(统考版)2022年高考数学(文数)模拟试卷12（含详解）

这是一份(统考版)2022年高考数学(文数)模拟试卷12（含详解），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：120分钟；满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知全集U={x|x≤－1或x≥0}，集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x2>1}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|x>0或x<－1} B．{x|12．设i是虚数单位，若复数a＋eq \f(5i,1－2i)(a∈R)是纯虚数，则a=( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
3．命题“∀x∈[a，b]，f(x)g(x)=0”的否定是( )
A．∀x∈[a，b]，f(x)≠0且g(x)≠0
B．∀x∈[a，b]，f(x)≠0或g(x)≠0
C．∃x0∈[a，b]，f(x0)≠0且g(x0)≠0
D．∃x0∈[a，b]，f(x0)≠0或g(x0)≠0
4．对任意的非零实数a，b，若a⊗b=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b－1,a)，aA.eq \f(1,4) B.eq \f(5,4) C.eq \f(2,5) D.eq \f(4,5)
5．已知P为△ABC所在平面内一点，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))=0，|eq \(AB,\s\up6(→))|=|eq \(PB,\s\up6(→))|=|eq \(PC,\s\up6(→))|=2，则△ABC的面积等于( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C．3eq \r(3) D．4eq \r(3)
6．已知数列{an}中，a1=1，an＋1=an＋n，若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2 017项，则判断框内的条件是( )
A．n≤2 015? B．n≤2 016? C．n>2 016? D．n<2 016?

7．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，则此三棱柱的表面积为( )
A．20 B．48eq \r(3) C．48＋8eq \r(3) D．8＋eq \r(3)
8．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )
A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民
B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人
C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民
D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人
9．已知数列{an}的通项公式为an=lg(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的n叫作“优数”，则在(0，2 017]内的所有“优数”的和为( )
A．1 024 B．2 012 C．2 026 D．2 036
10．函数f(x)=sin(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))的图象向左平移eq \f(π,6)个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最小值为( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
11．若函数y=f(x)的图象上的任意一点P的坐标为(x，y)，且满足条件|x|≥|y|，则称函数f(x)具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是( )
A．f(x)=ex－1 B．f(x)=ln(x＋1)
C．f(x)=sin x D．f(x)=|x2－1|
12.如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，点M是线段AB上的点，过M作y轴的垂线交抛物线于点P，若|PF|=|PM|，则eq \f(|AM|,|MB|)=( )
A．1 B.eq \f(2,3) C.eq \f(p,2) D.eq \f(2,p)
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．曲线f(x)=eq \f(2,x)＋3x 在点(1，f(1))处的切线方程为________．
14．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且sin2B＋eq \f(1,2)sin B－eq \f(1,2)=0，b=1，c=eq \r(3)，则eq \f(sin2A－sin2C,sin2B)的值是________．
15．设直线(k＋1)x＋(k＋2)y－2=0与两坐标轴围成的三角形面积为Sk，k∈N*，则S1＋S2＋…＋S10等于________．
16．已知函数f(x)=eq \f(1,3)ax3＋ax2－3ax＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围为________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋2sin xcs x．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)先将函数y=f(x)的图象向右平移eq \f(π,12)个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求y=g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，2π))上的值域．
18．(本小题满分12分)从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩(单位：分)数据的茎叶图如图1所示：
(1)分别求出甲、乙两组数据的中位数，并比较两组数据的分散程度(只需给出结论)；
(2)甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a、b、c的值；
(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．
19.(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，∠ABC=60°，四边形BEFD是矩形，且BE=BA，平面BEFD⊥平面ABCD.
(1)求证：AE⊥CF；
(2)若AB=1，求该几何体的表面积．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x，g(x)=eq \f(1,2)ax2＋bx(a≠0)．
(1)若当a=－2时，函数h(x)=f(x)－g(x)在其定义域上是增函数，求实数b的取值范围；
(2)在(1)的条件下，设函数φ(x)=e2x＋bex，x∈[0，ln 2]，求函数φ(x)的最小值．
21.(本小题满分12分)已知双曲线C的方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)=1(a>0，b>0)，离心率e=eq \f(\r(5),2)，顶点到其中一条渐近线的距离为eq \f(2\r(5),5).
(1)求双曲线C的方程；
(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限．若eq \(AP,\s\up6(→))=λeq \(PB,\s\up6(→))，λ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2))，求△AOB的面积的最值．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝m＋\f(\r(2),2)t,y＝\f(\r(2),2)t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cs2θ＋3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．
(1)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值；
(2)求曲线C的内接矩形的周长的最大值．
23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲
设函数f(x)=|x＋1|－|2x－a|.
(1)当a=2时，解不等式f(x)<0;
(2)若a>0，且对于任意的实数x都有f(x)≤3，试求a的取值范围．
参考答案
1．解析：选C.法一：依题意B={x|x>1或x<－1}，图中阴影部分表示集合A∩(∁UB)，因为U={x|x≤－1或x≥0}，所以∁UB={x|x=－1或0≤x≤1}，又集合A={x|0≤x≤2}，所以A∩(∁UB)={x|0≤x≤1}．
法二：依题意A={x|0≤x≤2}，B={x|x>1或x<－1}，图中阴影部分表示集合A∩(∁UB)，因为0∈A，0∉B，故0∈A∩(∁UB)，故排除A、B，而2∈A，2∈B，故2∉A∩(∁UB)，故排除D.
2．解析：选D.因为a＋eq \f(5i,1－2i)=a＋eq \f(5i（1＋2i）,（1－2i）（1＋2i）)=a－2＋i为纯虚数，所以a－2=0，得a=2.
3．解析：选C.全称命题：∀x∈M，p(x)的否定为∃x0∈M，綈p(x0)，原命题中f(x)g(x)=0⇔f(x)=0或g(x)=0，故其否定为∃x0∈[a，b]，f(x0)≠0且g(x0)≠0.
4．解析：选B.因为lg 10 000=lg 104=4，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－2)=4，
所以lg 10 000⊗eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－2)=eq \f(4＋1,4)=eq \f(5,4).
5．解析：选B.由|eq \(PB,\s\up6(→))|=|eq \(PC,\s\up6(→))|得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点为D，则PD⊥BC，又eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))=0，所以eq \(AB,\s\up6(→))=－(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))=－2eq \(PD,\s\up6(→))，所以PD=eq \f(1,2)AB=1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由|eq \(PB,\s\up6(→))|=2，|eq \(PD,\s\up6(→))|=1可得|eq \(BD,\s\up6(→))|=eq \r(3)，则|eq \(BC,\s\up6(→))|=2eq \r(3)，所以△ABC的面积为eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)=2eq \r(3)，故选B.
6．解析：选B.通过分析，本程序框图是当型循环结构．第1次循环，s=1＋1=2，n=1＋1=2，第2次循环，s=2＋2=4，n=2＋1=3，…，第2 016次循环，n=2 017.所以结合选项可知判断框内的条件应为n≤2 016？.
7．解析：选C.因为侧(左)视图中等边三角形的高为2eq \r(3)，所以等边三角形的边长为4，所以三棱柱的所有棱长均为4，故三棱柱的表面积为(4＋4＋4)×4＋2×eq \f(1,2)×4×2eq \r(3)=48＋8eq \r(3).
8．解析：选C.“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．
故选C.
9．解析：选C.a1·a2·a3·…·an=lg23·lg34·lg45·…·lg(n＋1)(n＋2)=lg2(n＋2)=k，k∈Z，令0＜n=2k－2≤2 017，则2＜2k≤2 019，1＜k≤10，
所以“优数”之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)=eq \f(22（1－29）,1－2)－18=211－22=2 026.故选C.
10．解析：选A.由函数f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位得
g(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋φ＋\f(π,3)))的图象，
因为平移后的函数是奇函数，所以φ＋eq \f(π,3)=kπ，k∈Z.又因为|φ|所以f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2,3)π))，
所以当x=0时，f(x)取得最小值为－eq \f(\r(3),2).
11．解析：选C.作出
不等式|x|≥|y|所表示的平面区域如图中阴影部分所示，若函数f(x)具有性质S，则函数f(x)的图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，
易知f(x)=ex－1的图象分布在区域①和③部分，f(x)=ln(x＋1)的图象分布在区域②和④部分，f(x)=sin x的图象分布在区域①和②部分，f(x)=|x2－1|的图象分布在区域①、②和③部分，故选C.
12．解析：选A.法一：如图，设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,1),2p)，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,2),2p)，y2))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,0),2p)，y0))，
过P作抛物线的准线x=－eq \f(p,2)的垂线，垂足为N，根据抛物线的定义，有|PF|=|PN|=xP＋eq \f(p,2)，又|PF|=|PM|，
所以P为MN的中点，于是点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,0),p)＋\f(p,2)，y0))，又A，B，M，F在同一条直线上，所以kAB=kMF，
即eq \f(y1－y2,\f(yeq \\al(2,1),2p)－\f(yeq \\al(2,2),2p))=eq \f(y0－0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,0),p)＋\f(p,2)))－\f(p,2))，
所以eq \f(2p,y1＋y2)=eq \f(p,y0)，所以y0=eq \f(y1＋y2,2)，
因此M是AB的中点，故eq \f(AM,MB)=1.
法二(特殊位置法)：事实上，当AB⊥x轴时，P取O，M与F为同一点，此时也符合题目的条件，且F是AB的中点，故eq \f(|AM|,|MB|)=1.
13．解析： 由题知f(1)=5，因为f′(x)=－eq \f(2,x2)＋3，所以切线的斜率k=f′(1)=1，所以切线方程为y－5=x－1，即x－y＋4=0.
答案：x－y＋4=0
14．解析：法一：由sin2B＋eq \f(1,2)sin B－eq \f(1,2)=0可得sin B=eq \f(1,2)或sin B=－1(舍去)，故B=30°或B=150°，又c=eq \r(3)>b=1，所以B=30°，根据正弦定理eq \f(b,sin B)=eq \f(c,sin C)，得eq \f(1,sin 30°)=eq \f(\r(3),sin C)，解得C=60°或120°.当C=60°时，A=90°，则eq \f(sin2A－sin2C,sin2B)=eq \f(sin290°－sin260°,sin230°)=1；当C=120°时，A=30°，则eq \f(sin2A－sin2C,sin2B)=eq \f(sin230°－sin2120°,sin230°)=eq \f(\f(1,4)－\f(3,4),\f(1,4))=－2.
法二：由sin2B＋eq \f(1,2)sin B－eq \f(1,2)=0可得sin B=eq \f(1,2)或sin B=－1(舍去)，故B=30°或B=150°，又c=eq \r(3)>b=1，所以B=30°，cs 30°=eq \f(a2＋（\r(3)）2－1,2\r(3)a)，即a2－3a＋2=0，解得a=2或1.若a=2，c=eq \r(3)，b=1，则eq \f(sin2A－sin2C,sin2B)=eq \f(a2－c2,b2)=eq \f(4－（\r(3)）2,1)=1，若a=1，c=eq \r(3)，b=1，则eq \f(sin2A－sin2C,sin2B)=eq \f(a2－c2,b2)=eq \f(1－（\r(3)）2,1)=－2.
答案：－2或1
15．解析：令y=0得x=eq \f(2,k＋1)，令x=0得y=eq \f(2,k＋2).
所以Sk=eq \f(1,2)·eq \f(2,k＋1)·eq \f(2,k＋2)
=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k＋1)－\f(1,k＋2)))，所以S1＋S2＋…＋S10
=2eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…))
eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,11)－\f(1,12)))))
=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,12)))=eq \f(5,6).
答案：eq \f(5,6)
16．解析：因为f(x)=eq \f(1,3)ax3＋ax2－3ax＋1，所以f′(x)=ax2＋2ax－3a=a(x2＋2x－3)=a(x＋3)(x－1)．当a=0时，f(x)=1，显然不满足题意；当a≠0时，f(－3)，f(1)分别为函数f(x)的两个极值，因为函数f(x)=eq \f(1,3)ax3＋ax2－3ax＋1的图象经过四个象限，所以函数f(x)的两个极值的符号相反，即f(－3)·f(1)<0，所以(－9a＋9a＋9a＋1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a＋a－3a＋1))<0，即(9a＋1)(5a－3)>0，解得a>eq \f(3,5)或a<－eq \f(1,9)，所以实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,9)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，＋∞)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,9)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，＋∞))
17．解：(1)f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋2sin xcs x
=sin 2xcs eq \f(π,3)＋cs 2xsin eq \f(π,3)＋cs 2xcs eq \f(π,6)－sin 2xsin eq \f(π,6)＋sin 2x
=eq \r(3)cs 2x＋sin 2x
=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
所以函数f(x)的最小正周期T=eq \f(2π,2)=π.
(2)由(1)知f(x)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，先将函数y=f(x)的图象向右平移eq \f(π,12)个单位长度得到函数y=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象．
令t=eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)，
则函数g(x)可转化为y=2sin t.
因为eq \f(π,3)≤x≤2π，所以eq \f(π,3)≤t≤eq \f(7π,6)，
所以当t=eq \f(π,2)，即x=eq \f(2π,3)时，
ymax=geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))=2；
当t=eq \f(7π,6)，即x=2π时，ymin=g(2π)=－1.
所以函数y=g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，2π))上的值域为[－1，2]．
18．解：(1)甲组数据的中位数为eq \f(78＋79,2)=78.5，乙组数据的中位数为eq \f(75＋82,2)=78.5.
从茎叶图可以看出，甲组数据比较集中，乙组数据比较分散．
(2)由图易知a=0.05，b=0.02，c=0.01.
(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，得到的所有基本事件共有100个，其中满足“两数之差的绝对值大于20”的基本事件有16个，故所求概率P=eq \f(16,100)=eq \f(4,25).
19．解：(1)证明：法一：连接AC，记EC，EF，BD的中点分别为G，M，N，连接GM，GN，MN，则GM∥FC，GN∥AE，如图1.
由题意，易证BE⊥AB，
不妨设AB=1，则GM=GN=eq \f(\r(2),2)，MN=BE=1，
由勾股定理的逆定理知GM⊥GN.故AE⊥CF.
法二：如图2，将原几何体补成直四棱柱，则依题意，其侧面ABEG为正方形，对角线AE，BG显然垂直，故AE⊥CF.
(2)连接AC，根据题意易证AB⊥AC，BE⊥平面ABCD，
易知BE=AB=CD=DF=1，BC=AD=2，AE=CF=eq \r(2)，CE=AF=eq \r(5)，EF=BD=eq \r(7)，
从而CE⊥CF，AE⊥AF.
所以所求几何体的表面积S=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×1×1＋\f(1,2)×1×2＋\f(1,2)×\r(2)×\r(5)))＋2×1×eq \f(\r(3),2)=3＋eq \r(10)＋eq \r(3).
20．解：(1)依题意h(x)=ln x＋x2－bx.
因为h(x)在其定义域(0，＋∞)上是增函数，
所以h′(x)=eq \f(1,x)＋2x－b≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以b≤eq \f(1,x)＋2x在(0，＋∞)上恒成立．
因为x>0，所以eq \f(1,x)＋2x≥2eq \r(2)，当且仅当eq \f(1,x)=2x，即x=eq \f(\r(2),2)时等号成立．
所以b的取值范围为(－∞，2eq \r(2)]．
(2)设t=ex，则函数φ(x)可化为y=t2＋bt，t∈[1，2]，即y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(b,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(b2,4)，
所以当－eq \f(b,2)≤1，即－2≤b≤2eq \r(2)时，函数y=t2＋bt在[1，2]上为增函数，当t=1时，函数y=t2＋bt取得最小值，且ymin=b＋1.
当1<－eq \f(b,2)<2，即－4当－eq \f(b,2)≥2，即b≤－4时，函数y=t2＋bt在[1，2]上为减函数，当t=2时，函数y=t2＋bt取得最小值，且ymin=4＋2b.
综上所述，当－2≤b≤2eq \r(2)时，φ(x)的最小值为b＋1；
当－4当b≤－4时，φ(x)的最小值为4＋2b.
21．解：(1)由题意知，双曲线C的顶点(0，a)到渐近线ax－by=0的距离为eq \f(2\r(5),5)，
所以eq \f(ab,\r(a2＋b2))=eq \f(2\r(5),5)，即eq \f(ab,c)=eq \f(2\r(5),5).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(ab,c)＝\f(2\r(5),5)，,\f(c,a)＝\f(\r(5),2)，,c2＝a2＋b2，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1，,c＝\r(5)，))
所以双曲线C的方程为eq \f(y2,4)－x2=1.
(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x，
设A(m，2m)，B(－n，2n)，m>0，n>0.
由eq \(AP,\s\up6(→))=λeq \(PB,\s\up6(→))得
P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－λn,1＋λ)，\f(2（m＋λn）,1＋λ)))，
将P点坐标代入eq \f(y2,4)－x2=1，
化简得mn=eq \f(（1＋λ）2,4λ).
设∠AOB=2θ，因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))=2，
所以tan θ=eq \f(1,2)，sin 2θ=eq \f(4,5).
又|OA|=eq \r(5)m，|OB|=eq \r(5)n，
所以S△AOB=eq \f(1,2)|OA|·|OB|·sin 2θ=2mn=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＋\f(1,λ)))＋1.
记S(λ)=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＋\f(1,λ)))＋1，λ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2))，
则S′(λ)=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,λ2))).
令S′(λ)=0，得λ=1.
又S(1)=2，Seq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))=eq \f(8,3)，S(2)=eq \f(9,4)，
所以当λ=1时，△AOB的面积取得最小值2；
当λ=eq \f(1,3)时，△AOB的面积取得最大值eq \f(8,3).
22．解：(1)曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)=1，将左焦点F(－2eq \r(2)，0)代入直线AB的参数方程，得m=－2eq \r(2).直线AB的参数方程是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2\r(2)＋\f(\r(2),2)t,y＝\f(\r(2),2)t))(t为参数)，
代入椭圆方程得t2－2t－2=0，所以|FA|·|FB|=2.
(2)设椭圆C的内接矩形的顶点分别为(2eq \r(3)cs α，2sin α)，(－2eq \r(3)cs α，2sin α)，(2eq \r(3)cs α，－2sin α)，(－2eq \r(3)cs α，－2sin α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<α<\f(π,2)))，
所以椭圆C的内接矩形的周长为8eq \r(3)cs α＋8sin α=16sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))，
当α＋eq \f(π,3)=eq \f(π,2)，即α=eq \f(π,6)时椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16.
23．解：(1)当a=2时，原不等式为：|x＋1|－|2x－2|<0，
即|x＋1|<|2x－2|，化简得(3x－1)(x－3)>0，
解得x3.故f(x)<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<\f(1,3)或x>3)))).
(2)因为a>0，所以eq \f(a,2)>0.所以原函数可以化为：
f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－（x＋1）＋（2x－a），x≤－1，,（x＋1）＋（2x－a），－1\f(a,2)，))
即f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1－a，x≤－1，,3x＋1－a，－1\f(a,2)，))
所以f(x)max=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))=eq \f(a,2)＋1.
所以eq \f(a,2)＋1≤3，所以a≤4.
综上可得a的取值范围为{a|0