数学八年级上册第十九章 几何证明综合与测试单元测试同步训练题

这是一份数学八年级上册第十九章 几何证明综合与测试单元测试同步训练题，共13页。试卷主要包含了下列命题是真命题的是，下列各命题的逆命题成立的是，下列命题中是真命题的是，命题“同位角相等”是　 　命题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，在平面直角坐标系中，点P为x轴上一点，且到A（0，2）和点B（5，5）的距离相等，则线段OP的长度为（ ）
A．3B．4C．4.6D．2
2．在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线B．高线
C．角平分线D．某一边的垂直平分线
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．中位数就是一组数据中最中间的一个数
B．计算两组数的方差，所S甲2＝0.39，S乙2＝0.25，则甲组数据比乙组数据波动小
C．一组数据的众数可以不唯一
D．一组数据的标准差就是这组数据的方差的平方根
4．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
5．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为（ ）
A．5B．4C．3D．2
6．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．下列命题中是真命题的是（ ）
A．三角形的外心到三角形三边的距离相等
B．三角形的一个内角的角平分线把三角形分成面积相等的两部分
C．等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
8．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）
A．20B．30C．50D．100
二．填空题
9．命题“同位角相等”是 命题（填“真”或“假”）．
10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC＝5，△BCD的面积为5，则ED的长为 ．
11．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，若BD＝3，AD＝2，则AC的长度x取值范围为 ．
12．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，则△ABD的面积是 ．
13．已知平面直角坐标系内不同的两点A（3a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为 ．
14．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ．
15．命题“互为相反数的两个数的和为零”的题设是 ，结论是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，∠CBD＝26°，则∠A＝ 度．
三．解答题
17．概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．
理解应用
（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．
①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点； ；
②任意的三角形都存在等角点； ；
（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．
解决问题
如图②，在△ABC中，∠BAC＜∠ABC＜∠ACB，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．
18．（1）完成下面的推理说明：
已知：如图，BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD．
求证：AB∥CD．
证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知），
∴∠1＝∠ ，∠2＝∠ （ ）．
∵BE∥CF（ ），
∴∠1＝∠2（ ）．
∴∠ABC＝∠BCD（ ）．
∴∠ABC＝∠BCD（等式的性质）．
∴AB∥CD（ ）．
（2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题．
19．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠1＝∠2；④BD＝CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）
20．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
21．如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是转化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．
下面：以求DE为例来说明如何解决：
从坐标系中发现：D（﹣7，5），E（4，﹣3）．所以DF＝|5﹣（﹣3）|＝8，EF＝|4﹣（﹣7）|＝11，所以由勾股定理可得：DE＝＝．
下面请你参与：
（1）在图①中：AC＝ ，BC＝ ，AB＝ ．
（2）在图②中：设A（x1，y1），B（x2，y2），试用x1，x2，y1，y2表示AC＝ ，BC＝ ，AB＝ ．
（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：
已知：A（2，1），B（4，3），C为坐标轴上的点，且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形．请求出C点的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：设点P（x，0），
根据题意得，x2+22＝（5﹣x）2+52，
解得：x＝4.6，
∴OP＝4.6，
故选：C．
2．解：根据同底等高的两个三角形面积相等可知，在三角形中，三角形的中线一定能将其面积分成相等两部分，
故选：A．
3．解：A、中位数就是一组数据中最中间的一个数或着是中间两个数的平均数，故错误；
B、计算两组数的方差，所S甲2＝0.39，S乙2＝0.25，则甲组数据比乙组数据波动大；故错误；
C、一组数据的众数可以不唯一，故正确；
D、一组数据的标准差就是这组数据的方差的算术平方根，故错误；
故选：C．
4．解：A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；
B、绝对值相等的两个数相等，错误；
C、同位角相等，两条直线平行，正确；
D、相等的两个角都是45°，错误．
故选：C．
5．解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴点D是AB的中点，
∴S△ADC＝S△BDC，
∵S△BDC﹣S△CDE＝5，
∴S△ADC﹣S△CDE＝5，即△ADE的面积为5，
故选：A．
6．解：过D作DG⊥AC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DG＝DE＝2，
∵AB＝6，AC＝4，
∴S△ABC＝AC•BF＝S△ABD+S△ACD＝AB•DE+AC•DG，
∴×4•BF＝×6×2+×4×2，
∴BF＝5，
故选：C．
7．解：A、三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、三角形的一个内角的中线把三角形分成面积相等的两部分，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、等腰三角形的底边上的高、地边上的中线、顶角平分线三线合一，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
8．解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝，
故选：C．
二．填空题
9．解：两直线平行，同位角相等，
命题“同位角相等”是假命题，因为没有说明前提条件．
故答案为：假．
10．解：过D点作DF⊥BC于F，如图，
∵△BCD的面积为5，
∴DF•BC＝5，
而BC＝5，
∴DF＝2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF＝2．
故答案为2．
11．解：∵MN是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝BD＝3，
在△ADC中，3﹣2＜AC＜3+2，即1＜x＜5，
故答案为：1＜x＜5．
12．解：∵AD平分∠BAC，CD⊥AC，
∴D点到AB的距离等于CD长度2．
所以△ABD面积＝×6×2＝6．
故答案为6．
13．解：∵平面直角坐标系内的两点A（3a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，
∴|2a+2|＝4，
解得：a1＝1，a2＝﹣3．
当a＝1时，点A为（5，4），点B为（3，4），符合题意；
当a＝﹣3时，点A为（﹣4，4），点B（3，﹣4），符合题意．
故答案为：1或﹣3．
14．解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．
15．解：命题“互为相反数的两个数的和为零”，写成”如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零”，题设是两个数互为相反数，结论是这两个数的和为零．
故答案为：两个数互为相反数，这两个数的和为零；
16．解：∵AB的垂直平分线DE，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠C＝90°，∠CBD＝26°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴2∠A＝90°﹣26°＝64°，
∴∠A＝32°，
故答案为：32．
三．解答题
17．解：理解应用
（1）①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点是真命题；
②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；
故答案为：真命题，假命题；
（2）∠BPC＝∠ABC+∠ACP，
理由：如图①，∵在△ABC中，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC＝∠PBC，
∴∠BPC＝∠ABP+∠PBC+∠ACP＝∠ABC+∠ACP；
解决问题
如图②，连接PB，PC
∵P为△ABC的角平分线的交点，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∵P为△ABC的等角点，
∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠BAC，∠ACB＝∠BPC＝4∠BAC，
又∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+2∠BAC+4∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝，
∴该三角形三个内角的度数分别为，，．
18．解：（1）∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知）
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD（角平分线的定义）
∵BE∥CF（已知）
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∴∠ABC＝∠BCD（等量代换）
∴∠ABC＝∠BCD（等式的性质）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
故答案为：ABC；BCD；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；
（2）两个互逆的真命题为：
两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行．
19．解：答案不唯一．如：
已知：在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．
求证：BD＝CE．
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE（全等三角形对应边相等）．
20．解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵AB＝6，BC＝8，S△ABC＝28，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+BC•DF＝DE•（AB+BC）＝28，
即DE（6+8）＝28，
∴DE＝4．
21．解：（1）AC＝4，BC＝3，AB＝＝5；
（2）结合图形可得：AC＝y1﹣y2，BC＝x1﹣x2，AB＝．
（3）若点C在x轴上，设点C的坐标为（x，0），
则AC＝BC，即＝，
解得：x＝5，
即点C的坐标为（5，0）；
若点C在y轴上，设点C的坐标为（0，y），
则AC＝BC，即＝，
解得：y＝5，
即点C的坐标为（0，5）．
综上可得点C的坐标为（5，0）或（0，5）．
故答案为：4，3，5；y1﹣y2，x1﹣x2，A．