，符合题意．所以a的值为2或4.
答案：2或4
15．解析：由Sn=2n－1，得a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2n－1－2n－1＋1=2n－1，a1=1适合上式，所以an=2n－1.
则bn=aeq \\al(2,n)－7an＋6=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an－\f(7,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(25,4).
所以当n=3时(bn)min=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(7,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(25,4)=－6.
故答案为－6.
答案：－6
16．解析：该球形容器最小时，十字立方体与球内接，
此时球直径2R等于由两个正四棱柱组合而成的几何体的对角线，即2R=eq \r(42＋42＋22)=6，球形容器的表面积为4πR2=36π.
答案：36π
17．解：(1)f(x)=2eq \r(3)sin xcs x＋cs2x－sin2x=eq \r(3)sin 2x＋cs 2x
=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2x＋\f(1,2)cs 2x))
=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，
所以函数f(x)的最小正周期T=π.
(2)由题意可知，不等式f(x)≥m有解，即m≤f(x)max.因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，
故当2x＋eq \f(π,6)=eq \f(π,2)，
即x=eq \f(π,6)时，f(x)取得最大值，且最大值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))=2.从而可得m≤2 .
18．解：(1)根据题意，(0.002 4＋0.003 6＋x＋0.004 4＋0.002 4
＋0.001 2)×50=1，解得x=0.006 0.
(2)由题知拔尖工共有3人，熟练工共有6人．
抽取容量为6的样本，则其中拔尖工有2人，熟练工有4人．可设拔尖工为A1，A2，熟练工为B1，B2，B3，B4.
则从样本中任抽2人的基本事件有：
A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，A1A2，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，共15种，
至少有一个是拔尖工的基本事件有A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，A1A2，共9种．
故至少有一个拔尖工的概率是eq \f(9,15)=eq \f(3,5).
19．解：(1)证明：在△ABC中，AB=1，∠CBA=eq \f(π,3)，BC=2，
所以AC2=BA2＋BC2－2BA×BC·cs∠CBA=3，
所以AC2＋BA2=BC2，所以AB⊥AC.
又因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AC⊂平面ABCD，
所以AC⊥平面ABEF.
(2)连接CF.
因为CD∥AB，所以CD∥平面ABEF，
所以点D到平面ABEF的距离等于点C到平面ABEF的距离，
又AC=eq \r(3)，
所以VD­AEF=VC­AEF=eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×3×1))×eq \r(3)=eq \f(\r(3),2).
20．解：(1)由题意知，F(x)=f(x)h(x)=x2ln x，F′(x)=2xln x＋x(x>0)．
令F′(x)>0，得x>eq \f(1,\r(e))，故F(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(e))，＋∞))；
令F′(x)<0，得0(2)由题意知，G(x)=ex－bx，故G′(x)=ex－b，
又b>0，令G′(x)=ex－b=0，得x=ln b，
故当x∈(－∞，ln b)时，G′(x)<0，此时G(x)单调递减；当x∈(ln b，＋∞)时，G′(x)>0，此时G(x)单调递增．
故G(x)min=b－bln b，所以m≤b－bln b，则mb≤b2－b2ln b.
设r(b)=b2－b2ln b(b>0)，则r′(b)=2b－(2bln b＋b)=b－2bln b，
由于b>0，令r′(b)=0，得ln b=eq \f(1,2)，b=eq \r(e)，当b∈(0，eq \r(e))时，r′(b)>0，r(b)单调递增；当b∈(eq \r(e)，＋∞)时，r′(b)<0，r(b)单调递减，所以r(b)max=eq \f(e,2)，即当b=eq \r(e)，m=eq \f(1,2)eq \r(e)时，mb取得最大值eq \f(e,2).
21．解：(1)因为点P(2，t)到焦点F的距离为eq \f(5,2)，所以2＋eq \f(p,2)=eq \f(5,2)，解得p=1，
故抛物线C的方程为y2=2x，P(2，2)，
所以l1的方程为y=eq \f(4,5)x＋eq \f(2,5)，
联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,5)x＋\f(2,5)，,y2＝2x，))
可解得xQ=eq \f(1,8)，
又|QF|=xQ＋eq \f(1,2)=eq \f(5,8)，|PF|=eq \f(5,2)，
所以eq \f(|QF|,|PF|)=eq \f(\f(5,8),\f(5,2))=eq \f(1,4).
(2)设直线l2的方程为x=ny＋m(m≠0)，代入抛物线方程可得y2－2ny－2m=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2=2n，y1y2=－2m，①
由OA⊥OB得，(ny1＋m)(ny2＋m)＋y1y2=0，
整理得(n2＋1)y1y2＋nm(y1＋y2)＋m2=0，②
将①代入②解得m=2或m=0(舍去)，满足Δ=4n2＋8m>0，
所以直线l2：x=ny＋2，
因为圆心M(a，0)到直线l2的距离d=eq \f(|a－2|,\r(1＋n2))，
所以|DE|=2 eq \r(12－\f(（a－2）2,1＋n2))，
显然当a=2时，|DE|=2，所以存在实数a=2，使得|DE|为定值．
22．解：(1)如图，
设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC=θ－eq \f(π,3)或eq \f(π,3)－θ.
由余弦定理得4＋ρ2－4ρcs(θ－eq \f(π,3))=4，所以圆C的极坐标方程为ρ=4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3))).
作图如图所示．
(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，eq \r(3))，可设圆C上任意一点P(1＋2cs α，eq \r(3)＋2sin α)，
又令M(x，y)，由Q(5，－eq \r(3))，M是线段PQ的中点，
得M的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(6＋2cs α,2),y＝\f(2sin α,2)))(α为参数)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3＋cs α,y＝sin α))(α为参数)，
所以点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2=1.
23．解：(1)由于a=1，故f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－x，x<1.,x－1，x≥1.))
当x<1时，由f(x)≥eq \f(1,2)(x＋1)，得1－x≥eq \f(1,2)(x＋1)，解得x≤eq \f(1,3)；
当x≥1时，由f(x)≥eq \f(1,2)(x＋1)，得x－1≥eq \f(1,2)(x＋1)，解得x≥3.
综上，不等式f(x)≥eq \f(1,2)(x＋1)的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))∪[3，＋∞)．
(2)当a<2时，
g(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2，x≤a，,2x－2－a，ag(x)的值域A=[a－2，2－a]，
由A⊆[－1，3]，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2≥－1，,2－a≤3，))
解得a≥1，又a<2，故1≤a<2；
当a≥2时，g(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2，x≤2，,－2x＋2＋a，,2－a，x≥a，))2g(x)的值域A=[2－a，a－2]，
由A⊆[－1，3]，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－a≥－1，,a－2≤3，))
解得a≤3，又a≥2，故2≤a≤3.
综上，a的取值范围为[1，3]．
中学
A
B
C
D
人数
40
30
10
20