(统考版)2022年高考数学(文数)模拟试卷11（含详解）

这是一份(统考版)2022年高考数学(文数)模拟试卷11（含详解），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：120分钟；满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|y=eq \r(x)}，B=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)<2x<4))))，则(∁RA)∩B等于( )
A．{x|－12．复数z=eq \f(3＋i,1＋i)＋3i(i为虚数单位)的模为( )
A.eq \r(2) B．2 C．2eq \r(2) D．3
3．已知p：双曲线C为等轴双曲线；q：双曲线C的离心率为eq \r(2)，则p是q成立的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－2－x，x≤0，,－lg2x，x＞0，))则f(f(8))等于( )
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
5．高三(3)班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是( )
A．30 B．31 C．32 D．33
6．执行如图所示的程序框图，若输出的y值为4，则输入的实数x的值为( )
A．2 B．1或－5 C．1或2 D．－5或2
7．在△ABC中，AB=4，AC=2，∠BAC=60°，点D为BC边上一点，且D为BC边上靠近C的三等分点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))=( )
A．8 B．6 C．4 D．2
8．已知函数y=f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，且满足f(x)＋f(－x)=0，当x＞0时，f(x)=ln x－x＋1，则函数y=f(x)的大致图象为( )
9．一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为( )
A.eq \r(33) B.eq \r(17) C.eq \r(41) D.eq \r(42)
10．设数列{an}满足：a1=1，a2=3，且2nan=(n－1)·an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是( )
A.eq \f(21,5) B.eq \f(22,5) C.eq \f(23,5) D.eq \f(24,5)
11．已知命题：
①函数y=2x(－1≤x≤1)的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))；
②为了得到函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，只需把函数y=sin 2x图象上的所有点向右平移eq \f(π,3)个单位长度；
③当n=0或n=1时，幂函数y=xn的图象都是一条直线；
④已知函数f(x)=|lg2x|，若a≠b，且f(a)=f(b)，则ab=1.
其中正确的命题是( )
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
12．已知过抛物线C：y2=4x焦点的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2＋y2－2x=0于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则eq \f(1,|PM|)＋eq \f(4,|QN|)的值不可能为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．在数列{an}中，已知a1=1，an＋1=－eq \f(1,an＋1)，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 017=________．
14．已知P是△ABC所在平面内一点，eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＋2eq \(PA,\s\up6(→))=0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是________．
15．直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC=90°，AA1=2，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O­ABC的体积为1，则球O表面积的最小值为________．
16．已知函数f(x)=2(x＋1)，g(x)=x＋ln x，A，B两点分别为f(x)，g(x)的图象上的点，且始终满足A，B两点的纵坐标相等，则A，B两点间的最短距离为________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
设m=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋A))，cs 2A－cs 2B))，n=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－A))))，且m∥n.
(1)求角B的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，且A=eq \f(π,4)，外接圆半径R=2，求△ABC的周长．
18.(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2.
(1)若点E在对角线BD1上移动，求证：D1E⊥A1D；
(2)当E为棱AB中点时，求点E到平面ACD1的距离．
19．(本小题满分12分)某校高二年级共有1 600名学生，其中男生960名，女生640名．该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试．根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80，100]的学生可取得A等(优秀)，在[60，80)的学生可取得B等(良好)，在[40，60)的学生可取得C等(合格)，不到40分的学生只能取得D等(不合格)．为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30，40)、[40，50)、[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100]七组加以统计，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中成绩不合格的人数；
(2)请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整．并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？
附：K2=eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)
20．(本小题满分12分)设函数f(x)=ax2－ln x＋1(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)=ax2－ex＋3，求证：f(x)＞g(x)在(0，＋∞)上恒成立．
21．(本小题满分12分)已知A(－2，0)，B(2，0)为椭圆C的左，右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2eq \r(3).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线AP的倾斜角为eq \f(3π,4)，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1＋cs α,y＝sin α))(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cs θ＋ksin θ)=－2(k为实数)．
(1)判断曲线C1与直线l的位置关系，并说明理由；
(2)若曲线C1和直线l相交于A，B两点，且|AB|=eq \r(2)，求直线l的斜率．
23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲
设函数f(x)=|x＋3|－|x－1|.
(1)解不等式f(x)≥0；
(2)若f(x)＋2|x－1|≥m对任意的实数x均成立，求m的取值范围．
参考答案
1．解析：选B.因为A={x|y=eq \r(x)}={x|x≥0}，所以∁RA={x|x<0}．又B=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)<2x<4))))={x|－12．解析：选C.由题意知，z=eq \f(3＋i,1＋i)＋3i=eq \f(（3＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＋3i=eq \f(4－2i,2)＋3i=2－i＋3i=2＋2i，所以|z|=2eq \r(2).
3．解析：选C.根据等轴双曲线的定义可知应为充要条件．
4．解析：选D.依题意得，f(8)=－lg28=－3＜0，f(f(8))=f(－3)=4－2－(－3)=－4.
5．解析：选B.抽取容量为4的样本，则要将总体分为4组，每组有14人，由题意可知抽取的座号分别为3，17，31，45.
6．解析：选D.法一：由程序框图，得y=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|x＋1|，x＜1，,2x，x≥1，))若y=4，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＜1，,|x＋1|＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥1，,2x＝4，))
解得x=－5或x=2.
法二：选项代入验证法，若x=2，则输出y值为4，故排除B；若x=－5，则输出y值为4，排除A、C，选D.
7．解析：选A.因为eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=eq \f(16,3)＋eq \f(8,3)=8.
8．解析：选A.函数y=f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，且满足f(x)＋f(－x)=0，所以f(x)为奇函数，故排除C、D，又f(e)=1－e＋1＜0，所以(e，f(e))在第四象限，排除B.
9．解析：选C.依题意，
题中的几何体是四棱锥E­ABB1A1，如图所示(其中ABCD­A1B1C1D1是棱长为4的正方体，C1E=1)，EA=eq \r(32＋42＋42)
=eq \r(41)，EA1=eq \r(12＋42＋42)
=eq \r(33)，EB=eq \r(32＋42)=5，EB1=eq \r(12＋42)=eq \r(17)，AB=BB1=B1A1=A1A=4，因此该几何体的最长棱的棱长为eq \r(41).
10．解析：选D.因为2nan=(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，所以数列{nan}是以a1=1为首项，2a2－a1=5为公差的等差数列，所以20a20=1＋5×19=96，所以a20=eq \f(24,5).
11．解析：选B.①：由f(x)=2x在R上单调递增可知①正确；②：应向右平移eq \f(π,6)个单位长度，故②错误；③：当n=0时，y=xn的图象应为直线y=1去掉点(0，1)，故③错误；④：因为a≠b，所以lg2a=－lg2b，lg2a＋lg2b=0，lg2(ab)=0，ab=1，故④正确．所以正确的命题为①④，故选B.
12．解析：选A.作图如下：
由图可得，可设|PF|=m，|QF|=n，
则|PM|=m－1，|QN|=n－1，
因为y2=4x，所以p=2，根据抛物线的常用结论，有eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)=eq \f(2,p)=1，
所以eq \f(m＋n,mn)=1，
则m＋n=mn，
所以eq \f(1,|PM|)＋eq \f(4,|QN|)=eq \f(1,m－1)＋eq \f(4,n－1)
=eq \f(4m＋n－5,mn－（m＋n）＋1)=4m＋n－5，
又因为(4m＋n)·1=(4m＋n)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))=4＋eq \f(4m,n)＋eq \f(n,m)＋1≥5＋2 eq \r(\f(4m,n)·\f(n,m))，
得4m＋n≥9，所以4m＋n－5≥4，
则eq \f(1,|PM|)＋eq \f(4,|QN|)的值不可能为3，答案选A.
13．解析：由a1=1，an＋1=－eq \f(1,an＋1)，得a2=－eq \f(1,2)，a3=－2，a4=1，a5=－eq \f(1,2)，a6=－2，…，所以数列{an}是以3为周期的周期数列，所以S2 017=672×(a1＋a2＋a3)＋a1=672×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＋1=－1 007.
答案：－1 007
14．解析：设D为BC的中点，则由eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))=－2eq \(PA,\s\up6(→))得eq \(AP,\s\up6(→))=eq \(PD,\s\up6(→)).故S△ABC=2S△PBC，即所求概率为eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
15.
解析：如图，在Rt△ABC中，设AB=c，BC=a，则AC=eq \r(a2＋c2).分别取A1C1，AC的中点O1，O2，则O1，O2分别为Rt△A1B1C1和Rt△ABC外接圆的圆心，
连接O1O2，取O1O2的中点O，则O为三棱柱外接球的球心．
连接OA，则OA为外接球的半径，设半径为R.因为三棱锥O­ABC的体积为1，
即VO­ABC=eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ac,2)))×1=1，
所以ac=6.在Rt△OO2A中，可得R2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AC,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(O1O2,2)))eq \s\up12(2)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(a2＋c2),2)))eq \s\up12(2)＋1=eq \f(a2＋c2,4)＋1，
所以S球表=4πR2=4πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋c2,4)＋1))≥4πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2ac,4)＋1))=16π，
当且仅当a=c时等号成立，
所以球O表面积的最小值为16π.
故答案为16π.
答案：16π
16．解析：不妨设A(m，a)，B(n，a)(n>0)，
则2(m＋1)=a，得m=eq \f(a,2)－1，又n＋ln n=a，则|AB|=|m－n|=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n－\f(n＋ln n,2)＋1))=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)－\f(ln n,2)＋1)).
设F(n)=eq \f(n,2)－eq \f(ln n,2)＋1(n>0)，则F′(n)=eq \f(1,2)－eq \f(1,2n)=eq \f(n－1,2n)，令F′(n)=0，得n=1，故当n∈(0，1)时，F′(n)<0；当n∈(1，＋∞)时，F′(n)>0，所以F(n)min=F(1)=eq \f(3,2)，所以|AB|≥eq \f(3,2)，所以|AB|的最小值为eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
17．解：(1)由m∥n，得cs 2A－cs 2B
=2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋A))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－A))，
即2sin2B－2sin2A
=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)cs2A－\f(1,4)sin2A))，
化简得sin B=eq \f(\r(3),2)，故B=eq \f(π,3)或eq \f(2π,3).
(2)易知B=eq \f(π,3)，则由A=eq \f(π,4)，得C=π－(A＋B)=eq \f(5π,12).
由正弦定理eq \f(a,sin A)=eq \f(b,sin B)=eq \f(c,sin C)=2R，得a=4sin eq \f(π,4)=2eq \r(2)，b=4sin eq \f(π,3)=2eq \r(3)，c=4sin eq \f(5π,12)=4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,6)))=4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)＋\f(1,2)×\f(\r(2),2)))=eq \r(6)＋eq \r(2)，
所以△ABC的周长为eq \r(6)＋2eq \r(3)＋3eq \r(2).
18．解：(1)证明：由长方体ABCD­A1B1C1D1，
得AB⊥平面ADD1A1，
而A1D⊂平面ADD1A1，
所以AB⊥A1D，即A1D⊥AB，
又由正方形ADD1A1，得A1D⊥AD1，
而AD1∩AB=A，
所以A1D⊥平面ABD1，
于是A1D⊥BD1，
而E∈BD1，
所以A1D⊥D1E，
即D1E⊥A1D.
(2)由已知得CD1=eq \r(5)=AC，AD1=eq \r(2)，
过C作CF垂直AD1于F，
则CF= eq \r(5－\f(2,4))=eq \f(3\r(2),2)，
所以S△ACD1=eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \f(3\r(2),2)=eq \f(3,2)，
设点E到平面ACD1的距离为h，
则由VE­ACD1=VD1­AEC有eq \f(1,3)×eq \f(3,2)×h=eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1，
得h=eq \f(1,3)，故点E到平面ACD1的距离为eq \f(1,3).
19．解：(1)设抽取的100名学生中，本次考试成绩不合格的有x人，根据题意得x=100×[1－10×(0.006＋0.012×2＋0.018＋0.024＋0.026)]=2.
据此估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中成绩不合格的人数为eq \f(2,100)×1 600=32.
(2)根据已知条件得2×2列联表如下：
因为K2=eq \f(100×（12×34－6×48）2,60×40×18×82)≈0.407＜2.706，
所以没有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”．
20．解：(1)由于f(x)=ax2－ln x＋1(a∈R)，
故f′(x)=2ax－eq \f(1,x)=eq \f(2ax2－1,x)(x＞0)．
①当a≤0时，f′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．
②当a＞0时，令f′(x)=0，得x=eq \r(\f(1,2a)).
当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
由表可知，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\r(\f(1,2a))))上是单调递减函数，
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(1,2a))，＋∞))上是单调递增函数．
综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；当a＞0时，
f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\r(\f(1,2a))))，
单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(1,2a))，＋∞)).
(2)证明：f(x)－g(x)=ax2－ln x＋1－ax2＋ex－3=ex－ln x－2，
令F(x)=ex－ln x－2(x＞0)，要证f(x)＞g(x)，只需证F(x)＞0.
F′(x)=ex－eq \f(1,x)，由指数函数及幂函数的性质知，F′(x)=ex－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上是增函数．
又F′(1)=e－1＞0，F′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))=eeq \s\up6(\f(1,3))－3＜0，
所以F′(1)·F′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＜0，
F′(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))内存在唯一的零点，也即F′(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点．
设F′(x)的零点为t，
则F′(t)=et－eq \f(1,t)=0，
即et=eq \f(1,t)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＜t＜1))，
由F′(x)的单调性知，
当x∈(0，t)时，F′(x)＜F′(t)=0，F(x)为减函数；
当x∈(t，＋∞)时，F′(x)＞F′(t)=0，F(x)为增函数．
所以当x＞0时，F(x)≥F(t)=et－ln t－2=eq \f(1,t)－lneq \f(1,et)－2=eq \f(1,t)＋t－2≥2－2=0，当且仅当t=1时，等号成立．又eq \f(1,3)＜t＜1.故等号不成立．所以F(x)＞0，即f(x)＞g(x)在(0，＋∞)上恒成立．
21．解：(1)由题意可设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)，F(c，0)．
由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)·2a·b＝2\r(3),a＝2))，解得b=eq \r(3).
故椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1.
(2)以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明如下：由题意可知，c=1，F(1，0)，直线AP的方程为y=－x－2，则点D的坐标为(2，－4)，BD中点E的坐标为(2，－2)，圆的半径r=2.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－x－2,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))，得7x2＋16x＋4=0.
设点P的坐标为(x0，y0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝－\f(2,7),y0＝－\f(12,7))).
因为点F的坐标为(1，0)，则直线PF的斜率为eq \f(4,3)，直线PF的方程为：4x－3y－4=0，
点E到直线PF的距离d=eq \f(|8＋6－4|,5)=2.
所以d=r.故以BD为直径的圆与直线PF相切．
22．解：(1)由曲线C1的参数方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1＋cs α,y＝sin α))
可得其普通方程为(x＋1)2＋y2=1.
由ρ(cs θ＋ksin θ)=－2可得直线l的直角坐标方程为x＋ky＋2=0.
因为圆心(－1，0)到直线l的距离d=eq \f(1,\r(1＋k2))≤1，
所以直线与圆相交或相切，
当k=0时，直线l与曲线C1相切；
当k≠0时，直线l与曲线C1相交．
(2)由于曲线C1和直线l相交于A，B两点，且|AB|=eq \r(2)，
故圆心到直线l的距离d=eq \f(1,\r(1＋k2))=eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))=eq \f(\r(2),2)，
解得k=±1，所以直线l的斜率为±1.
23．解：(1)法一：f(x)≥0等价于|x＋3|≥|x－1|，
当x＞1时，|x＋3|≥|x－1|等价于x＋3≥x－1，即3≥－1，不等式恒成立，故x＞1；
当－3≤x≤1时，|x＋3|≥|x－1|等价于x＋3≥1－x，解得x≥－1，故－1≤x≤1；
当x＜－3时，|x＋3|≥|x－1|等价于－x－3≥1－x，即－3≥1，无解．
综上，原不等式的解集为{x|x≥－1}．
法二：f(x)≥0等价于|x＋3|≥|x－1|，即(x＋3)2≥(x－1)2，
化简得8x≥－8，
解得x≥－1，即原不等式的解集为{x|x≥－1}．
(2)f(x)＋2|x－1|=|x＋3|－|x－1|＋2|x－1|=|x＋3|＋|x－1|≥|x＋3－(x－1)|=4，要使f(x)＋2|x－1|≥m对任意的实数x均成立，
则[f(x)＋2|x－1|]min≥m，
所以m≤4.
数学成
绩优秀
数学成不优秀
总计
男生
a=12
b=
女生
c=
d=34
总计
n=100
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
k0
2.072
2.706
3.841
数学成
绩优秀
数学成绩
不优秀
总计
男生
a=12
b=48
60
女生
c=6
d=34
40
总计
18
82
100
x
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0， \r(\f(1,2a))))
eq \r(\f(1,2a))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(1,2a))，＋∞))
f′(x)
－
0
＋
f(x)

极小值
