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初中数学鲁教版 (五四制)九年级上册第三章 二次函数综合与测试课后测评
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这是一份初中数学鲁教版 (五四制)九年级上册第三章 二次函数综合与测试课后测评，共23页。试卷主要包含了抛物线y＝，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3，已知二次函数y＝a，如图，抛物线y1＝a等内容，欢迎下载使用。
1．将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2+4x+7B．y＝x2﹣4x+7C．y＝x2+4x+1D．y＝x2﹣4x+1
2．抛物线y＝（x+1）2﹣4（﹣2≤x≤2）如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是（ ）
A．﹣3和5B．﹣4和5C．﹣4和﹣3D．﹣1和5
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：
①2a+b＝0；
②当x≤﹣1或x≥3时，y＞0；
③3a+c＝0；
④若（x1，y1），（x2，y2）在该函数的图象上，当0＜x1＜x2时，y1＜y2．
其中正确的是（ ）
A．①②④B．①③C．①②③D．①③④
4．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＜0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（2，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1
5．若x1，x2为抛物线y＝2x2﹣5x﹣1与x轴相交的两交点的横坐标，则2x12﹣5x1+3x1x2的值为（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
6．若二次函数y＝kx2﹣4x﹣2与x轴有两个交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣2B．k＞﹣2且k≠0C．k＜2D．k≥﹣2且k≠0
7．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
④若图象上两点对一切正数n，总有y1＞y2，则．
A．①②B．①③C．③④D．①③④
8．如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，则t的取值错误的是（ ）
A．t＝2.5B．t＝3C．t＝3.5D．t＝4
9．如图、在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数y＝x2、y＝ax2分别交于A、B和C、D，若CD＝2AB，则a为（ ）
A．4B．C．2D．
10．如图，抛物线y1＝a（x+1）2﹣5与抛物线y2＝﹣a（x﹣1）2+5（a≠0）交于点A（2，4），B（m，﹣4），若无论x取任何值，y总取y1，y2中的最小值，则y的最大值是（ ）
A．4B．5C．2D．1
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．已知二次函数y＝x2+2x﹣3与坐标轴交于A、B、C三点，则△ABC的面积为 ．
12．如图，已知抛物线y＝x2+4x+3与x轴交于A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点P是抛物线上的动点，当△ACP的面积等于△ABC的面积时，点P的坐标为 ．
13．将y＝﹣2（x﹣1）2+6的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为 ．
14．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5，若﹣3≤x≤8，则y的取值范围是 ．
15．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 ．
16．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 ．
17．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2x+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 .（用“＜”连接）
18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，则此二次函数的解析式是 ．
19．若抛物线y＝x2+2（k﹣）x+k2（k为常数）的图象与x轴没有交点，则k取值范围为 ．
20．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格的范围为16≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是 元．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当﹣x+2＞ax2时，请观察图象直接写出x的取值范围．
22．瑞安大润发超市销售某种品牌牛奶，已知进价为每箱45元．市场调查发现：若每箱以60元销售，平均每天可销售40箱，价格每降低1元，平均每天多销售10箱，但销售价不低于45元，设每箱降价x元（x为整数）．
（1）写出每天销售量y（箱）与x（元）之间的关系式；
（2）若超市平均每天销售这种品牌牛奶的利润记为W，求利润W的最大值及此时每箱牛奶的售价；
（3）某天超市做活动，重新确定该品牌牛奶的售价，要使当天该牛奶的盈利不低于880元，则该品牌牛奶当天的售价应定为 元/箱．（直接写出结果）
23．如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求S△CAB；
（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）设点Q是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q，使S△QAB＝S△CAB，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E，直线y＝mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值．
25．如图，直线与坐标轴交于A，G两点，经过B（2，0）、C（6，0）两点的抛物线y＝ax2+bx+2与直线交于A，D两点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点M是抛物线上位于直线AD下方上的一个动点，当点M运动到什么位置时△MDA的面积最大？最大值是多少？
（3）在x轴上是否存在点P，使以A、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．综合与探究
在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交点C．
（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；
（2）若点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点D，求线段PD的最大值．
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：抛物线y＝x2向右平移2个单位后的解析式为：y＝（x﹣2）2．
再向上平移3个单位后所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2+3，即y＝x2﹣4x+7．
故选：B．
2．解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线对称轴是：直线x＝﹣1，
∵a＝1＞0，
∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5；x＝﹣1时，y有最小值，是﹣4，
故选：B．
3．解：∵函数图象的对称轴为：x＝﹣＝＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，①正确；
由图象可知，当x≤﹣1或x≥3时，y≥0；②错误；
由图象可知，当x＝1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，③正确；
∵抛物线的对称轴为x＝1，开口方向向上，
∴若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1＜y2；当x1＜x2＜1时，y1＞y2；
故④错误；
故选：B．
4．解：抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＜0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（2，y3）四点，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝＝﹣1．
∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1+1|＜|2+1|
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
5．解：由题意得x1，x2为2x2﹣5x﹣1＝0的两根，
∴2x12﹣5x1＝1，x1x2＝﹣，
∴2x12﹣5x1+3x1x2＝1+3×（﹣）＝﹣．
故选：C．
6．解：∵二次函数y＝kx2﹣4x﹣2的图象与x轴有两个交点，
∴当y＝0时，0＝kx2﹣4x﹣2有两个不等的实数根，
∴，
解得，k＞﹣2且k≠0，
故选：B．
7．解：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），
∴x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2，
又∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，开口向下，
∴当x＞2＞x2时，y随x的增大而减小，故①正确；
又∵对称轴为直线x＝，1＜m＜2，
∴0＜＜，
∴若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则y1＜y2，故③正确；
若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2，
∴该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），（m，0），
∴0＜≤，
解得1＜m≤，故④错误；
∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，
∵a＜0，1＜m＜2，
∴﹣1＜a＜﹣，故②错误；
∴①③正确；②④错误，
故选：B．
8．解：∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3；当x＝3时，y＝﹣x2+4x＝3，
∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，
∴抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1≤x≤3的范围内有公共点，
∴3≤t≤4．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
9．解：设平行与x的直线为y＝n（n＞0），
解x2＝n得，x＝，
∴A的横坐标为﹣，B横坐标为，
∴AB＝2，
解ax2＝n得，x＝±，
∴C的横坐标为﹣，D横坐标为，
∴CD＝2，
∵CD＝2AB，
∴2＝4，
∴＝4n，
∴a＝，
故选：B．
10．解：由题意可知：y的函数图象如图所示：
观察函数图象可知：点A为函数y的图象的最高点，
∴y的最大值为4．
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3），
∴它与坐标轴的三个交点分别是：（1，0），（﹣3，0），（0，﹣3）；
∴该三角形的面积为×4×3＝6．
故答案是：6．
12．解：取x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∴，
设P（x，x2+4x+3），过点P作PQ平行y轴交AC与点Q，连接AP，CP，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
∴Q（x，x+3），
∴PQ＝x+3﹣（x2+4x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴，
解得x＝﹣2或x＝或x＝，
当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2+4×（﹣2）+3＝﹣1，
∴P（﹣2，﹣1），
当x＝，y＝＝，
∴P（，），
当x＝时，y＝＝，
∴P（，）
当点P和B重合时，△ACP的面积等于△ABC的面积，
∴点P（﹣1，0），
综上，点P的坐标为P（﹣1，0），P（﹣2，﹣1），P（，），P（，）．
13．解：y＝﹣2（x﹣1）2+6的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为y＝﹣2（x﹣1+2）2+6﹣5，即y＝﹣2（x+1）2+1．
故答案是：y＝﹣2（x+1）2+1．
14．解：∵二次函数y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴该函数的对称轴是直线x＝2，函数图象开口向下，当x＝1时，取得最大值9，
当x＝8时y＝﹣27，
∴当﹣3≤x≤8时，y的取值范围是﹣27≤y≤9，
故答案为﹣27≤y≤9．
15．解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），
即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2；
当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6，
所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．
故答案为：﹣6＜m＜﹣2．
16．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴ax2+c＜mx+n的解集是﹣1＜x＜3，
∴ax2﹣mx+c＜n的解集是﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
17．解：∵y＝﹣x2+2x+a＝﹣（x﹣1）2+1+a，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+a的开口向下，对称轴为直线x＝1，
而A（﹣2，y1）离直线x＝1的距离最远，B（1，y2）在直线x＝1上，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为y1＜y3＜y2．
18．解：将A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣2．
故答案为：y＝x2﹣x﹣2．
19．解：根据题意得△＝4（k﹣）2﹣4k2＜0，
解得k＞．
故答案为k＞．
20．解：∵﹣2＜0，
∴当x＜20时，y随x的增大而增大，
∵16≤x≤22，
∴当x＝20时，y取得最大值，最大值y＝﹣2×（19﹣20）2+1558＝1558，
故答案为：1558．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．解：（1）∵点B（1，1）在抛物线y＝ax2上，
∴1＝a，
∴抛物线的解析式为y＝x2；
（2）由题可知，直线AB的解析式为y＝﹣x+2．
联立两函数解析式成方程组，，
解得：或，
∴点C的坐标为（﹣2，4）．
∴S△AOC＝×2×4＝4；
（3）由图象可知，当﹣x+2＞ax2时，x的取值范围﹣2＜x＜1．
22．解：（1）∵价格每降低1元，平均每天多销售10箱，
∴每箱降价x元，平均每天多销售10x箱，
∴每天销售y与x之间的关系式为：y＝40+10x，
∵销售价不低于45元，
∴60﹣x≥45，
∴x≤15．
∵x≥0
∴x的取值范围：0≤x≤15，
∴每天销售y与x之间的关系式为y＝40+10x（0≤x≤15）；
（2）由题意得：
w＝（60﹣45﹣x）（40+10x）
＝（15﹣x）（40+10x）
＝﹣10x2+110x+600
＝﹣10（x﹣）2+902.5，
∵x为整数，
∴x＝5或6，
∴当x＝5时，超市盈利最大为900元，
当x＝6时，超市盈利最大为900元，
即此时牛奶的售价为：60﹣5＝55（元）或60﹣6＝54（元）；
（3）∵w＝＝﹣10x2+110x+600，
当利润为880元时，﹣102+110x+600＝880，
解得：x1＝4，x2＝7，
由函数的性质可知，当利润不低于880元时，4≤x≤7．
∵x为整数，
∴x＝4，5，6，7．
∴60﹣x＝56，55，54，53，
∴该品牌牛奶当天的售价应定为56元/箱或55元/箱或54元/箱或元/箱，
故答案为：56或55或54或53．
23．解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，
把A（3，0）代入解析式求得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
把A（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b中，得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3；
（2）如图1，连接OA，
∴S△CAB＝S△OCB+S△AOC﹣S△AOB
＝×3×1+×3×4﹣×3×3
＝1.5+6﹣4.5
＝3；
（3）如图2，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），
S△PAB＝S△OBP+S△AOP﹣S△AOB
＝•3x+•3（﹣x2+2x+3）﹣×3×3
＝﹣x2+x
＝﹣（x2﹣3x+﹣）
＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝时，△PAB的面积最大，此时P（，）；
（4）分两种情况：
①当Q在AB的上方时，如图3，过点C作CD∥AB，交抛物线于Q，连接QB，QA，此时S△ACB＝S△QAB，
设CD的解析式为：y＝﹣x+m，
把C（1，4）代入得：4＝﹣1+m，
∴m＝5，
∴﹣x2+2x+3＝﹣x+5，
解得：x1＝1，x2＝2，
∴Q（2，3）；
当Q与C重合时，Q（1，4）；
②当Q在AB的下方时，
由①知：直线CD与y轴的交点为（0，5），即直线AB向上平移2个单位，
∴将直线AB向下平移2个单位得到y＝﹣x+1，
∴﹣x2+2x+3＝﹣x+1，
解得：x1＝，x2＝，
∴Q（，）或（，）．
综上，点Q的坐标是（2，3）或（1，4）或（，）或（，）．
24．解：（1）由点A的坐标知，OA＝2，
∵OC＝2OA＝4，故点C的坐标为（0，4），
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
解得．
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，
解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4；
（2）∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当FA+FC的值最小，
由函数的对称性知，AF＝BF，
则AF+FC＝BF+FC＝BC为最小，
当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，故点F（1，3），
由点B、C的坐标知，OB＝OC＝4，
则BC＝BO＝4，
即点F的坐标为（1，3）、FA+FC的最小值为4；
25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bc+2经过B（2，0）、C（6，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式，
∵当x＝0时，y＝2，
∴点A的坐标为（0，2），
∴m＝2，即直线解析式为：，
∴抛物线与直线交于A、D两点，
∴，
解得，，
∴D（12，10）；
（2）如图1，过点M作y轴的平行线交线段AD于点N，
设点M的坐标为，
则点N的坐标为（x，），
∴
＝﹣，
∴S＝，
∵a＝﹣1＜0，
∴S有最大值，
∵当M运动到M（6，0）时，S有最大值为36；
（3）①当点P为直角顶点时，设P（x，0），过点D作DH⊥x轴，垂足为H，
∴x2﹣12x+20＝0，
∴x1＝2，x2＝10，
∴点P的坐标为（2，0）或（10，0）．
②当点A为直角顶点时，如图，过点A作AP⊥AD，交x轴与点P，设P（x，0），
∴x＝，
∴点P的坐标为（，0）；
③当点D为直角顶点时，过点D作DP⊥AD，交x轴于点P，设P（x，0），过点D作DH⊥x轴于点H，
∴x＝
∴点P的坐标为（，0），
∴满足条件的点P的坐标为（2，0）或（10，0）或（，0）或（，0）．
26．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴，
解得：，
∴这个二次函数的解析式为；
∵二次函数与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+2，
∵直线AC经过点A（﹣3，0），
∴0＝﹣3k+2，
解得：，
∴直线AC的解析式为；
（2）由（1）得，
如图1，设点，则，
∴＝＝，
∴当时，PD最大，最大值是．
（3）存在．假设存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．
①若CM平行于x轴，如图2，有符合要求的两个点Q1，Q2，此时Q1A＝Q2A＝CM．
∵CM∥x轴，
∴点M、点C（0，2）关于对称轴x＝﹣1对称，
∴M（﹣2，2），
∴CM＝2，
由Q1A＝Q2A＝CM＝2，得到Q1（﹣5，0），Q2（﹣1，0）；
②若CM不平行于x轴，如图所示，过点M作MG⊥x轴于G，
易证△MGQ≌△COA，得QG＝OA＝3，MG＝OC＝2，即yM＝﹣2，
设M（x，﹣2），则有，
解得：，
又QG＝3，
∴，
∴，．
综上所述，存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．Q点坐标为：Q1（﹣5，0），Q2（﹣1，0），，．
1．将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2+4x+7B．y＝x2﹣4x+7C．y＝x2+4x+1D．y＝x2﹣4x+1
2．抛物线y＝（x+1）2﹣4（﹣2≤x≤2）如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是（ ）
A．﹣3和5B．﹣4和5C．﹣4和﹣3D．﹣1和5
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：
①2a+b＝0；
②当x≤﹣1或x≥3时，y＞0；
③3a+c＝0；
④若（x1，y1），（x2，y2）在该函数的图象上，当0＜x1＜x2时，y1＜y2．
其中正确的是（ ）
A．①②④B．①③C．①②③D．①③④
4．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＜0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（2，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1
5．若x1，x2为抛物线y＝2x2﹣5x﹣1与x轴相交的两交点的横坐标，则2x12﹣5x1+3x1x2的值为（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
6．若二次函数y＝kx2﹣4x﹣2与x轴有两个交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣2B．k＞﹣2且k≠0C．k＜2D．k≥﹣2且k≠0
7．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
④若图象上两点对一切正数n，总有y1＞y2，则．
A．①②B．①③C．③④D．①③④
8．如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，则t的取值错误的是（ ）
A．t＝2.5B．t＝3C．t＝3.5D．t＝4
9．如图、在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数y＝x2、y＝ax2分别交于A、B和C、D，若CD＝2AB，则a为（ ）
A．4B．C．2D．
10．如图，抛物线y1＝a（x+1）2﹣5与抛物线y2＝﹣a（x﹣1）2+5（a≠0）交于点A（2，4），B（m，﹣4），若无论x取任何值，y总取y1，y2中的最小值，则y的最大值是（ ）
A．4B．5C．2D．1
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．已知二次函数y＝x2+2x﹣3与坐标轴交于A、B、C三点，则△ABC的面积为 ．
12．如图，已知抛物线y＝x2+4x+3与x轴交于A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点P是抛物线上的动点，当△ACP的面积等于△ABC的面积时，点P的坐标为 ．
13．将y＝﹣2（x﹣1）2+6的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为 ．
14．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5，若﹣3≤x≤8，则y的取值范围是 ．
15．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 ．
16．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 ．
17．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2x+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 .（用“＜”连接）
18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，则此二次函数的解析式是 ．
19．若抛物线y＝x2+2（k﹣）x+k2（k为常数）的图象与x轴没有交点，则k取值范围为 ．
20．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格的范围为16≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是 元．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当﹣x+2＞ax2时，请观察图象直接写出x的取值范围．
22．瑞安大润发超市销售某种品牌牛奶，已知进价为每箱45元．市场调查发现：若每箱以60元销售，平均每天可销售40箱，价格每降低1元，平均每天多销售10箱，但销售价不低于45元，设每箱降价x元（x为整数）．
（1）写出每天销售量y（箱）与x（元）之间的关系式；
（2）若超市平均每天销售这种品牌牛奶的利润记为W，求利润W的最大值及此时每箱牛奶的售价；
（3）某天超市做活动，重新确定该品牌牛奶的售价，要使当天该牛奶的盈利不低于880元，则该品牌牛奶当天的售价应定为 元/箱．（直接写出结果）
23．如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求S△CAB；
（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）设点Q是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q，使S△QAB＝S△CAB，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E，直线y＝mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值．
25．如图，直线与坐标轴交于A，G两点，经过B（2，0）、C（6，0）两点的抛物线y＝ax2+bx+2与直线交于A，D两点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点M是抛物线上位于直线AD下方上的一个动点，当点M运动到什么位置时△MDA的面积最大？最大值是多少？
（3）在x轴上是否存在点P，使以A、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．综合与探究
在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交点C．
（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；
（2）若点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点D，求线段PD的最大值．
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：抛物线y＝x2向右平移2个单位后的解析式为：y＝（x﹣2）2．
再向上平移3个单位后所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2+3，即y＝x2﹣4x+7．
故选：B．
2．解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线对称轴是：直线x＝﹣1，
∵a＝1＞0，
∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5；x＝﹣1时，y有最小值，是﹣4，
故选：B．
3．解：∵函数图象的对称轴为：x＝﹣＝＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，①正确；
由图象可知，当x≤﹣1或x≥3时，y≥0；②错误；
由图象可知，当x＝1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，③正确；
∵抛物线的对称轴为x＝1，开口方向向上，
∴若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1＜y2；当x1＜x2＜1时，y1＞y2；
故④错误；
故选：B．
4．解：抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＜0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（2，y3）四点，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝＝﹣1．
∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1+1|＜|2+1|
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
5．解：由题意得x1，x2为2x2﹣5x﹣1＝0的两根，
∴2x12﹣5x1＝1，x1x2＝﹣，
∴2x12﹣5x1+3x1x2＝1+3×（﹣）＝﹣．
故选：C．
6．解：∵二次函数y＝kx2﹣4x﹣2的图象与x轴有两个交点，
∴当y＝0时，0＝kx2﹣4x﹣2有两个不等的实数根，
∴，
解得，k＞﹣2且k≠0，
故选：B．
7．解：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），
∴x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2，
又∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，开口向下，
∴当x＞2＞x2时，y随x的增大而减小，故①正确；
又∵对称轴为直线x＝，1＜m＜2，
∴0＜＜，
∴若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则y1＜y2，故③正确；
若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2，
∴该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），（m，0），
∴0＜≤，
解得1＜m≤，故④错误；
∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，
∵a＜0，1＜m＜2，
∴﹣1＜a＜﹣，故②错误；
∴①③正确；②④错误，
故选：B．
8．解：∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3；当x＝3时，y＝﹣x2+4x＝3，
∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，
∴抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1≤x≤3的范围内有公共点，
∴3≤t≤4．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
9．解：设平行与x的直线为y＝n（n＞0），
解x2＝n得，x＝，
∴A的横坐标为﹣，B横坐标为，
∴AB＝2，
解ax2＝n得，x＝±，
∴C的横坐标为﹣，D横坐标为，
∴CD＝2，
∵CD＝2AB，
∴2＝4，
∴＝4n，
∴a＝，
故选：B．
10．解：由题意可知：y的函数图象如图所示：
观察函数图象可知：点A为函数y的图象的最高点，
∴y的最大值为4．
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3），
∴它与坐标轴的三个交点分别是：（1，0），（﹣3，0），（0，﹣3）；
∴该三角形的面积为×4×3＝6．
故答案是：6．
12．解：取x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∴，
设P（x，x2+4x+3），过点P作PQ平行y轴交AC与点Q，连接AP，CP，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
∴Q（x，x+3），
∴PQ＝x+3﹣（x2+4x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴，
解得x＝﹣2或x＝或x＝，
当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2+4×（﹣2）+3＝﹣1，
∴P（﹣2，﹣1），
当x＝，y＝＝，
∴P（，），
当x＝时，y＝＝，
∴P（，）
当点P和B重合时，△ACP的面积等于△ABC的面积，
∴点P（﹣1，0），
综上，点P的坐标为P（﹣1，0），P（﹣2，﹣1），P（，），P（，）．
13．解：y＝﹣2（x﹣1）2+6的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为y＝﹣2（x﹣1+2）2+6﹣5，即y＝﹣2（x+1）2+1．
故答案是：y＝﹣2（x+1）2+1．
14．解：∵二次函数y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴该函数的对称轴是直线x＝2，函数图象开口向下，当x＝1时，取得最大值9，
当x＝8时y＝﹣27，
∴当﹣3≤x≤8时，y的取值范围是﹣27≤y≤9，
故答案为﹣27≤y≤9．
15．解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），
即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2；
当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6，
所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．
故答案为：﹣6＜m＜﹣2．
16．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴ax2+c＜mx+n的解集是﹣1＜x＜3，
∴ax2﹣mx+c＜n的解集是﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
17．解：∵y＝﹣x2+2x+a＝﹣（x﹣1）2+1+a，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+a的开口向下，对称轴为直线x＝1，
而A（﹣2，y1）离直线x＝1的距离最远，B（1，y2）在直线x＝1上，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为y1＜y3＜y2．
18．解：将A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣2．
故答案为：y＝x2﹣x﹣2．
19．解：根据题意得△＝4（k﹣）2﹣4k2＜0，
解得k＞．
故答案为k＞．
20．解：∵﹣2＜0，
∴当x＜20时，y随x的增大而增大，
∵16≤x≤22，
∴当x＝20时，y取得最大值，最大值y＝﹣2×（19﹣20）2+1558＝1558，
故答案为：1558．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．解：（1）∵点B（1，1）在抛物线y＝ax2上，
∴1＝a，
∴抛物线的解析式为y＝x2；
（2）由题可知，直线AB的解析式为y＝﹣x+2．
联立两函数解析式成方程组，，
解得：或，
∴点C的坐标为（﹣2，4）．
∴S△AOC＝×2×4＝4；
（3）由图象可知，当﹣x+2＞ax2时，x的取值范围﹣2＜x＜1．
22．解：（1）∵价格每降低1元，平均每天多销售10箱，
∴每箱降价x元，平均每天多销售10x箱，
∴每天销售y与x之间的关系式为：y＝40+10x，
∵销售价不低于45元，
∴60﹣x≥45，
∴x≤15．
∵x≥0
∴x的取值范围：0≤x≤15，
∴每天销售y与x之间的关系式为y＝40+10x（0≤x≤15）；
（2）由题意得：
w＝（60﹣45﹣x）（40+10x）
＝（15﹣x）（40+10x）
＝﹣10x2+110x+600
＝﹣10（x﹣）2+902.5，
∵x为整数，
∴x＝5或6，
∴当x＝5时，超市盈利最大为900元，
当x＝6时，超市盈利最大为900元，
即此时牛奶的售价为：60﹣5＝55（元）或60﹣6＝54（元）；
（3）∵w＝＝﹣10x2+110x+600，
当利润为880元时，﹣102+110x+600＝880，
解得：x1＝4，x2＝7，
由函数的性质可知，当利润不低于880元时，4≤x≤7．
∵x为整数，
∴x＝4，5，6，7．
∴60﹣x＝56，55，54，53，
∴该品牌牛奶当天的售价应定为56元/箱或55元/箱或54元/箱或元/箱，
故答案为：56或55或54或53．
23．解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，
把A（3，0）代入解析式求得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
把A（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b中，得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3；
（2）如图1，连接OA，
∴S△CAB＝S△OCB+S△AOC﹣S△AOB
＝×3×1+×3×4﹣×3×3
＝1.5+6﹣4.5
＝3；
（3）如图2，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），
S△PAB＝S△OBP+S△AOP﹣S△AOB
＝•3x+•3（﹣x2+2x+3）﹣×3×3
＝﹣x2+x
＝﹣（x2﹣3x+﹣）
＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝时，△PAB的面积最大，此时P（，）；
（4）分两种情况：
①当Q在AB的上方时，如图3，过点C作CD∥AB，交抛物线于Q，连接QB，QA，此时S△ACB＝S△QAB，
设CD的解析式为：y＝﹣x+m，
把C（1，4）代入得：4＝﹣1+m，
∴m＝5，
∴﹣x2+2x+3＝﹣x+5，
解得：x1＝1，x2＝2，
∴Q（2，3）；
当Q与C重合时，Q（1，4）；
②当Q在AB的下方时，
由①知：直线CD与y轴的交点为（0，5），即直线AB向上平移2个单位，
∴将直线AB向下平移2个单位得到y＝﹣x+1，
∴﹣x2+2x+3＝﹣x+1，
解得：x1＝，x2＝，
∴Q（，）或（，）．
综上，点Q的坐标是（2，3）或（1，4）或（，）或（，）．
24．解：（1）由点A的坐标知，OA＝2，
∵OC＝2OA＝4，故点C的坐标为（0，4），
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
解得．
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，
解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4；
（2）∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当FA+FC的值最小，
由函数的对称性知，AF＝BF，
则AF+FC＝BF+FC＝BC为最小，
当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，故点F（1，3），
由点B、C的坐标知，OB＝OC＝4，
则BC＝BO＝4，
即点F的坐标为（1，3）、FA+FC的最小值为4；
25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bc+2经过B（2，0）、C（6，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式，
∵当x＝0时，y＝2，
∴点A的坐标为（0，2），
∴m＝2，即直线解析式为：，
∴抛物线与直线交于A、D两点，
∴，
解得，，
∴D（12，10）；
（2）如图1，过点M作y轴的平行线交线段AD于点N，
设点M的坐标为，
则点N的坐标为（x，），
∴
＝﹣，
∴S＝，
∵a＝﹣1＜0，
∴S有最大值，
∵当M运动到M（6，0）时，S有最大值为36；
（3）①当点P为直角顶点时，设P（x，0），过点D作DH⊥x轴，垂足为H，
∴x2﹣12x+20＝0，
∴x1＝2，x2＝10，
∴点P的坐标为（2，0）或（10，0）．
②当点A为直角顶点时，如图，过点A作AP⊥AD，交x轴与点P，设P（x，0），
∴x＝，
∴点P的坐标为（，0）；
③当点D为直角顶点时，过点D作DP⊥AD，交x轴于点P，设P（x，0），过点D作DH⊥x轴于点H，
∴x＝
∴点P的坐标为（，0），
∴满足条件的点P的坐标为（2，0）或（10，0）或（，0）或（，0）．
26．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴，
解得：，
∴这个二次函数的解析式为；
∵二次函数与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+2，
∵直线AC经过点A（﹣3，0），
∴0＝﹣3k+2，
解得：，
∴直线AC的解析式为；
（2）由（1）得，
如图1，设点，则，
∴＝＝，
∴当时，PD最大，最大值是．
（3）存在．假设存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．
①若CM平行于x轴，如图2，有符合要求的两个点Q1，Q2，此时Q1A＝Q2A＝CM．
∵CM∥x轴，
∴点M、点C（0，2）关于对称轴x＝﹣1对称，
∴M（﹣2，2），
∴CM＝2，
由Q1A＝Q2A＝CM＝2，得到Q1（﹣5，0），Q2（﹣1，0）；
②若CM不平行于x轴，如图所示，过点M作MG⊥x轴于G，
易证△MGQ≌△COA，得QG＝OA＝3，MG＝OC＝2，即yM＝﹣2，
设M（x，﹣2），则有，
解得：，
又QG＝3，
∴，
∴，．
综上所述，存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．Q点坐标为：Q1（﹣5，0），Q2（﹣1，0），，．
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