(统考版)2022年高考数学(文数)模拟试卷03（含详解）

这是一份(统考版)2022年高考数学(文数)模拟试卷03（含详解），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：120分钟；满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|x2＋x－2＜0}，B={x|－x2＋x＜0}，则A∩(∁RB)=( )
A．(－∞，0)∪[1，＋∞)
B．(－∞，0]∪(1，＋∞)
C．[0，1)
D．[0，1]
2．已知复数z1=3＋4i，复平面内，复数z1与z3所对应的点关于原点对称，z3与z2关于实轴对称，则z1·z2=( )
A．－25 B．25 C．－7 D．7
3．抛掷红、蓝两枚骰子，当已知红色骰子的点数为偶数时，两颗骰子的点数之和不小于9的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,9) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,12)
4．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( )
A.eq \f(4,7)尺 B.eq \f(16,29)尺 C.eq \f(8,15)尺 D.eq \f(16,31)尺
5．函数f(x)=xln |x|的大致图象是( )
6．已知角α的顶点为坐标原点O，始边为x轴正半轴，终边在第二象限，A(x，y)是其终边上一点，向量m=(3，4)，若m⊥eq \(OA,\s\up6(→))，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))=( )
A．7 B．－eq \f(1,7) C．－7 D.eq \f(1,7)
7．已知数列{an}的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且a1=1，a2=2，a3＋a4=7，a5＋a6=13，则a7＋a8=( )
A．4＋eq \r(2) B．19 C．20 D．23
8．如图所示的程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”．若输入的m，n分别为385，105，执行该程序框图(图中“m MOD n”表示m除以n的余数，例：11 MOD 7=4)，则输出的m等于( )
A．0 B．15 C．35 D．70
9．在△ABC中，点D为边AB上一点，若BC⊥CD，AC=3eq \r(2)，AD=eq \r(3)，sin∠ABC=eq \f(\r(3),3)，则△ABC的面积是( )
A．6eq \r(2) B.eq \f(15\r(2),2) C.eq \f(9\r(2),2) D．12eq \r(2)
10．已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=eq \r(2)，AC=2，若四面体ABCD外接球的球心O恰好在侧棱DA上，DC=2eq \r(3)，则四面体ABCD的体积为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \r(3)
11.如图，已知点P在以F1，F2为焦点的双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)上，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3)＋1,2) C．2 D．2eq \r(3)－1
12．已知函数f(x)在(0，1)恒有xf′(x)＞2f(x)，其中f′(x)为函数f(x)的导数，若α，β为锐角三角形的两个内角，则( )
A．sin2βf(sin α)＞sin2αf(sin β)
B．cs2βf(sin α)＞sin2αf(cs β)
C．cs2βf(cs α)＞cs2αf(cs β)
D．sin2βf(cs α)＞sin2αf(cs β)
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知a>0，b>0，a＋b=2，则y=eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值是________．
14．如图是某班8位学生诗词比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的众数和中位数分别为________．
eq \b\lc\ (\a\vs4\al\c1(8,,9))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(6 6,,0 1 3 3 3 6))
15．已知△ABC中，AB>AC，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=6，BC=eq \r(13)，∠A=60°，若M是BC的中点，过M作MH⊥AB于H，则eq \(MH,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))=________.
16．若函数f(x)=aln x－x＋eq \f(a＋3,x)在定义域内无极值，则实数a的取值范围为________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：
A配方的频数分布表
B配方的频数分布表
(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其指标值t的关系式为y=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2，t<94,2，94≤t<102,4，t≥102))，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述产品平均每件的利润．
18．(本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n－a，n∈N*.设公差不为零的等差数列{bn}满足：b1=a1＋2，且b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比数列．
(1)求a的值及数列{bn}的通项公式；
(2)设数列{lgeq \r(2)an}的前n项和为Tn.求使Tn>bn的最小正整数n.
19．(本小题满分12分)如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，AC=BC=AA1=3，∠ACB=90°，又点B1在底面ABC上的射影D落在BC上，且BC=3BD.
(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；
(2)求三棱锥B1­ABC1的体积．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x－1)ex＋1，x∈[0，1]．
(1)证明：f(x)≥0；
(2)若a21．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2=2px的焦点为F(1，0)，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x=－2相交于M，N两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：△ABO与△MNO的面积之比为定值．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(\r(2),2)＋rcs θ，,y＝－\f(\r(2),2)＋rsin θ))(θ为参数，r＞0)．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))=eq \f(\r(2),2).
(1)写出圆心的极坐标；
(2)求当r为何值时，圆O上的点到直线l的最大距离为3.
23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲
设f(x)=|ax－1|.
(1)若f(x)≤2的解集为[－6，2]，求实数a的值；
(2)当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f(2x＋1)－f(x－1)≤7－3m成立，求实数m的取值范围．
参考答案
1．解析：选C.因为A=(－2，1)，B=(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以∁RB=[0，1]，A∩(∁RB)=[0，1)，选C.
2．解析：选A.由复数z1与z3所对应的点关于原点对称，z3与z2关于实轴对称可得，
复数z1与z2所对应的点关于虚轴对称，z1=3＋4i，所以z2=－3＋4i，
所以z1·z2=(3＋4i)(－3＋4i)=－25.
3．解析：选C.抛掷红、蓝两枚骰子，第一个数字代表红色骰子，第二个数字代表蓝色骰子，
当红色骰子点数为偶数时，有18种，分别为：(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，
其中两颗骰子点数之和不小于9的有6种，分别为：(4，5)，(4，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，
所以当已知红色骰子的点数为偶数时，两颗骰子的点数之和不小于9的概率是P=eq \f(6,18)=eq \f(1,3).故选C.
4．解析：选B.本题可以转为等差数列问题：已知首项a1=5，前30项的和S30=390，求公差d.
由等差数列的前n项公式可得，390=30×5＋eq \f(30×29,2)d，解得d=eq \f(16,29).
5．解析：选A.因为函数f(x)=xln |x|，可得f(－x)=－f(x)，f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除C，D；当x＞0时，f′(x)=ln x＋1，令f′(x)＞0得x＞eq \f(1,e)，得出函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞))上是增函数，排除B，故选A.
6．解析：选D.由m⊥eq \(OA,\s\up6(→))，得3x＋4y=0，即y=－eq \f(3,4)x，所以tan α=－eq \f(3,4)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))=eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan αtan\f(π,4))=eq \f(tan α＋1,1－tan α)=eq \f(－\f(3,4)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4))))=eq \f(1,7).
7．解析：选D.设奇数项的公差为d，偶数项的公比为q，由a3＋a4=7，a5＋a6=13，得1＋d＋2q=7，1＋2d＋2q2=13，解得d=2，q=2，所以a7＋a8=1＋3d＋2q3=7＋16=23，故选D.
8．解析：选C.第一次循环r=70，m=105，n=70；第二次循环r=35，m=70，n=35；第三次循环r=0，m=35，n=0.故输出的m等于35.
9．解析：选A.在△ADC中，因为AC=3eq \r(2)，AD=eq \r(3)，cs∠ADC=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∠ABC＋\f(π,2)))=－sin∠ABC=－eq \f(\r(3),3)，所以代入AC2=AD2＋DC2－2AD·DC·cs∠ADC，可得DC2＋2DC－15=0，舍掉负根有DC=3.
所以BC=DCct∠ABC=3eq \r(2).
AB=AD＋BD=AD＋eq \f(DC,sin∠ABC)=eq \r(3)＋3eq \r(3)=4eq \r(3).
于是根据三角形的面积公式有：
S△ABC=eq \f(1,2)AB·BC·sin∠ABC=eq \f(1,2)·4eq \r(3)·3eq \r(2)·eq \f(\r(3),3)=6eq \r(2).故选A.
10．解析：选C.由AB=BC=eq \r(2)，AC=2，
可知∠ABC=eq \f(π,2)，
取AC的中点M，则点M为△ABC外接圆的圆心，又O为四面体ABCD的外接球球心，
所以OM⊥平面ABC，且OM为△ACD的中位线，所以DC⊥平面ABC，
故三棱锥D­ABC的体积为V=eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)×2eq \r(3)=eq \f(2\r(3),3).故选C.
11．解析：选B.由题意知四边形F1F2PQ的边长为2c，连接QF2，由对称性可知，|QF2|=|QF1|=2c，则三角形QPF2为等边三角形．过点P作PH⊥x轴于点H，则∠PF2H=60°，因为|PF2|=2c，所以在直角三角形PF2H中，|PH|=eq \r(3)c，|HF2|=c，则P(2c，eq \r(3)c)，连接PF1，则|PF1|=2eq \r(3)c.由双曲线的定义知，2a=|PF1|－|PF2|=2eq \r(3)c－2c=2(eq \r(3)－1)c，所以双曲线的离心率为eq \f(c,a)=eq \f(1,\r(3)－1)=eq \f(\r(3)＋1,2).
12．解析：选B.令g(x)=eq \f(f（x）,x2)，则g′(x)=eq \f(x2f′（x）－2xf（x）,x4)=eq \f(xf′（x）－2f（x）,x3)，
由于x∈(0，1)，且xf′(x)＞2f(x)，
所以g′(x)＞0，故函数g(x)在(0，1)上单调递增．又α，β为锐角三角形的两个内角，则eq \f(π,2)＞α＞eq \f(π,2)－β＞0，所以1＞sin α＞sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＞0，即1＞sin α＞cs β＞0，所以g(sin α)＞g(cs β)，即eq \f(f（sin α）,sin2α)＞eq \f(f（cs β）,cs2β)，所以cs2βf(sin α)＞sin2αf(cs β)．
13．解析：依题意，得eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)=
eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))·(a＋b)
=eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(4a,b)))))
≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2\r(\f(b,a)·\f(4a,b))))
=eq \f(9,2)，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝2，,\f(b,a)＝\f(4a,b)，,a>0，b>0，))
即a=eq \f(2,3)，b=eq \f(4,3)时取等号，
即eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值是eq \f(9,2).
答案：eq \f(9,2)
14．解析：依题意，结合茎叶图，将题中的数由小到大依次排列得到：86，86，90，91，93，93，93，96，因此这8位学生得分的众数是93，中位数是eq \f(91＋93,2)=92.
答案：93，92
15．解析：由eq \(AB,\s\up6(→))
·eq \(AC,\s\up6(→))=6，∠A=60°，可得|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|=12，又在△ABC中，13=AB2＋AC2－2AB·ACcs A，所以AB2＋AC2=25，因为AB>AC，所以AB=4，AC=3.以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(4，0)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，
所以eq \(BC,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，\f(3\r(3),2)))，因为M是BC的中点，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,4)，\f(3\r(3),4)))，Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,4)，0))，所以eq \(MH,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(3\r(3),4)))，所以eq \(MH,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))=－eq \f(27,8).
答案：－eq \f(27,8)
16．解析：函数f(x)=aln x－x＋eq \f(a＋3,x)在定义域(0，＋∞)内无极值等价于f′(x)≥0或f′(x)≤0在定义域(0，＋∞)内恒成立．因为f′(x)=eq \f(a,x)－1－eq \f(a＋3,x2)=eq \f(－x2＋ax－（a＋3）,x2)，
设g(x)=－x2＋ax－(a＋3)，则g(x)≥0或g(x)≤0在(0，＋∞)内恒成立，可分两种情况进行讨论，即方程g(x)=－x2＋ax－(a＋3)=0无解或只有小于等于零的解，因此Δ≤0或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ≥0，,\f(a,2)≤0，,g（0）≤0，))解得－2≤a≤6或－3≤a≤－2.故实数a的取值范围为[－3，6]．
答案：[－3，6]
17．解：(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为eq \f(22＋8,100)=0.3，
所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为eq \f(32＋10,100)=0.42，
所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
(2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0时，其质量指标值t≥94，
由试验结果知，指标值t≥94的频率为0.96，
所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.
用B配方生产的产品平均每件的利润为eq \f(1,100)×[4×(－2)＋54×2＋42×4]=2.68(元)．
18．解：(1)当n=1时，a1=S1=2－a；
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2n－1.
因为{an}为等比数列，所以2－a=1，解得a=1.所以an=2n－1.
设数列{bn}的公差为d.
因为b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比数列，
所以(b4＋5)2=(b2＋5)(b8＋5)，
又b1=3，所以(8＋3d)2=(8＋d)(8＋7d)，
解得d=0(舍去)或d=8.所以bn=8n－5.
(2)由an=2n－1，得lgeq \r(2)an=2(n－1)，
所以{lgeq \r(2)an}是以0为首项，2为公差的等差数列，
所以Tn=eq \f(n（0＋2n－2）,2)=n(n－1)．
由bn=8n－5，Tn>bn，得n(n－1)>8n－5，
即n2－9n＋5>0，因为n∈N*，所以n≥9.
故所求n的最小正整数为9.
19．解：(1)证明：因为点B1在底面ABC上的射影D落在BC上，
所以B1D⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以B1D⊥AC，
又∠ACB=90°，所以BC⊥AC，
又B1D∩BC=D，所以AC⊥平面BB1C1C.
(2)因为B1D⊥平面ABC，所以B1D⊥BC，又BD=1，B1B=AA1=3，
所以B1D=eq \r(BBeq \\al(2,1)－BD2)=2eq \r(2)，
所以四边形B1BCC1的面积S四边形B1BCC1=3×2eq \r(2)=6eq \r(2)，
所以S△B1BC1=eq \f(1,2)S四边形B1BCC1=3eq \r(2).
由(1)知AC⊥平面BB1C1C，故三棱锥A­B1BC1的高为AC=3，
所以VB1­ABC1=VA­B1BC1=eq \f(1,3)×3eq \r(2)×3=3eq \r(2).
20．解：(1)证明：因为f′(x)=xex≥0，即f(x)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)≥f(0)=0，结论成立．
(2)令g(x)=eq \f(ex－1,x)，则g′(x)=eq \f(（x－1）ex＋1,x2)>0，x∈(0，1)，
所以，当x∈(0，1)时，g(x)要使eq \f(ex－1,x)要使eq \f(ex－1,x)>a成立，只需ex－ax－1>0在x∈(0，1)上恒成立．
令h(x)=ex－ax－1，x∈(0，1)，
则h′(x)=ex－a，由x∈(0，1)，得ex∈(1，e)，
①当a≤1时，h′(x)>0，此时x∈(0，1)，有h(x)>h(0)=0成立，所以a≤1满足条件；
②当a≥e时，h′(x)<0，此时x∈(0，1)，有h(x)③当1可得当x∈(0，ln a)时，h′(x)<0，即x∈(0，ln a)时，h(x)又b≥e－1，所以b－a的最小值为e－2.
21．解：(1)由焦点坐标为(1，0)，可知eq \f(p,2)=1，所以p=2，
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)证明：当直线l垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，
所以eq \f(S△ABO,S△MNO)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|OF|,2)))eq \s\up12(2)=eq \f(1,4)；
当直线l与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k(x－1)．
设M(－2，yM)，N(－2，yN)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝4x，))整理得k2x2－(4＋2k2)x＋k2=0，所以x1·x2=1.
所以eq \f(S△ABO,S△MNO)
=eq \f(\f(1,2)·|AO|·|BO|·sin∠AOB,\f(1,2)·|MO|·|NO|·sin∠MON)
=eq \f(|AO|,|MO|)·eq \f(|BO|,|NO|)=eq \f(x1,2)·eq \f(x2,2)=eq \f(1,4).
综上，eq \f(S△ABO,S△MNO)=eq \f(1,4).
22．解：(1)由已知可得圆心O的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，所以圆心O的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5π,4))).
(2)由直线l的极坐标方程可得直线l的直角坐标方程为x＋y－1=0，所以圆心O到直线l的距离d=eq \f(|－\r(2)－1|,\r(2))，圆O上的点到直线l的距离的最大值为eq \f(|－\r(2)－1|,\r(2))＋r=3，解得r=2－eq \f(\r(2),2).
23．解：(1)显然a≠0，
当a＞0时，解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)，\f(3,a)))，则－eq \f(1,a)=－6，eq \f(3,a)=2，无解；
当a＜0时，解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,a)，－\f(1,a)))，令－eq \f(1,a)=2，eq \f(3,a)=－6，得a=－eq \f(1,2).
综上所述，a=－eq \f(1,2).
(2)当a=2时，令h(x)=f(2x＋1)－f(x－1)=|4x＋1|－|2x－3|
=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x－4，x≤－\f(1,4)，,6x－2，－\f(1,4)＜x＜\f(3,2)，,2x＋4，x≥\f(3,2)，))
由此可知，h(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(3,2)))上单调递增，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))上单调递增，
则当x=－eq \f(1,4)时，h(x)取到最小值－eq \f(7,2)，由题意知，－eq \f(7,2)≤7－3m，则实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,2))).
指标值分组
[90，94)
[94，98)
[98，102)
[102，106)
[106，110]
频数
8
20
42
22
8
指标值分组
[90，94)
[94，98)
[98，102)
[102，106)
[106，110]
频数
4
12
42
32
10