初中数学青岛版八年级上册第5章 几何证明初步综合与测试单元测试习题

这是一份初中数学青岛版八年级上册第5章 几何证明初步综合与测试单元测试习题，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

青岛版初中数学八年级上册第五单元《几何证明初步》单元测试卷
考试范围：第五章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ABC的平分线BE交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG//AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G.有以下结论：①∠AFB=135°；②∠BDG=2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC=∠FBG.其中正确的个数是(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 下列命题：
①同旁内角互补；
②若n<1，则n2−1<0；
③直角都相等；
④相等的角是对顶角．
其中，真命题的个数有  
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连结BE，且BE平分∠ABC，则以下命题不正确的是(    )


A. BC+AD=CD B. E为CD中点
C. ∠AEB=90° D. S△ABE=12S四边形ABCD
4. 要证明命题“若a>b则a2>b2”是假命题，下列a，b的值能作为反例的是(    )
A. a=−1，b=2 B. a=−2，b=−3
C. a=−1，b=0 D. a=−2，b=−1
5. 某足球比赛小组赛的比赛规则：四个球队进行单循环比赛(每两队赛一场)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名(四队得分互不相等)，且丙与其他球队均打平，则四个球队的得分之和可能为(    )
A. 13分或14分 B. 14分或15分 C. 15分或16分 D. 16分或17分
6. 如图，AB // EF // DC，EG // DB，则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有    (    )
A. 6个
B. 5个
C. 4个
D. 3个
7. ①如图1，AB//CD，则∠A+∠E+∠C=180°；②如图2，AB//CD，则∠E=∠A+∠C；③如图3，AB//CD，则∠A+∠E−∠1=180°；④如图4，AB//CD，则∠A=∠C+∠P.以上结论正确的是(    )

A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④
8. 下面说法：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;②对顶角相等;③两条直线被第三条直线所截，同位角相等：④从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离.其中正确的有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD=15°时，BC//DE，则∠BAD(0°<∠BAD<180°)其它所有可能符合条件的度数为(    )

A. 60°和135° B. 45°、60°、105°和135°
C. 30°和45° D. 以上都有可能
10. 如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M、N分别是BA、CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∠F的度数为(    )
A. 120° B. 135° C. 150° D. 不能确定
11. 下列条件：①∠ A−∠B=∠C; ②∠A: ∠B: ∠C=2:3:5;③∠A=12∠B=13∠C；④∠A=∠B=2∠C，⑤ ∠A=∠B=12∠C，其中能确定△ABC为直角三角形的条件有(    )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
12. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF//BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列选项中结论错误的是(    )


A. EF=BE+CF
B. ∠BOC=90∘+12∠A
C. 点O到△ABC各边的距离相等
D. 设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 把“内错角相等”写成“如果…那么…”的形式为____．
14. 下面是六个推断：
①因为平角的两条边在一条直线上，所以直线是一个平角．
②因为周角的两条边在一条射线上，所以射线是一个周角．
③因为扇形是圆的一部分，所以圆周的一部分是扇形．
④因为平行的线段没有交点，所以不相交的两条线段平行．
⑤因为正方形的边长都相等，所以边长相等的四边形是正方形．
⑥因为等腰三角形有两个内角相等，所以有两个内角相等的三角形是等腰三角形．
其中正确的结论有______个，其序号是______．
15. 如图，已知AB//CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P在AB，CD之间且在EF的左侧．若将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则∠EPF的度数为________．

16. 如图△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=70°，点D在边OA上，将△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中当CD//AB时，旋转时间t=_____秒．



三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 我们定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“奇异三角形”．
(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题：“等边三角形一定是奇异三角形”
是______命题．(填写“真命题、假命题”)
(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是
“奇异三角形”，则a：b：c=______．
(3)如图，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若在四边形ACBD内存在点E使得AE=AD，CB=CE．
①求证：△ACE是“奇异三角形”；
②当△ACE是直角三角形时，且AC=3，求线段AB的长．

18. 已知如图：四边形ABCD、AB>AD、CE⊥AB于E、现有四个论断：①AC平分∠BAD、②AB+AD=2AE、③CB=CD、④∠B+∠D=180°.以其中两个论断条件，另两个论断为结论，组成一个正确命题，选择其中一个正确命题，并给予证明．

19. 国际象棋比赛中，胜一局得2分，平一局各得1分，负一局得0分，今有10名选手进行单循环比赛(每两人均赛一局)，赛完后发现各选手得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次后，第一名选手与第二名选手均没有负一局，第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多20分，还知道第四名选手得分是最后四名选手的得分总和，问前六名选手各得分多少？说明理由．
20. 如图，△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下面四个论断：①AD=CB；②AE=CF；③∠B=∠D；④AD//BC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，使它组成一个真命题，并加以证明．

21. 在等腰△ABC中，AB=BC，高AD，BE所在的直线相交于点F，将△ACD沿直线AD翻折，点C的对称点C′落在直线BC上，连接FC′．
(1)如图1，当∠ABC=45°时，
①求证：BF=AC；
②求∠FC′D的度数．
(2)当∠ABC=135°时，补全图2，并求证：C′F//AB．


22. 已知：如图，∠1+∠2=180°，∠AEF=∠HLN，判断图中有哪些直线平行，并给予证明．

23. 如图，已知AB⊥BC，BD⊥AC，EC⊥AC，∠1与∠2互补，试说明DF⊥BC的理由．

24. 如图1，直线MN⊥直线PQ，垂足为点O，点A，B分别在射线OM，OP上(不与点O重合)，AC是∠MAB的平分线，AC的反向延长线与∠ABQ的平分线交于点D，BD与MN交于点E．

(1)当∠BAO=50∘时，求∠ABD、∠D的度数;
(2)如图2，当点A，B在射线OM，OP上任意移动时(不与点O重合)，∠D的大小是否变化⋅若不变化，请求出∠D的度数;若变化，请说明理由;
(3)当∠BAO等于多少度时，∠DAE=∠DEA．
25. 在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．

(1)如图1，当AE⊥BC时，求证：DE//AC
(2)若∠C=2∠B，∠BAD=x°(0 ①如图2，当DE⊥BC时，求x的值．
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAF=∠CAF=12∠BAC，∠FBA=∠CBE=12∠ABC，
∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠ABC=180°−90°=90°，
∴∠FAB+∠FBA=12(∠BAC+∠ABC)=45°，
∴∠AFB=180°−(∠FAB+∠FBA)=180°−45°=135°，故①正确，符合题意；
∵DG//AB，
∴∠BDG=∠ABC，
∵∠CBE=12∠ABC，
∴∠BDG=2∠CBE，故②正确，符合题意；
∵BG⊥DG，
∴∠G=90°，
∴∠GDB+∠GBD=90°，
又∵∠GDB=∠ABC，
∴∠ABC+∠GBD=90°，无法判定∠GBD=∠ABC，故③错误，不符合题意；
又∵∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠GBD，
∵∠ABF=∠EBC，
∴∠ABF+∠BAC=∠EBC+∠GBD，
∴∠BEC=∠EBG，故④正确，符合题意；
故选：C．
由三角形的内角和与角平分线的定义求∠AFB，由DG//AB和BE平分∠ABC判断②，结合DG⊥DG求∠GBC与∠ABC的关系判断③，由三角形的内角和与平行线的性质判断④．
本题考查了三角形的内角和与外角和、平行线的性质、垂直的定义和角平分线的定义，整体思想的应用是判断①的关键，解题的时候要多次应用等量代换．

2.【答案】A 
【解析】解：①同旁内角互补，错误，是假命题；
②若n<1，则n2−1<0，错误，是假命题；
③直角都相等，正确，是真命题；
④相等的角是对顶角，错误，是假命题，
故选A．
利用平行线的性质、不等式的性质、直角的定义及对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、不等式的性质、直角的定义及对顶角的性质等知识，难度较小．

3.【答案】A 
【解析】解：延长BE，AD交于点F，
∵AD//BC，
∴∠CBA+∠BAD=180°，
∵AE平分∠BAD，BE平分∠CBA，
∴∠BAE=12∠BAD，∠ABE=12∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠AEB=90°，
故选项C不符合题意；
∵AD//BC，
∴∠ABF=∠F，∠C=∠D，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△AFE(AAS)，
∴BE=EF，
∵∠C=∠D，∠BEC=∠FED，
∴△BCE≌△FDE(AAS)，
∴CE=DE，
∴E为CD中点，
故选项B不符合题意；
∵△BCE≌△FDE，
∴S△ABF=S四边形ABCD，
∵E为CD中点，
∴S△ABE=12S△ABF，
∴S△ABE=12S四边形ABCD，
故选项D不符合题意；
∵△ABE≌△AFE(AAS)，△BCE≌△FDE(AAS)，
∴AB=AF，BC=DF，
∵AF=AD+DF=AD+BC，
∴AB=AD+BC，
∵AB与CD不一定相等，
∴BC+AD=CD不一定成立；
故选项A符合题意．
故选：A．
C：先根据AD//BC，推∠CBA+∠BAD=180°，再根据AE平分∠BAD，BE平分∠CBA，进一步推∠BAE+∠ABE=90°，证明∠AEB=90°；
B：延长BE，AD交于点F，先通过(AAS)证明△ABE≌△AFE(AAS)，推BE=EF，再证明△BCE≌△FDE(AAS)，
从而证明E为CD中点；
D：根据△BCE≌△FDE，得S△ABF=S四边形ABCD，再根据E为CD中点，得S△ABE=12S△ABF，最后的S△ABE=12S四边形ABCD；
A：由△ABE≌△AFE，△BCE≌△FDE，推AB=AF，BC=DF，再根据AF=AD+DF=AD+BC，推AB=AD+BC，
因此BC+AD=CD不一定成立．
本题考查了全等三角形的判定与性质、命题与定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质的应用，辅助线的做法是解题的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：A、a=−1，b=2不满足a>b，所以A选项不能作为证明原命题是假命题的反例；
B、a=−2，b=−3，满足a>b，但a2b则a2>b2是假命题，所以B选项能作为证明原命题是假命题的反例，故B符合题意；
C、a=−1，b=0，不满足a>b，所以C选项不能作为证明原命题是假命题的反例；
D、a=−2，b=−1，不满足a>b，所以D选项不能作为证明原命题是假命题的反例；
故选：B．
作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断．
本题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．

5.【答案】B 
【解析】解：∵丙与其他球队均打平，
∴丙得分为3分，
∵甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名(四队得分互不相等)，
∴丁1平2负或2平1负得1分或2分，
∴当丁1平2负时，甲2胜1平得7分，乙1胜1平1负得4分满足条件，四个球队的得分之和为7+4+3+1=15(分)；
当丁2平1负时，甲1胜2平得5分，乙1胜1平1负得4分满足条件，四个球队的得分之和为5+4+3+2=14(分)．
则四个球队的得分之和可能为14分或15分．
故选：B．
利用已知得出丙3平得分为3分，∵根据甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名(四队得分互不相等)，可得丁1平2负或2平1负得1分或2分，当丁1平2负时，甲2胜1平得7分，乙1胜1平1负得4分满足条件；当丁2平1负时，甲1胜2平得5分，乙1胜1平1负得4分满足条件；进而得出答案．
此题主要考查了推理与论证，正确分析得出每队胜平负场次是解题关键．

6.【答案】B 
【解析】解：如图，∵EG//DB，
∴∠1=∠2，
∵AB//EF//DC，
∴∠2=∠4，∠1=∠3=∠5=∠6，
∴与∠1相等的角有∠2、∠3、∠4、∠5、∠6共5个．
故选：B．
根据平行线的性质确定出与∠1相等的角即可得解．
本题考查了平行线的性质，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．

7.【答案】C 
【解析】解：①过点E作直线EF//AB，

∵AB//CD，
∴AB//CD//EF，
∴∠A+∠1=180°，∠2+∠C=180°，
∴∠A+∠C+∠E=360°，故本小题错误；
②过点E作直线EF//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EF，
∴∠A=∠1，∠2=∠C，
∴∠AEC=∠A+∠C，即∠E=∠A+∠C，故本小题正确；
③过点E作直线EF//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EF，
∴∠A+∠3=180°，∠1=∠2，
∴∠A+∠AEC−∠1=180°，即∠A+∠E−∠1=180°，故本选项正确；
④∵∠1+∠CEP=180°，∠CEP+∠C+∠P=180°，∴∠1=∠C+∠P，
∵AB//CD，
∴∠A=∠1，即∠A=∠C−∠P，故本小题正确．
综上所述，正确的小题有②③④共3个．
故选：C．
①过点E作直线EF//AB，由平行线的性质即可得出结论；
②过点E作直线EF//AB，由平行线的性质即可得出结论；
③过点E作直线EF//AB，由平行线的性质可得出∠A+∠E−∠1=180°；
④先得出∠1=∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断．
本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
②对顶角相等．
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故③错误．
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，故④错误，
故选：B．
根据垂线的性质、对顶角的性质、点到直线的距离，可得答案．
本题考查了点到直线的距离、平行线的性质、点到直线的距离，利用垂线的性质、对顶角的性质、点到直线的距离是解题关键．

9.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查的是平行线的性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．根据题意画出图形，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】
解：当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；

当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；

当BC//AE时，∵∠EAB=∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；

当AB//DE时，∵∠E=∠EAB=90°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°．

故选B．  
10.【答案】B 
【解析】解：如下图，

∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°−90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=12×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠AED=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°−90°=45°，
∴∠F=180°−(∠FAD+∠FDA)=180−45°=135°．
故选：B．
先根据∠1+∠2=90°得出∠EAM+∠EDN的度数，再由角平分线的定义得出∠EAF+∠EDF的度数，根据AE⊥DE可得出∠3+∠4的度数，进而可得出∠FAD+∠FDA的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
本题查的是三角形内角和定理及角平分线的定义，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．

11.【答案】C 
【解析】
【分析】
此题考查三角形内角和定理和直角三角形的判定，难度不大.确定三角形是直角三角形的条件是有一角是直角.根据三角形内角和定理，结合已知条件可分别求出各角的度数，然后作出判断. 
【解答】
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴若①∠A−∠B=∠C，则∠A=90°，三角形为直角三角形；
②∠A﹕∠B﹕∠C=2∶3∶5，则∠A=36°，∠B=54°，∠C=90°，三角形为直角三角形；
③∠A=12∠B=13∠C，则∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，三角形为直角三角形；
④∠A=∠B=2∠C，则∠A=∠B=72°，∠C=36°，三角形不是直角三角形；
⑤∠A=∠B=12∠C，则∠A=∠B=45°，∠C=90°，是直角三角形．
故选C．
  
12.【答案】D 
【解析】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12(180∘−∠A)=90∘− 12∠A，
∴∠BOC=180∘−(∠OBC+∠OCB)=90∘+12∠A，故B选项结论正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF//BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
故A选项结论正确；
过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，连接OA，如图，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE⋅OM+12AF⋅OD
=12OD⋅(AE+AF)=12mn，故D选项结论错误；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故C选项结论正确．
故选D．


13.【答案】如果两个角是内错角，那么这两个角相等 
【解析】解：∵此命题的题设是：内错角，结论是：相等，
∴如果…那么…”的形式为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．
先区分题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式即可．
本题考查的是命题与定理，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．

14.【答案】1  ⑥ 
【解析】解：①因为直线没有端点，所以直线不是平角，故此小题错误；
②因为射线是一条线，所以射线不是角，故此小题错误；
③因为一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，所以圆周的一部分不是扇形，故此小题错误；
④因为线段有两个端点，所以不相交的两条线段不一定平行，故此小题错误；
⑤因为边长相等的四边形有可能是菱形，所以此小题错误；
⑥符合等腰三角形的性质及判定定理，故此小题正确．
故正确的结论有1个，其序号是⑥．
故答案为：1，⑥．
分别根据角的定义、扇形的定义、线段的特点、正方形的性质及等腰三角形的判定定理对各小题进行逐一判断．
本题考查的是角的定义、扇形的定义、线段的特点、正方形的性质及等腰三角形的判定定理，熟知以上知识是解答此题的关键．

15.【答案】45°或135° 
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质，关键是正确画出图形，分两种情况分别计算出∠EPF的度数．
根据题意画出图形，然后再利用平行线的性质得出∠EMF与∠AEM和∠CFM的关系，然后可得答案．
【解答】
解：如图1，过M作MN//AB，

∵AB//CD，
∴AB//CD//NM，
∴∠AEM=∠EMN，∠NMF=∠MFC，
∵∠EMF=90°，
∴∠AEM+∠CFM=90°，
同理可得∠P=∠AEP+∠CFP，
由折叠可得：∠AEP=∠PEM=12∠AEM，∠PFC=∠PFM=12∠CFM，
∴∠P=12(∠AEM+∠CFM)=45°；
如图2，过M作MN//AB，

∵AB//CD，
∴AB//CD//NM，
∴∠AEM+∠EMN=180°，∠NMF+∠MFC=180°，
∴∠AEM+∠EMF+∠CFM=360°，
∵∠EMF=90°，
∴∠AEM+∠CFM=360°−90°=270°，
由折叠可得：∠AEP=∠PEM=12∠AEM，∠PFC=∠PFM=12∠CFM，
∴∠P=270°×12=135°，
综上所述：∠EPF的度数为45°或135°．
故答案为45°或135°．  
16.【答案】11或29 
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质，三角形内角和，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．作出图形，分①两三角形在点O的同侧时，设CD与OB相交于点E，根据两直线平行，同位角相等可得∠CEO=∠B，根据三角形内角和定理求出∠DOE，然后求出∠AOD，再根据每秒旋转10°列式计算即可得解；②两三角形在点O的异侧时，延长BO交CD于点F，根据两直线平行，内错角相等可得∠CFO=∠B，再根据三角形内角和定理求出∠DOF，然后求出旋转的度数，再根据每秒旋转10°列式计算即可得解．
【解答】
解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E， 
∵AB//CD， 
∴∠CEO=∠B=40°， 
∴∠OED=180°−∠CEO=140°，
∵∠C=70°，∠COD=90°， 
∴∠D=20°， 
∴∠DOE=180°−∠OED−∠D=180°−140°−20°=20°， 
∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+20°=110°， 
∵每秒旋转10°， 
∴时间为110°÷10°=11秒； 
 
②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO交CD于点F， 

∵AB//CD， 
∴∠CFO=∠B=40°， 
∴∠OFD=180°−∠CFO=140°，
∵∠C=70°，∠COD=90°， 
∴∠D=20°， 
∴∠DOF=180°−∠OFD−∠D=180°−140°−20°=20°， 
∴旋转角为270°+20°=290°， 
∵每秒旋转10°， 
∴时间为290°÷10°=29秒； 
综上所述，在第11或29秒时，边CD恰好与边AB平行．  
故答案为11或29.  
17.【答案】真  1：2：3 
【解析】解：(1)令等边三角形三边的长度为a，
则a2+a2=2a2，符合奇异三角形的概念，
∴“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题；
故答案为：真；

(2)∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，
∴根据勾股定理得：c2=a2+b2，记作①，
又Rt△ABC是奇异三角形，
∴2a2=b2+c2，②
将①代入②得：a2=2b2，即a=2b(不合题意，舍去)，
∴2b2=a2+c2，③
将①代入③得：b2=2a2，即b=2a，
将b=2a代入①得：c2=3a2，即c=3a，
则a：b：c=1：2：3．
故答案为：1：2：3；

(3)①∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴点A、C、B、D共圆，记作⊙O，
∴AB是⊙O的直径，
∵AD=BD，
∴AB2=AD2+BD2=2AD2，
∴AC2+CB2=2AD2，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC2+CE2=2AE2，
∴△ACE是奇异三角形；
②设AD=b，BC=a，
∴AE=BD=AD=b，CE=CB=a，
由①得AC2+CE2=2AE2，即3+a2=2b2①，
∵△ACE为直角三角形，
∴∠AEC=90°或∠CAE=90°，
1°，当∠AEC=90°时，AE2+CE2=AC2，即b2+a2=3 ②，
由①②，得：3+3−b2=2b2，
∴AB=2b2=2；
2°，当∠CAE=90°时，AC2+AE2=CE2，即3+b2=a2③，
由①③，得：3+3+b2=2b2，
∴b2=6，
∴AB=2b2=23；
综上，AB=2或23．
(1)令等边三角形三边的长度为a，根据等边三角形的性质及奇异三角形的概念求解即可得；
(2)由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式c2=a2+b2，记作①，再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式2a2=b2+c2，记作②，或2b2=a2+c2，记作③，联立①②或①③，用一个字母表示出其他字母，即可求出所求的比值．
(3)①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；
②设AD=b，BC=a，知AE=BD=AD=b，CE=CB=a，结合①得3+a2=2b2①，根据△ACE为直角三角形，可分∠AEC=90°或∠CAE=90°两种情况，根据勾股定理可分别得出关于a、b的另一个方程，结合①式求解可得．
此题是四边形的综合问题，考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．

18.【答案】解：取①④作为条件，可得结论②③；
如图，在EA上取点F，使EF=BE，连接CF，

∵CE⊥AB，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B，
∵∠AFC+∠CFB=180°，∠D+∠B=180°，
∴∠D=∠AFC，
∵AC平分∠BAD，
即∠DAC=∠FAC，
在△ACD和△ACF中，
∠D=∠AFC∠DAC=∠FACAC=AC，
∴△ACD≌△ACF(AAS)，
∴CD=CF，AD=AF，
∴CD=CB，
∴AD+AB=AF+AE+BE=AF+EF+AE=AE+AE=2AE．
还可以取②④作为条件，可得结论①③；
延长AB到M，使得BM=AD，作AN⊥CD交CD的延长线于N，MG⊥CB交CB的延长线于G．

∵AB+AD=2AE，
∴AB+BM=2AE，
∴AE=EM，
∵CE⊥AM，
∴CA=CM，
∴∠CAM=∠M，
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠ADC=∠CBM，
∴∠ADN=∠MBG，
∵AD=BM，∠N=∠G=90°，
∴△ADN≌△MBG，
∴AN=GM，DN=BG，
∵AC=CM，
∴Rt△ACN≌△MCG，
∴∠ACN=∠MCG，CN=CG，
∴CD=CB，
∴△DCA≌△BCM，
∴∠DAC=∠CMB，
∴∠CAM=∠CAD，
∴AC平分∠DAE． 
【解析】取①④作为条件，可得结论②③；在EA上取点F，使EF=BE，连接CF，根据垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质可证CD=CB；根据线段间的和差关系可得AD+AB=2AE．
本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形，同时注意线段间的和差关系的运用．

19.【答案】解：因为每场比赛产生的最大分值是2分，这次比赛一共进行了45场比赛，因此产生的分值的最大值是90分．因为个人的最高得分是18分，又因为第一名选手与第二名选手均没有负一局，可以得出第一名选手与第二名选手是平一局，这个说明第一名选手最多17分，第二名选手最多16分，因此第一、二名选手的得分的和的最多33分．
情形1：当他们的总分是33分时，因为第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多20分，所以第三名选手的得分13分，.假设第四名选手得分12分，最后四名选手的得分总和为12分，由90−33−12−12=20可知，第5名为11分，第6名为9分．
情形2：当他们的总分是33分时，因为第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多20分，所以第三名选手的得分13分，.假设第四名选手得分11分，最后四名选手的得分总和为11分，可知第5名与第6名的分数和为22分，两人中必有高于11分，与假设矛盾；
情形3：假设第一、二名选手的得分的和是32分时，因为第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多20分，所以第三名选手的得分12分，.假设第四名选手得分11分，最后四名选手的得分总和为11分，可知第5名与第6名的分数和为24分，结果推出矛盾，
故第1名17分，第2名16分，第3名13分，第4名12分，第5名11分，第6名9分； 
【解析】每场比赛产生的最大分值是2分，这次比赛一共进行了45场比赛，因此产生的分值的最大值是90分．个人的最高得分是18分，因为第一名选手与第二名选手均没有负一局，可以得出第一名选手与第二名选手是平一局，这个说明第一名选手最多17分，第二名选手最多16分，因此第一、二名选手的得分的和的最多33分．接下来分三种情形讨论即可解决问题；
本题考查推理与论证，解题的关键是理解题意，学会假设推理的方法，掌握假设，推理，得出矛盾，推出假设不成立，学会用分类讨论的思想解决问题，属于竞赛题目．

20.【答案】解：以(1)、(2)、(4)为条件，(3)为结论．
证明：∵AE=CF，
∴AF=CE，
∵AD//BC，
∴∠A=∠C，
在△ADF与△CBE中，
AD=BC∠A=∠CAF=CE，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴∠B=∠D． 
【解析】只要以其中三个作为条件，能够得出另一个结论正确即可，下边以(1)、(2)、(4)为条件，(3)为结论为例．
本题与命题联系在一起，归根到底主要还是考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．

21.【答案】(1)①证明：∵AD是△ABC的高，∠ABC=45°，
∴∠BDF=90°=∠ADC，BD=AD，
∵BF是△ABC的高，
∴∠DBF=90°−∠C=∠DAC，
在△BDF和△ADC中，
∠DBF=∠DACBD=AD∠BDF=∠ADC，
∴△BDF≌△ADC(ASA)，
∴BF=AC；
②解：如图：

由①知：△BDF≌△ADC，
∴DF=DC，
∵将△ACD沿直线AD翻折，点C的对称点C′落在直线BC上，
∴DC=DC′，
∴DF=DC′，
∴△DFC′是等腰直角三角形，
∴∠FC′D=45°；
(2)补全图形如下：

∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=45°，
∵AD是△ABC的高，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵AD，BE是△ABC的高，
∴∠ADC=90°=∠BDF=∠BEC，
∵∠EBC=∠DBF，
∴∠DFB=∠ACD，
∴△DBF≌△DAC(AAS)，
∴DF=DC，
∵将△ACD沿直线AD翻折，点C的对称点C′落在直线BC上，
∴DC=DC′，
∴DF=DC′，
∴∠DC′F=45°，
∴∠DC′F=∠ABD，
∴C′F//AB． 
【解析】(1)①由AD是△ABC的高，∠ABC=45°，可得∠BDF=90°=∠ADC，BD=AD，又BF是△ABC的高，有∠DBF=90°−∠C=∠DAC，即可证△BDF≌△ADC(ASA)，得BF=AC；
②由△BDF≌△ADC，得DF=DC，而将△ACD沿直线AD翻折，点C的对称点C′落在直线BC上，有DC=DC′，可得△DFC′是等腰直角三角形，故∠FC′D=45°；
(2)根据已知补全图形即可，由∠ABC=135°，得△ABD是等腰直角三角形，AD=BD，又AD，BE是△ABC的高，可证△DBF≌△DAC(AAS)，得DF=DC，根据将△ACD沿直线AD翻折，点C的对称点C′落在直线BC上，有DC=DC′，知DF=DC′，故∠DC′F=45°，从而∠DC′F=∠ABD，C′F//AB．
本题考查等腰三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用全等三角形判定和性质定理．

22.【答案】解：AB//CD，EF//HL.理由如下：
∵∠1=∠AMN，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠AMN=180°，
∴AB//CD；
延长EF交CD与G，如图，
∵AB//CD，
∴∠AEG=∠EGN，
∵∠AEF=∠HLN，
∴∠EGN=∠HLN，
∴EF//HL． 
【解析】利用对顶角相等得到∠1=∠AMN，则∠1+∠AMN=180°，于是根据同旁内角互补，两直线平行可判断AB//CD；延长EF交CD与G，如图，由AB//CD得到∠AEG=∠EGN，加上∠AEF=∠HLN，所以∠EGN=∠HLN，于是根据同位角相等，两直线平行可判断EF//HL．
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行．

23.【答案】解：∵BD⊥AC，EG⊥AC，
∴GE//DB，
∴∠DBA与∠2互补．
∵∠1与∠2互补，
∴∠1=∠DBA，
∴DF//AB．
∵AB⊥BC，
∴DF⊥BC． 
【解析】先根据平行线的判定定理得出GE//DB，故可得出∠DBA与∠2互补，再由∠1与∠2互补可知∠1=∠DBA，故DF//AB，根据AB⊥BC即可得出结论．
本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．

24.【答案】(1)∵MN⊥PQ，
∴∠AOB=90∘，
∵∠BAO=50∘，
∴在△ABO中，
∠ABO=180∘−(∠AOB+∠BAO)
=180∘−(90∘+50∘)
=40∘．
∵BD是∠ABO的平分线，
∴∠ABD=12∠ABO=20∘．
∵AC是∠MAB的平分线，
∴∠CAB=12∠MAB
=12(180∘−∠BAO)
=12(180∘−50∘)
=65∘，
∴∠D=∠CAB−∠ABD
=65∘−20∘
=45∘．
(2)不变化，∠D=45∘．
在△ABO中，∠ABO=180∘−(∠AOB+∠BAO)=90∘−∠BAO．
∵BD是∠ABO的平分线，
∴∠ABD=12∠ABO
=12(90∘−∠BAO)
=45∘−12∠BAO．
∵AC是∠MAB的平分线，
∴∠CAB=12∠MAB
=12(180∘−∠BAO)
=90∘−12∠BAO．
∴∠D=∠CAB−∠ABD
=(90∘−12∠BAO)−(45∘−12∠BAO)
=45∘．
(3)由(2)可知，∠D=45∘．
在△DAE中，
∵∠DAE=∠DEA．
∴∠DAE=∠DEA
=12(180∘−∠D)
=12(180∘−45∘)
=67．5∘，
∴∠MAC=∠DAE=67．5∘，
∵AC是∠MAB的平分线，
∴∠MAB=2∠MAC=135∘，
∴∠BAO=180∘−∠MAB
=180∘−135∘
=45∘． 
【解析】本题考查了三角形内角和以及角平分线的定义知识点；
(1)根据已知角度，利用三角形的内角和求出∠ABO，再根据角平分线的定义，即可得到∠ABD、∠D的度数；
(2)先根据角平分线的定义，用∠BAO表示出∠ABO、∠ABD、∠CAB，最后根据∠D=∠CAB−∠ABD求出∠D的度数即可；
(3)根据(2)求出的∠D的度数，根据三角形内角和求出∠DAE度数，再根据角平分线的定义求出∠MAB，最后利用∠BAO=180∘−∠MAB即可求解．

25.【答案】(1)证明：∵∠BAC=90°，AE⊥BC，
∴∠CAF+∠BAF=90°，∠B+∠BAF=90°，
∴∠CAF=∠B，
由翻折可知，∠B=∠E，
∴∠CAF=∠E，
∴AC//DE；
(2)①∵∠C=2∠B，∠C+∠B=90°，
∴∠C=60°，∠B=30°，
∵DE⊥BC，∠E=∠B=30°，
∴∠BFE=60°，
∵∠BFE=∠B+∠BAF，
∴∠BAF=30°，
由翻折可知，x°=∠BAD=12∠BAF=15°，
∴x=15；
②∠BAD=x°，
∵∠ADE=∠ADB=180°−30°−x°=150°−x°，
∴∠ADF=180°−∠ADB=30°+x°，
∴∠FDE=∠ADE−∠ADF=(120−2x)°，
∵∠DFE=(2x+30)°，
∴当∠EDF=∠DFE时，120−2x=2x+30，
解得，x=22.5，
当∠DFE=∠E=30°时，2x+30=30，
解得，x=0，
∵0 ∴不合题意，故舍去，
当∠EDF=∠E=30°，120−2x=30，
解得，x=45，
综上可知，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等，且x=22.5或45． 
【解析】(1)根据折叠的性质得到∠B=∠E，根据平行线的判定定理证明；
(2)①根据三角形内角和定理分别求出∠C=60°，∠B=30°，根据折叠的性质计算即可；
②分∠EDF=∠DFE、∠DFE=∠E、∠EDF=∠E三种情况，列方程解答即可．
本题考查的是翻转变换的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握三角形内角和等于180°、翻转变换的性质是解题的关键．