(统考版)2022年高考数学(文数)模拟试卷05（含详解）

这是一份(统考版)2022年高考数学(文数)模拟试卷05（含详解），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：120分钟；满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|3－x≥0}，B={2，3，4}，则A∩B=( )
A．{2} B．{3} C．{2，3} D．{2，3，4}
2．已知z(2－i)=1＋i(i为虚数单位)，则z=( )
A．－eq \f(1,5)－eq \f(3,5)i B.eq \f(1,5)＋eq \f(3,5)i C．－eq \f(1,5)＋eq \f(3,5)i D.eq \f(1,5)－eq \f(3,5)i
3．从[－6，9]中任取一个m，则直线3x＋4y＋m=0被圆x2＋y2=2截得的弦长大于2的概率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(2,5) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,5)
4．已知等比数列{an}中，若4a1，a3，2a2成等差数列，则公比q=( )
A．1 B．1或2 C．2或－1 D．－1
5．“a=b=1”是“直线ax－y＋1=0与直线x－by－1=0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知在△ABC中，eq \(BC,\s\up6(→))=eq \r(2) eq \(BD,\s\up6(→))，AD⊥AB，|eq \(AB,\s\up6(→))|=2，则eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))=( )
A．－4eq \r(2) B．4eq \r(2) C．－2eq \r(2) D．2eq \r(2)
7．执行如图所示的程序框图，若输出的值为－1，则判断框中可以填入的条件是( )
A．n≥999? B．n≤999? C．n＜999? D．n＞999?
8．若函数f(x)=eq \r(3)sin(2x＋θ)＋cs(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))对称，则函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的最小值是( )
A．－1 B．－eq \r(3) C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(\r(3),2)
9．已知函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,3x，x≤0，))且函数h(x)=f(x)＋x－a有且只有一个零点，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1]
10.如图所示，边长为a的空间四边形ABCD中，∠BCD=90°，平面ABD⊥平面BCD，则异面直线AD与BC所成角的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
11．已知双曲线M的焦点F1、F2在x轴上，直线eq \r(7)x＋3y=0是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))=0，如果抛物线y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么|eq \(PF1,\s\up6(→))|·|eq \(PF2,\s\up6(→))|=( )
A．21 B．14 C．7 D．0
12．已知f(x)=eq \f(aex,x)，x∈[1，2]，且∀x1，x2∈[1，2]，x1≠x2，eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜1恒成立，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,e)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(9e－2,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e\s\up6(\f(1,3))，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4,e2)))
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知cs 2θ=eq \f(4,5)，则sin4θ＋cs4θ=________．
14．设x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y≤x，,x＋y≥2,x≤2，))，则z=x＋2y的最大值为________．
15．已知等比数列{an}中，a1=3，a4=81，若数列{bn}满足bn=lg3an，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,bnbn＋1)))的前n项和Sn=______．
16．设函数f(x)=lg0.5(|x|＋1)＋eq \f(1,x2＋1)，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=1，cs Bsin C＋(a－sin B)cs(A＋B)=0.
(1)求角C的大小；
(2)求△ABC面积的最大值．
18．(本小题满分12分)在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O.
(1)若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；
(2)若平面PAC⊥平面ABCD，
求证：PB=PD.
19．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2=2px过点P(1，1)．过点(0，eq \f(1,2))作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
20．(本小题满分12分)有一个不透明的袋子，装有三个完全相同的小球，球上分别编有数字1，2，3.
(1)若逐个不放回取球两次，求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率；
(2)若先从袋中随机取一个球，该球的编号为a，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为b，求直线ax＋by＋1=0与圆x2＋y2=eq \f(1,9)有公共点的概率．
21.(本小题满分12分)设函数f(x)=ax2－xln x－(2a－1)x＋a－1(a∈R)．
(1)当a=0时，求函数f(x)在点P(e，f(e))处的切线方程；
(2)若对任意的x∈[1，＋∞)，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，半圆C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs φ,y＝sin φ))(φ为参数，0≤φ≤π)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ＋eq \r(3)cs θ)=5eq \r(3)，射线OM：θ=eq \f(π,3)与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲
已知函数f(x)=|2x－a|＋a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围．
参考答案
1．解析：选C.A={x|x≤3}，B={2，3，4}，
所以A∩B={2，3}，故选C.
2．解析：选D.由已知可得z=eq \f(1＋i,2－i)=eq \f(（1＋i）（2＋i）,（2－i）（2＋i）)=eq \f(1＋3i,5)=eq \f(1,5)＋eq \f(3,5)i，所以z=eq \f(1,5)－eq \f(3,5)i.
3．解析：选A.所给圆的圆心为坐标原点，半径为eq \r(2)，当弦长大于2时，圆心到直线l的距离小于1，即eq \f(|m|,5)＜1，所以－5＜m＜5，故所求概率P=eq \f(5－（－5）,9－（－6）)=eq \f(2,3).
4．解析：选C.因为4a1，a3，2a2成等差数列，所以2a3=4a1＋2a2，又a3=a1q2，a2=a1q，则2a1q2=4a1＋2a1q，解得q=2或q=－1，故选C.
5．解析：选A.a=b=1时，两条直线ax－y＋1=0与直线x－by－1=0平行，
反之由ax－y＋1=0与直线x－by－1=0平行，可得ab=1，显然不一定是a=b=1，
所以，必要性不成立，
所以“a=b=1”是“直线ax－y＋1=0与直线x－by－1=0平行”的充分不必要条件．
故选A.
6．解析：选A.eq \(BD,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(BC,\s\up6(→))=eq \r(2) eq \(BD,\s\up6(→))=eq \r(2)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))，所以eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))=eq \r(2)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))=eq \r(2) eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－eq \r(2) eq \(AB,\s\up6(→))2=0－eq \r(2)×22=－4eq \r(2).
7．解析：选C.该程序框图的功能是计算S=2＋lg eq \f(1,2)＋lg eq \f(2,3)＋…＋lg eq \f(n,n＋1)=2－lg(n＋1)的值．要使输出的S的值为－1，则2－lg(n＋1)=－1，即n=999，故①中应填n＜999？.
8．解析：选B.f(x)=eq \r(3)sin(2x＋θ)＋cs(2x＋θ)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋θ＋\f(π,6)))，则由题意，知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋θ＋\f(π,6)))=0，又0<θ<π，所以θ=eq \f(5π,6)，所以f(x)=－2sin 2x，f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上是减函数，所以函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的最小值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))=－2sineq \f(π,3)=－eq \r(3)，故选B.
9.
解析：选B.如图所示，在同一坐标系中分别作出y=f(x)与y=－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y=－x＋a与曲线y=f(x)只有一个交点．
10．解析：选C.由题意得BC=CD=a，∠BCD=90°，所以BD=eq \r(2)a，所以∠BAD=90°，
取BD的中点O，连接AO，CO，
因为AB=BC=CD=DA=a，
所以AO⊥BD，CO⊥BD，且AO=BO=OD=OC=eq \f(\r(2)a,2)，
又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊥BD，
所以AO⊥平面BCD，
延长CO至点E，使CO=OE，连接ED，EA，EB，
则四边形BCDE为正方形，即有BC∥DE，
所以∠ADE(或其补角)即为异面直线AD与BC的所成角，
由题意得AE=a，ED=a，
所以△AED为正三角形，所以∠ADE=60°，
所以异面直线AD与BC所成角的大小为60°.故选C.
11．解析：选B.设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)，因为直线eq \r(7)x＋3y=0是双曲线M的一条渐近线，所以eq \f(b,a)=eq \f(\r(7),3)，①又抛物线的准线为x=－4，所以c=4，②又a2＋b2=c2，③所以由①②③得a=3.设点P为双曲线右支上一点，所以由双曲线定义得||PF1|－|PF2||=6，④又eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))=0，所以eq \(PF1,\s\up6(→))⊥eq \(PF2,\s\up6(→))，所以在Rt△PF1F2中|eq \(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq \(PF2,\s\up6(→))|2=82，⑤联立④⑤，解得|eq \(PF1,\s\up6(→))|·|eq \(PF2,\s\up6(→))|=14.
12．解析：选D.∀x1，x2∈[1，2]，eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)－1=eq \f(f（x1）－x1－[f（x2）－x2],x1－x2)＜0，
则g(x)=f(x)－x=eq \f(aex,x)－x，
在[1，2]上单调递减，
即g′(x)=eq \f(aex（x－1）,x2)－1≤0，
即eq \f(aex（x－1）,x2)≤1恒成立，
(1)当x=1时，显然恒成立，a∈R；
(2)当x∈(1，2]时，a≤eq \f(x2,ex（x－1）)，
令t(x)=eq \f(x2,ex（x－1）)，则
t′(x)=eq \f(－xex（x2－2x＋2）,e2x（x－1）2)，
当x∈(1，2]时，t′(x)＜0，
t(x)min=t(2)=eq \f(4,e2)，所以a≤eq \f(4,e2)，故选D.
13．解析：法一：因为cs 2θ=eq \f(4,5)，
所以2cs2θ－1=eq \f(4,5)，1－2sin2θ=eq \f(4,5)，
因为cs2θ=eq \f(9,10)，sin2θ=eq \f(1,10)，
所以sin4θ＋cs4θ=eq \f(41,50).
法二：sin4θ＋cs4θ=(sin2θ＋cs2θ)2－eq \f(1,2)sin22θ
=1－eq \f(1,2)(1－cs22θ)=1－eq \f(1,2)×eq \f(9,25)=eq \f(41,50).
答案：eq \f(41,50)
14．解析：作出线
性约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当直线z=x＋2y过点A(2，2)时，z取得最大值6.
答案：6
15．解析：由已知条件可得q4－1=eq \f(a4,a1)=eq \f(81,3)=27，即q=3，
所以eq \f(an＋1,an)=q=3，则bn＋1－bn=lg3an＋1－lg3an=lg3eq \f(an＋1,an)=1.
又因为b1=lg3a1=lg33=1，可得等差数列{bn}的通项公式为bn=n，所以eq \f(1,bnbn＋1)=eq \f(1,n（n＋1）)=eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，
所以Sn=1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)=1－eq \f(1,n＋1)=eq \f(n,n＋1).
答案：eq \f(n,n＋1)
16．解析：因为f(x)=lgeq \s\d9(\f(1,2))(|x|＋1)＋eq \f(1,x2＋1)，所以f(－x)=f(x)，函数f(x)为偶函数，根据复合函数的单调性和基本初等函数的单调性，可知当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递减，f(x)＞f(2x－1)，即f(|x|)＞f(|2x－1|)，所以|x|＜|2x－1|，x2＜4x2－4x＋1，所以x＜eq \f(1,3)或x＞1.
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞)
17．解：(1)由cs Bsin C＋(a－sin B)cs(A＋B)=0，可得cs Bsin C－(a－sin B)cs C=0，即sin(B＋C)=acs C，sin A=acs C，即eq \f(sin A,a)=cs C．因为eq \f(sin A,a)=eq \f(sin C,c)=sin C，所以cs C=sin C，即tan C=1，C=eq \f(π,4).
(2)由余弦定理得12=a2＋b2－2abcseq \f(π,4)=a2＋b2－eq \r(2)ab，
所以a2＋b2=1＋eq \r(2)ab≥2ab，ab≤eq \f(1,2－\r(2))=eq \f(2＋\r(2),2)，当且仅当a=b时取等号，所以S△ABC=eq \f(1,2)absin C≤eq \f(1,2)×eq \f(2＋\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)=eq \f(\r(2)＋1,4).所以△ABC面积的最大值为eq \f(\r(2)＋1,4).
18．证明：(1)因为底面ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.
因为AC⊥PD，PD∩BD=D，
所以AC⊥平面PBD.
(2)由(1)可知，AC⊥BD.
因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面PAC.
因为PO⊂平面PAC，
所以BD⊥PO.
因为底面ABCD是菱形，所以BO=DO，
所以PB=PD.
19．解：(1)由抛物线C：y2=2px过点P(1，1)，得p=eq \f(1,2).
所以抛物线C的方程为y2=x.
抛物线C的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))，准线方程为x=－eq \f(1,4).
(2)证明：由题意，设直线l的方程为y=kx＋eq \f(1,2)(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋\f(1,2)，,y2＝x))
得4k2x2＋(4k－4)x＋1=0.
则x1＋x2=eq \f(1－k,k2)，x1x2=eq \f(1,4k2).
因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为y=x，点A的坐标为(x1，x1)．
直线ON的方程为y=eq \f(y2,x2)x，点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(y2x1,x2))).
因为y1＋eq \f(y2x1,x2)－2x1=eq \f(y1x2＋y2x1－2x1x2,x2)=
eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx1＋\f(1,2)))x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx2＋\f(1,2)))x1－2x1x2,x2)
=eq \f(（2k－2）x1x2＋\f(1,2)（x2＋x1）,x2)
=eq \f(（2k－2）×\f(1,4k2)＋\f(1－k,2k2),x2)
=0，
所以y1＋eq \f(y2x1,x2)=2x1.
故A为线段BM的中点．
20．解：(1)用(p，q)(p表示第一次取到球的编号，q表示第二次取到球的编号)表示先后两次取球构成的基本事件，则基本事件有(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共6个．
设“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除”为事件A，则事件A包含的基本事件有(2，1)，共1个，所以P(A)=eq \f(1,6).
(2)由题意得，所有基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共9个．
设“直线ax＋by＋1=0与圆x2＋y2=eq \f(1,9)有公共点”为事件B，由题意知eq \f(1,\r(a2＋b2))≤eq \f(1,3)，即a2＋b2≥9，
故事件B包含的基本事件有(1，3)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共5个，所以P(B)=eq \f(5,9).
21．解：(1)当a=0时，f(x)=－xln x＋x－1，
则f′(x)=－ln x，则f′(e)=－1，f(e)=－1，
所以函数f(x)在点P(e，f(e))处的切线方程为y＋1=－(x－e)，即x＋y＋1－e=0.
(2)f′(x)=2ax－1－ln x－(2a－1)=2a(x－1)－ln x，
易知，ln x≤x－1，
则f′(x)≥2a(x－1)－(x－1)=(2a－1)(x－1)，当2a－1≥0，即a≥eq \f(1,2)时，由x∈[1，＋∞)得f′(x)≥0恒成立，
所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，f(x)≥f(1)=0符合题意．所以a≥eq \f(1,2).
当a≤0时，由x∈[1，＋∞)得f′(x)≤0恒成立，
所以f(x)在[1，＋∞)上单调递减，f(x)≤f(1)=0显然不满足题意，故a≤0舍去．
当0因为01.
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2a)))时，f′(x)≤0恒成立，此时f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2a)))上单调递减，f(x)≤f(1)=0不满足题意，所以0综上可得，实数a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
22．解：(1)半圆C的普通方程为(x－1)2＋y2=1(0≤y≤1)，又x=ρcs θ，y=ρsin θ，
所以半圆C的极坐标方程是ρ=2cs θ，
θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ρ1＝2cs θ1,θ1＝\f(π,3)))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ρ1＝1,θ1＝\f(π,3)))，
设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ρ2（sin θ2＋\r(3)cs θ2）＝5\r(3),θ2＝\f(π,3)))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ρ2＝5,θ2＝\f(π,3)))，
由于θ1=θ2，所以|PQ|=|ρ1－ρ2|=4，所以线段PQ的长为4.
23．解：(1)由|2x－a|＋a≤6得|2x－a|≤6－a，所以a－6≤2x－a≤6－a，
即a－3≤x≤3，
所以a－3=－2，
所以a=1.
(2)由(1)知f(x)=|2x－1|＋1，
令φ(n)=f(n)＋f(－n)，
则φ(n)=|2n－1|＋|2n＋1|＋2=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－4n，n≤－\f(1,2),4，－\f(1,2)\f(1,2)))，
所以φ(n)的最小值为4，
故实数m的取值范围是[4，＋∞)．