2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）12月月考数学试卷 (1)人教A版

这是一份2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）12月月考数学试卷 (1)人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 用秦九韶算法计算函数fx=x4−2x2+x−1，当x=1时的值，则v3=( )
A.−2B.−1C.0D.1

2. 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点(0, 2)，则C的方程为( )
A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x

3. 已知下列说法：
①命题“∃x0∈R，x02+1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1<3x”；
②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(¬p)∧(¬q)为真命题”；
③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；
④“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题．
其中正确说法的个数为（ ）
A.4B.3C.2D.1

4. 关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为(−1, 2)，则关于x的不等式bx2−ax−2>0的解集为( )
A.(−2, 1)B.(−∞, −1)∪(2, +∞)
C.(−∞, −2)∪(1, +∞) D.(−1, 2)

5. 若双曲线C1：y2m−x27=1与双曲线C2：x24−y29=1的渐近线相同，则双曲线C1的离心率为( )
A.52B.53C.133D.132

6. 在椭圆C：x25+y23=1中，以点P1,−1为中点的弦所在的直线方程为( )
A.3x+5y+2=0B.5x+3y−2=0C.5x−3y−8=0D.3x−5y−8=0

7. 已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cs∠F1AF2=34，则椭圆的离心率e=（ ）
A.12B.22C.14D.24

8. 阅读下面程序框图，则输出结果s的值为( )

A.12B.32C.−3D.3

9. 一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，事件中互斥事件为( )
①恰有1件次品和恰有2件次品； ②至少有1件次品和全是次品；
③至少有1件正品和至少1件次品； ④至少有1件次品和全是正品.
A.①③④B.①②C.②③④D.①④

10. 三国时期的吴国数学家赵爽根据一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，他所绘制的勾股圆方图被后世称为“赵爽弦图”．如图所示的图形就是根据赵爽弦图绘制而成的，图中的四边形都是正方形，三角形都是相似的直角三角形，且两条直角边长之比均为2．现从整个图形内随机取一点，则该点取自小正方形（阴影部分）内的概率为( )

A.19B.125C.116D.136
二、填空题

已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和双曲线C2:x2m2−y2n2=1m>0,n>0的焦点相同，F1，F2分别为左、右焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，PM⊥x轴，M为垂足，若OM=23|OF2|（O为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为________.
三、解答题

设命题p：实数x满足x2−6mx+5m2≤0，其中m>0；命题q:x+2x−5<0．
(1)若m=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

已知A，B分别为椭圆E:x2a2+y2=1a>1的左、右顶点，G为E的上顶点，AG→⋅GB→=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点．

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x2+y2=4，过点P0,3且斜率为k的直线l与圆O交于不同的两点A，B，点Q0,43．

(1)若直线l的斜率k=2，求线段AB的长度；

(2)设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值，并求出该定值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
秦九韶算法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f(x)=x4−2x2+x−1
=x4+0⋅x3−2x2+x−1
=(((x+0)x−2)x+1)x−1，
则v1=x+0，v2=v1x−2，v3=v2x+1，
当x=1时，v1=1，v2=−1，v3=0.
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的性质
圆与圆锥曲线的综合问题
【解析】
根据抛物线方程算出|OF|=p2，设以MF为直径的圆过点A(0, 2)，在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=4+p24．再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．
【解答】
解：∵ 抛物线C方程为y2=2px(p>0)，
∴ 焦点F(p2, 0).
如图：
设M(x, y)，则|MF|=x+p2=5，即x=5−p2，
∵ 圆心是MF的中点，
∴ 圆心横坐标为5−p2+p22=52.
∵ 圆半径为12|MF|=52，
∴ 该圆与y轴相切于点(0, 2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即M(5−p2, 4)，代入抛物线方程得p2−10p+16=0，
解得p=2或p=8．
∴ 抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故选C．
3.
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
命题的否定
必要条件、充分条件与充要条件的判断
复合命题及其真假判断
【解析】
①利用命题的否定即可判断出；
②由“p∨q”为假命题，则p与q都为假命题，可得￢p，￢q都为真命题，即可判断出“￢p∧￢q为真命题”；
③“a>2”是“a>5”的必要不充分条件；
④“若xy=0，则x=0且y=0”是假命题，即可判断出其逆否命题为假命题的真假．
【解答】
解：①命题“∃x0∈R，x02+1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故①不正确；
②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则p与q都为假命题，
∴ ¬p，¬q都为真命题，∴ (¬p)∧(¬q)为真命题，故②正确；
③“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故③不正确；
④“若xy=0，则x=0且y=0”是假命题，则其逆否命题也为假命题，故④不正确．
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
利用不等式的解集与方程根的关系，求出a，b的值，即可求得不等式bx2−ax−2>0的解集．
【解答】
解：∵ 关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为(−1, 2)，
∴ −1，2是ax2+bx+2=0(a<0)的两根，
∴ −1+2=−ba，(−1)⋅2=2a，
∴ a=−1，b=1，
∴ 不等式bx2−ax−2>0为x2+x−2>0，
∴ x<−2或x>1.
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
利用双曲线的渐近线方程，得到m的值，然后求解离心率即可．
【解答】
解：双曲线y2m−x27=1的渐近线方程为y=±m7x，
双曲线x24−y29=1的渐近线方程为y=±32x.
由题意可得m7=32，
解得m=634，
∴ 双曲线C1的离心率
e=ca=1+b2a2=1+7634=133.
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
可采用“点差法”，即先设弦的两端点为Ax1,y1，，Bx2,y2，分别代入椭圆方程后作差，可求出直线的斜率，再结合过点M，写出点斜式方程．
【解答】
解：设弦的两个端点分别为Ax1,y1，Bx2,y2，
则x125+y123=1，x225+y223=1，
两式相减得：
x1+x2x1−x25+y1+y2y1−y23=0，
∴ y1−y2x1−x2=−35⋅x1+x2y2+y2.
又∵ P1,−1为AB的中点，
∴ x1+x2=2，y1+y2=−2，
∴ y1−y2x1−x2=35，
即kAB=35，
∴ AB所在的直线方程为y+1=35x−1，
即3x−5y−8=0.
故选D.
7.
【答案】
D
【考点】
椭圆的离心率
余弦定理
【解析】
无
【解答】
解：设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为2c（c>0），
则椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点F1的坐标为−c,0，右焦点F2的坐标为c,0，
依题意，不妨设点A的坐标为0,b，
在△F1AF2中，由余弦定理得：
|P1F2|2=|AF1|2+|AF2|2−2|AF1|⋅|AF2|⋅cs∠F1AF2.
∵cs∠F1AF2=34，
∴ 4c2=2a2−2a2×34=12a2，
∴ e2=c2a2=18，解得e=24．
故选D．
8.
【答案】
D
【考点】
循环结构的应用
正弦函数的周期性
【解析】
由2013除以6余数为3，根据程序框图转化为一个关系式，利用特殊角的三角函数值化简，得出6个一循环，可得出所求的结果．
【解答】
解：∵ 2013÷6=335⋯3，
∴ 根据程序框图转化得：
sinπ3+sin2π3+sinπ+⋯+sin2013π3=
( 32+32+0−32−32+0)+
( 32+32+0−32−32+0)+⋯
+( 32+32+0−32−32+0)+
32+32+0=3.
故选D．
9.
【答案】
D
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
解答此题的关键在于理解概率的基本性质的相关知识，掌握1)必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2)当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；3)若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．
【解答】
解：对于①恰有1件次品就是1件正品、1件次品，与2件都是次品显然互斥；
对于②，至少有1件次品包括有1件次品和2件全是次品，两事件不互斥；
对于③至少有1件正品包括恰有1件正品和1件次品以及2件都是正品，与至少有1件次品显然不互斥；
对于④，至少有1件次品包括恰有1件次品和2件全是次品，与全是正品互斥.故互斥事件是①④.
故选D.
10.
【答案】
B
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
本题考查数学文化，几何概型．
【解答】
解：设小正方形的边长为1，
则与小正方形相邻的四个直角三角形的直角边长分别为2和1，
从而可得斜边长为5，
所以外围较大的直角三角形的直角边长分别为25和5，
于是大正方形的边长为5.
根据几何概型的概率计算公式可知所求概率为1252=125.
故选B.
二、填空题
【答案】
32
【考点】
椭圆的定义
双曲线的定义
双曲线的离心率
椭圆的离心率
【解析】
利用双曲线定义与椭圆定义，求出PF1与PF2的值，线段垂直，建立关系式，即可求出答案.
【解答】
解：设PF1=s,PF2=t ,
由椭圆与双曲线的定义得：
s+t=2a,s−t=2m, 所以s=a+m,t=a−m,
因为PM⊥x轴,
所以a+m2=53c2+a−m2−19c2,
所以am=23c2，
所以e1e2=ca⋅cm=c2am=32.
故答案为：32.
三、解答题
【答案】
解：(1)由x2−6mx+5m2≤0得x−mx−5m≤0，
又m>0，所以m≤x≤5m，
当m=2时， 2≤x≤10，
即p为真时实数x的取值范围是2≤x≤10，
由q:x+2x−5<0，得q:−2若p∧q为真，则p真且q真，
2≤x≤10，−2解得2≤x<5.
所以实数x的取值范围是[2,5)．
(2)p是q的充分不必要条件，等价于p⇒q，且q⇏p,
设A=x|m≤x≤5m,B=x|−2则A⊆B且A≠B所以m>−2,5m<5,
解得−2又因为m>0，所以实数m的取值范围是0,1．
【考点】
复合命题及其真假判断
根据充分必要条件求参数取值问题
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由x2−6mx+5m2≤0得x−mx−5m≤0，
又m>0，所以m≤x≤5m，
当m=2时， 2≤x≤10，
即p为真时实数x的取值范围是2≤x≤10，
由q:x+2x−5<0，得q:−2若p∧q为真，则p真且q真，
2≤x≤10，−2解得2≤x<5.
所以实数x的取值范围是[2,5)．
(2)p是q的充分不必要条件，等价于p⇒q，且q⇏p,
设A=x|m≤x≤5m,B=x|−2则A⊆B且A≠B所以m>−2,5m<5,
解得−2又因为m>0，所以实数m的取值范围是0,1．
【答案】
解：(1)由题意，A−a,0 ，Ba,0， G0,1，
所以AG→=a,1，GB→=a,−1，
AG→⋅GB→=a2−1=8
⇒a2=9，
解得a=3.
所以椭圆E的方程为x29+y2=1.
(2)由(1)知A−3,0， B3,0．
设P6,m，则直线PA的方程为y=m9x+3，
联立 x29+y2=1，y=m9x+3，
⇒9+m2x2+6m2x+9m2−81=0，
由韦达定理−3xC=9m2−819+m2
⇒xC=−3m2+279+m2，
代入直线PA的方程y=m9x+3，
得yC=6m9+m2，
即C−3m2+279+m2,6m9+m2.
直线PB的方程为y=m3x−3，
联立 x29+y2=1，y=m3x−3，
⇒1+m2x2−6m2x+9m2−9=0.
由韦达定理3xD=9m2−91+m2⇒xD=3m2−31+m2，
代入直线PB的方程y=m3x−3，
得yD=−2m1+m2，
即D3m2−31+m2,−2m1+m2.
所以直线CD的斜率
kCD=6m9+m2−−2m1+m2−3m2+279+m2−3m2−31+m2
=4m3(3−m2)，
所以直线CD的方程为y−−2m1+m2=4m33−m2x−3m2−31+m2，
整理得y=4m33−m2x−32，
所以直线CD过定点32,0.
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的标准方程
平面向量数量积
斜率的计算公式
【解析】
(1)根据椭圆的几何性质，可写出A，B和G的坐标，再结合平面向量的坐标运算列出关于a的方程，解之即可；
(2)设P点坐标，写出直线AP的方程，联立直线AP的方程与椭圆方程，消去y，解出x的值代入直线AP的方程中解得C点坐标.写出直线BP的方程，联立直线BP的方程与椭圆方程，消去y，解出x的值代入直线BP的方程中解得D点坐标.从而得直线CD的方程，最后确定直线CD过定点.
【解答】
解：(1)由题意，A−a,0 ，Ba,0， G0,1，
所以AG→=a,1，GB→=a,−1，
AG→⋅GB→=a2−1=8
⇒a2=9，
解得a=3.
所以椭圆E的方程为x29+y2=1.
(2)由(1)知A−3,0， B3,0．
设P6,m，则直线PA的方程为y=m9x+3，
联立 x29+y2=1，y=m9x+3，
⇒9+m2x2+6m2x+9m2−81=0，
由韦达定理−3xC=9m2−819+m2
⇒xC=−3m2+279+m2，
代入直线PA的方程y=m9x+3，
得yC=6m9+m2，
即C−3m2+279+m2,6m9+m2.
直线PB的方程为y=m3x−3，
联立 x29+y2=1，y=m3x−3，
⇒1+m2x2−6m2x+9m2−9=0.
由韦达定理3xD=9m2−91+m2⇒xD=3m2−31+m2，
代入直线PB的方程y=m3x−3，
得yD=−2m1+m2，
即D3m2−31+m2,−2m1+m2.
所以直线CD的斜率
kCD=6m9+m2−−2m1+m2−3m2+279+m2−3m2−31+m2
=4m3(3−m2)，
所以直线CD的方程为y−−2m1+m2=4m33−m2x−3m2−31+m2，
整理得y=4m33−m2x−32，
所以直线CD过定点32,0.
【答案】
解：(1)直线l的斜率k=2，则直线1的方程为： y=2x+3，
圆心到直线l的距离为d=31+2=3．所以|AB|=2r2−d2=24−3=2.
(2)设直线l的方程为y=kx+3，Ax1,y1，Bx2,y2，
由y=kx+3,x2+y2=4,有1+k2x2+6kx+5=0，
Δ=36k2−4×1+k2×5>0，
所以x1+x2=−6k1+k2，x1x2=51+k2，
k1+k2=y1−43x1+y2−43x2
=kx1+3−43x1+kx2+3−43x2
=2k+53x1+53x2
=2k+53×x1+x2x1x2
=2k+53×−6k1+k2×1+k25=0.
所以k1+k2为定值0.
【考点】
点到直线的距离公式
直线和圆的方程的应用
直线与圆相交的性质
圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)直线l的斜率k=2，则直线1的方程为： y=2x+3，
圆心到直线l的距离为d=31+2=3．所以|AB|=2r2−d2=24−3=2.
(2)设直线l的方程为y=kx+3，Ax1,y1，Bx2,y2，
由y=kx+3,x2+y2=4,有1+k2x2+6kx+5=0，
Δ=36k2−4×1+k2×5>0，
所以x1+x2=−6k1+k2，x1x2=51+k2，
k1+k2=y1−43x1+y2−43x2
=kx1+3−43x1+kx2+3−43x2
=2k+53x1+53x2
=2k+53×x1+x2x1x2
=2k+53×−6k1+k2×1+k25=0.
所以k1+k2为定值0.