初中数学青岛版八年级上册第5章 几何证明初步综合与测试单元测试测试题
展开青岛版初中数学八年级上册第五单元《几何证明初步》单元测试卷
考试范围：第五章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 下列命题：如果，，那么；如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；对顶角相等；同位角相等．其中，真命题的个数是( )
A. B. C. D.
- 下列命题中，错误的是( )
A. 过边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形
B. 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等
C. 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分
D. 等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
- 有以下四个命题中，正确的命题是( )
A. 反比例函数，当时，随的增大而增大
B. 抛物线与两坐标轴无交点
C. 垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的弧
D. 有一个角相等的两个等腰三角形相似
- 下列命题是真命题的是( )
A. 四个角都相等的四边形是菱形
B. 四条边都相等的四边形是正方形
C. 平行四边形、菱形、矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形
D. 顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形
- 下列说法中，正确的个数有( )
实数和数轴上的点是一一对应的；
点，则点一定在第一象限；
过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
“同位角相等”为真命题；
立方根等于本身的数是和．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
- 用反证法证明“若，则”，应假设( )
A. B. C. D.
- 如图，在四边形中，，，将沿翻折，得到若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，在四边形中，，，，与交于点，，则的值是( )
A. B. C. D.
- 如图，，，，点为线段上一点，将线段沿折叠，点的对应点落在四边形外侧，连接，若，，则为( )
A.
B.
C.
D.
- 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，在中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点则下列结论：
；；；．
其中正确的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
- 如图，在中，，的顶点、分别在、上，且，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 命题“全等三角形的对应边都相等”的逆命题是______命题．填“真”或“假”
- 如图，直线，平分与相交于点，，则的度数是______．
- 如图，在中，，，，则______度．
- 三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的倍，我们把这个三角形叫做“四倍角三角形”在一个“四倍角三角形”中有一个内角为，则另外两个角分别为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
- 判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．
若，则；
如果一个数是偶数，那么这个数是的倍数；
两个负数的差一定是负数． - 已知在四边形中，对角线与相交于点，．
请从以上条件中选取两个作为命题的条件，结论为四边形是平行四边形，并使构成的命题为真命题，请对你所构造的一个真命题给予证明．
能否从以上条件中选选取两个作为命题的条件，结论为四边形是平行四边形，并使构成的命题为假命题若能，请写出一个满足条件的假命题，并举反例说明．
- 在几何原本中，第个命题为在直角三角形中，直角所对的边上的正方形的面积等于夹直角两边上的正方形的面积和．古代人还没有发现勾股定理，他们是通过如图来证明这个命题是真命题的．请同学们认真阅读并完成命题的证明．已知在中，，分别以，，为边作正方形，求证：．
- 如图，点，分别在，上，
已知：，，求证：
分别将“”记为，””记为，“”记为，以、为条件，以为结论构成命题，以、为条件，以为结论构成命题，命题是______命题，命题是______命题填真或假 - 已知：，为平面内任意一点，连接，．
如图，若点为平行线之间一点，且满足，，则的度数为______；直接写出答案
拖动点至如图所示的位置时，试判断、和之间的数量关系，并证明；
在的条件下，设点为延长线上一点，作和的角平分线交于点，请你试写出与之间的数量关系，并简要说明理由．
- 尺规作图不写作图过程，保留作图痕迹
求作：点，使直线，且点到，两点的距离相等．在图中完成作图
结论：
- 点在射线上，点、为射线上两个动点，满足，，平分．
如图，当点在右侧时，求证：；
如图，当点在左侧时，求证：；
如图，在的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若，，则的度数为______．
- 如图，在中，是的平分线，为延长线上一点，于点，若，，求的大小．
- 旧知新意：
我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相部的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
如图，与分别为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系？为什么？
初步应用：
如图，在纸片中剪去，得到四边形，，则______；
小明联想到了曾经解决的一个问题：如图，在中，、分别平分外角、，与有何数量关系直接写出结论．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如果，，那么不一定小于，是假命题；
如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，是假命题；
对顶角相等是真命题；
两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题；
故选：．
利用不等式，绝对值及对顶角和同位角的相关知识判断即可．
本题考查了命题与定理，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据多边形对角线的定义对进行判断；根全等三角形判定对进行判断；根据三角形中线定义和三角形面积公式对进行判断；根据等腰三角形性质对进行判断．
【解答】
解：过边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，所以选项为真命题；
B.斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，正确，所以选项为真命题；
C.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，所以选项为真命题；
D.等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，为假命题．
故选D．
3.【答案】
【解析】解：、反比例函数，当时，随着的增大而增大，故错误；
B、抛物线与轴无交点，但与轴有交点，故错误；
C、垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的弧，故正确；
D、底角和底角对应相等或顶角与顶角对应相等的两个等腰三角形相似，故错误，
故选：．
利用反比例函数的性质、相似形的判定、二次函数的性质及垂径定理等知识逐一判断后即可得到答案．
本题考查了反比例函数的性质、相似形的判定、二次函数的性质及垂径定理等知识，关键是掌握有关的定理及定义．
4.【答案】
【解析】解：、四个角都相等的四边形是菱形，是假命题，应该是矩形，本选项不符合题意．
B、四条边都相等的四边形是正方形，是假命题，应该是菱形，本选项不符合题意．
C、平行四边形、菱形、矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形，是假命题，平行四边形不一定是轴对称图形，本选项不符合题意．
D、顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，是真命题，本选项符合题意．
故选：．
根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定和性质一一判断即可．
本题考查平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定和性质，解题的关键是记住特殊四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
5.【答案】
【解析】解：实数和数轴上的点是一一对应的，正确．
点，则点一定在第一象限，正确．
过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确．
“同位角相等”为真命题，错误，成立的条件是平行线．
立方根等于本身的数是和，错误，还有．
故选：．
根据平行线的判定和性质，立方根的定义，实数的性质一一判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，立方根的定义，实数的性质等知识，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立根据反证法的一般步骤：先假设结论不成立进行解答．
【解答】
解：用反证法证明“若，则”的第一步是假设．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：，，，，
，，
将沿翻折得，
，，，
，
，
故选：．
由平行线的性质得出，，再由翻折变换的性质得出，，进而求出的度数，即可得出的度数．
此题主要考查了翻折变换的性质、平行线的性质、三角形内角和定理以及多边形内角和定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
在中，；
故选：．
证明∽，得出，证出，得出，因此，在中，由三角函数定义即可得出答案．
本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形相似是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：设，
，，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
解得：，
即，
故选：．
设，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，由此即可得结论．
本题考查了平行线的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形的内角和定理．
先根据三角形的内角和得出，根据三角形的内角和算出，再利用可得答案．
【解答】
解：如图，
，，
，
，
，
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的有关知识根据以上知识点的对、、、进行判定即可．
【解答】
解：如图，
在中，，
，
又、分别平分、，
，
，故错误；
，
又，
，
，
又，，
，
，，，故正确；
，
，
，
，
，故正确；；
在和中，
，，，
≌，
，故正确．
故选B．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查等腰直角三角形，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理．
由知，据此得，结合题意可知，根据等腰直角三角形的性质知，利用三角形外角的性质即可得解．
【解答】
解：，
，
，
又，
，
，，
，
，
故选D．
13.【答案】真
【解析】解：“全等三角形的对应边相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：对应边相等，因而逆命题是：对应边相等的三角形全等．是一个真命题．
故答案是：真
首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：对应边相等，把题设与结论互换即可得到逆命题，然后判断正误即可．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
平分，
，
故答案为：．
先由平行线性质得出与互补，并根据已知计算出的度数，再根据角平分线性质求出的度数．
本题考查了平行线的性质和角平分线的定义；解决本题要熟练掌握：两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补．
15.【答案】
【解析】解：，，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形外角和定理得出：，进而求出，再利用，最后通过已知条件求出答案．
本题主要考查了三角形外角和定理以及角之间的等量代换，关键在于用已知和几何推理找到最终结果．
16.【答案】，或，
【解析】解：在中，不妨设．
若，则，．
若，则不合题意．
若，则，，
综上所述，另外两个角的度数为，或，．
故答案为：，或，．
分三种情形讨论求解即可解决问题．
本题考查了三角形的内角和定理的运用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
17.【答案】解：命题是假命题，
例如：，，
则，而；
命题是假命题，
例如：是偶数，但不是的倍数；
命题是假命题，
例如：，是正数．
【解析】根据倒数的概念、有理数的大小比较法则解答；
根据偶数的概念解答；
根据有理数的减法法则解答．
本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
18.【答案】解：以作为条件构成的命题是真命题，
证明：，
，
在和中，
，
，
四边形是平行四边形．
根据作为条件构成的命题是假命题，即如果有一组对边平行，另一组对边相等，那么四边形是平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形．
【解析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰梯形的判定．
根据平行得出全等三角形，即可求出，根据平行四边形的判定推出即可
根据等腰梯形和平行四边形的判定判断即可．
19.【答案】证明：连接、、、，如图：
四边形、、是正方形，
，，，
，
≌，
，
与同底等高，
，
，
，
，
，
同理可证，
．
即．
【解析】连接、、、，根据四边形、、是正方形，证明≌，得，又，，即得，同理，即可得．
本题考查命题与定理，涉及全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行线的性质等，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质定理，证明≌．
20.【答案】证明：连接，
在和中，
，
≌
，
；
以、为条件，以为结论构成命题，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
故命题是真命题；
以、为条件，以为结论构成命题．
已知、，≌不一定成立，故是假命题．
故答案是：真，假．
【解析】连接，利用即可证得≌，从而得到，然后根据等角对等边即可证得；
以、为条件，以为结论构成命题，可以利用证明≌，从而证得；
已知、，≌不一定成立．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解判定三角形全等的条件是关键．
21.【答案】
【解析】解：过点作，
，
，
，，
，
故答案为：；
，理由如下：
延长交于点，
，
，
，
；
，理由如下：
设交于点，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
由知，，
，
即，
，
，
．
过点作，根据平行线的性质即可得解；
延长交于点，根据平行线的性质、三角形外角性质求解即可；
设交于点，根据平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：如图，点即为所求．
【解析】作平分，在的上方作，交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】
【解析】证明：平分，
，
又，
，
，
，
，
，
；
证明：过点作，交于点，如图，
，
，
，，
，
；
解：设，
则，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
．
故答案为：．
通过证明，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论；
过点作，交于点，利用的结论和平行线的性质即可得出结论；
设，则，，；利用已知条件用含的式子表示，，，，再利用，得到关于的方程，解方程求得的值，则，结论可求．
本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，利用平行线的性质和角平分线的定义得出角度的关系式是解题的关键．
24.【答案】解：在中，，，
，
．
在中，，，
．
平分，
．
在中，
，
．
答：的大小为．
【解析】在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合角平分线的定义可得出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合对顶角相等可得出的度数，再在中利用三角形内角和定理可求出的度数．
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出的度数是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：如图中，
；
如图中，
，
，
．
故答案为：；
如图中，
，分别是外角，的平分线，
，
在中，．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
利用中的结论即可求出；
根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．
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