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2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）9月月考数学试卷 (1)人教A版
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这是一份2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）9月月考数学试卷 (1)人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列四条直线，其倾斜角最大的是( )
A.2x−y+1=0B.x+2y+3=0C.x+y+1=0D.x+1=0
2. 已知直线m⊥平面α，则“直线n⊥m”是“n // α”的( )
A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3. 在空间直角坐标系中，点P(−2, 1, 4)关于xOy平面对称的点的坐标是( )
A.(−2, 1, −4)B.(−2, −1, −4)C.(2, −1, 4)D.(2, 1, −4)
4. 已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A.若m//α，n//β，且α//β，则m//n
B.若m//α，n//β，且α⊥β，则m//n
C.若m⊥α，n//β，且α//β，则m⊥n
D.若m⊥α，n//β，且α⊥β，则m⊥n
5. 下列关于命题的说法错误的是( )
A.命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”
B.“a=2”是“函数fx=lgax在区间0,+∞上为增函数”的充分不必要条件
C.命题“∃x∈−∞,0，2x<3x”是真命题
D.若命题p：∃n∈N，2n>1000，则¬p：∀n∈N，2n≤1000
6. 若过点2,1的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为( )
A.55B.255C.355D.455
7. 如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )
A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B.该几何体有12条棱、6个顶点
C.该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形
8. 如图，在直角坐标系xOy中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD分割成四个小正方形，若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是( )
A.x2+y2−x+2y+1=0B.x2+y2+2x−2y+1=0
C.x2+y2−2x+y−1=0D.x2+y2−2x+2y−1=0
9. 已知圆x2+y2+2x−4y+1=0关于直线2ax−by+2=0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是( )
A.(−∞, 14]B.(0, 14)C.(−14, 0)D.[−14, +∞)
10. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为( )
A.线段B1C
B.线段BC1
C.BB1的中点与CC1的中点连成的线段
D.BC的中点与B1C1的中点连成的线段
二、填空题
若函数f(x)=lga(3x−2)+1 (a>0, a≠1)的图象过定点P，点Q在曲线x2−y−2=0上运动，则线段PQ中点M的轨迹方程是________．
三、解答题
如图，在四棱锥 P−ABCD 中，四边形ABCD是直角梯形，且 AD//BC，AD⊥CD，∠ABC=60∘，BC=2AD=2，PC=3 ，△PAB 是正三角形．
(1)求证： AB⊥PC；
(2)求二面角 P−CD−B 的平面角的正切值．
已知△ABC的外接圆的半径为2，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，又向量m→=(sinA−sinC,b−a)，n→=(sinA+sinC,24sinB)，且m→⊥n→.
(1)求角C；
(2)求三角形ABC的面积S的最大值．
已知p:x2−x−6≤0，q:x2+2mx−8m2≤0，m>0．
(1)若q是p 成立的必要不充分条件，求m的取值范围；
(2)若¬p是¬q成立的充分不必要条件，求m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）9月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
根据题意，依次分析选项，求出所给直线的斜率，比较其倾斜角的大小，即可得答案。故选B.
【解答】
解：对于A，2x−y+1=0，其斜率k1=2，倾斜角θ1为锐角；
对于B，x+2y+3=0，其斜率k2=−12，倾斜角θ2大于135∘；
对于C，x+y+1=0，其斜率k3=−1，倾斜角θ3为135∘；
对于D，x+1=0，倾斜角θ4为90∘.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可．
【解答】
解：当m⊥α且n⊥m时，我们可以得到n // α或n⊂α.
因为直线n与平面α的位置关系不确定，所以充分性不成立；
当n // α时，过直线n可做平面β与平面α交于直线a，则有n//a.
又有m⊥α，则有m⊥a，即m⊥n，所以必要性成立.
故“直线n⊥m”是“n // α”的必要不充分条件.
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
空间中的点的坐标
【解析】
在空间直角坐标系中，点(x, y, z)关于xOy平面对称点的坐标是(x, y, −z)．故选A．
【解答】
解：在空间直角坐标系中，某点关于xOy平面对称的点的横纵坐标不变，竖坐标为相反数，
点P(−2, 1, 4)关于xOy平面对称点的坐标是(−2, 1, −4)．
故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
平面与平面垂直的性质
平面与平面平行的性质
直线与平面平行的性质
空间中平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，若m//α，n//β，且α//β，则m，n或相交，或平行，或异面，故错误；
B，若m//α，n//β，且α⊥β，则m，n或相交，或平行，或异面，故错误；
C，若m⊥α，n//β，且α//β，则m⊥n，故正确；
D，若m⊥α，n//β，且α⊥β，则m，n或相交，或平行，或异面，故错误.
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
复合命题及其真假判断
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的真假判断与应用
命题的否定
【解析】
选项A是写一个命题的逆否命题，只要把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可；
选项B看由a=2能否得到函数fx=lgax在区间0,+∞上为增函数，反之又是否成立；选项C、D是写出特称命题的否定，注意其否定全称命题的格式．
【解答】
解：因为命题“若x2−3x+2=0，则x=1“的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0，所以A正确；
由a=2能得到函数fx=lgax在区间0,+∞上为增函数，
反之，函数fx=lgax在区间0,+∞上为增函数，a不一定等于2，
所以”a=2“是“函数fx=lgax在区间0,+∞上为增函数”的充分不必要条件，所以B正确；
因为当x<0时恒有2x>3x，所以命题“∃x∈−∞,0，2x<3x”为假命题，所以C不正确．
命题p：∃n∈N，2n>1000，的否定为¬p：∀n∈N，2n≤1000，所以D正确.
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
圆的标准方程
点到直线的距离公式
【解析】
由已知设圆方程为：(x−a)2+(y−a)2=a2，将(2,1)代入，求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可.
【解答】
解：依题意：因为点(2,1)在直线2x−y−3=0上，
结合题意可设圆心坐标为a,a，
则2−a2+1−a2=a2，
即a2−6a+5=0，
解得a=1，或a=5，
所以圆心坐标为1,1或(5,5).
d=|2−1−3|5=255或d=|10−5−3|5=255，
所以圆心到直线2x−y−3=0的距离为255.
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
棱锥的结构特征
【解析】
根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A、B、C正确，选项D错误．
【解答】
解：根据几何体的直观图，得
该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，
且有棱MA，MB，MC，MD，AB，BC，CD，DA，NA，NB，NC和ND共12条；
顶点是M，A，B，C，D和N共6个；
且有面MAB，面MBC，面MCD，面MDA，面NAB，面NBC，面NCD和面NDA共8个，且每个面都是三角形．
所以选项A，B，C正确，选项D错误．
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
圆的标准方程与一般方程的转化
圆的一般方程
【解析】
由题意可得小正方形的边长为2，则内切圆的半径均为1，分别求得四个内切圆的圆心，可得圆的方程，即可得到所求结论．
【解答】
解：由大正方形的边长为4，可得小正方形的边长为2，
则内切圆的半径均为1，
可得第一象限的圆心为(1, 1)，方程为(x−1)2+(y−1)2=1，
即为x2+y2−2x−2y+1=0；
第二象限的圆心为(−1, 1)，方程为(x+1)2+(y−1)2=1，
即为x2+y2+2x−2y+1=0；
第三象限的圆心为(−1, −1)，方程为(x+1)2+(y+1)2=1，
即为x2+y2+2x+2y+1=0；
第四象限的圆心为(1, −1)，方程为(x−1)2+(y+1)2=1，
即为x2+y2−2x+2y+1=0．
故选B.
9.
【答案】
A
【考点】
二次函数的性质
关于点、直线对称的圆的方程
【解析】
把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线2ax−by+2=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由a表示出b，设m=ab，将表示出的b代入ab中，得到m关于a的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．
【解答】
解：把圆的方程化为标准方程得：(x+1)2+(y−2)2=4，
∴ 圆心坐标为(−1, 2)，半径r=2.
根据题意可知：圆心在直线2ax−by+2=0上，
把圆心坐标代入直线方程得：−2a−2b+2=0，即b=1−a.
设m=ab=a(1−a)=−a2+a=−(a−12)2+14，
∴ 当a=12时，m有最大值，最大值为14，即ab的最大值为14，
则ab的取值范围是(−∞, 14]．
故选A．
10.
【答案】
A
【考点】
轨迹方程
【解析】
如图，BD1⊥面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，故点P的轨迹为面ACB1与面BCC1B1的交线段CB1．
【解答】
解：如图，连接AC，AB1，B1C，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，BD1⊥平面ACB1.
又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，
∴ 故点P的轨迹为平面ACB1与平面BCC1B1的交线段B1C．
故选A.
二、填空题
【答案】
y=2x2−2x
【考点】
轨迹方程
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
令3x−2=1，得到f(x)=lga(3x−2)1 (a>0, a≠1)的图象过定点P(1, 1)，设Q(q, 2−2)，中点M(x, y)，由中点坐标公式能求出线段PQ中点M轨迹方程．
【解答】
解：当3x−2=1，即x=1时，f(x)=lga1+1=1，
所以f(x)=lga(3x−2)+1(a>0, a≠1)的图象过定点P(1, 1).
设Q(q, q2−2)，中点M(x, y)，
所以x=1+q2，q=2x−1，
y=1+q2−22=q2−12=(2x−1)2−12=2x2−2x，
故线段PQ的中点M的轨迹方程是y=2x2−2x．
故答案为：y=2x2−2x．
三、解答题
【答案】
(1)证明：取AB中点E，作AF⊥BC，垂足为F，连结PE，CE，AC，
∵ BC=2AD，AD//CD，∠ADC=90∘，
∴ AD=FC=BF=1，
又∠ABC=60∘，
∴ △ABC 为正三角形，
E为AB中点， CE⊥AB，
∵ △ABP 为正三角形，E为AB中点， PE⊥AB，
∵ PE∩EC=E，
∴ AB⊥ 平面PCE,
∴ AB⊥PC.
(2)解：过P点作 PO⊥CE, PH⊥CD 连结OH,
由(1)知AB⊥ 平面PCE，
∴ 平面 ABCD⊥平面PCE,
∵ PO⊥CE， 平面ABCD∩平面PCE=CE，，
∴ PO⊥ 平面ABCD,
又PH⊥CD，
∴OH⊥CD，
∠PHO 为二面角 P−CD−B 的平面角，
∵ △ABC是正三角形，
∴ AB=BC=2，CE=3，
又△PAB是正三角形，
∴ PA=PB=AB=2，PE=3，
∴ △PEC为等腰三角形，
又PC=3，
可得∠PCE=30∘，
∴ PO=32, OC=332,
易知△BCE=30∘，
∴ ∠ECD=60∘，∴OH=332×32=94，
在Rt△POH中，
tan∠PHO=POOH=23，
∴ 二面角 P−CD−B 的平面角的正切值为 23.
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面垂直的性质
直线与平面垂直的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：取AB中点E，作AF⊥BC，垂足为F，连结PE，CE，AC，
∵ BC=2AD，AD//CD，∠ADC=90∘，
∴ AD=FC=BF=1，
又∠ABC=60∘，
∴ △ABC 为正三角形，
E为AB中点， CE⊥AB，
∵ △ABP 为正三角形，E为AB中点， PE⊥AB，
∵ PE∩EC=E，
∴ AB⊥ 平面PCE,
∴ AB⊥PC.
(2)解：过P点作 PO⊥CE, PH⊥CD 连结OH,
由(1)知AB⊥ 平面PCE，
∴ 平面 ABCD⊥平面PCE,
∵ PO⊥CE， 平面ABCD∩平面PCE=CE，，
∴ PO⊥ 平面ABCD,
又PH⊥CD，
∴OH⊥CD，
∠PHO 为二面角 P−CD−B 的平面角，
∵ △ABC是正三角形，
∴ AB=BC=2，CE=3，
又△PAB是正三角形，
∴ PA=PB=AB=2，PE=3，
∴ △PEC为等腰三角形，
又PC=3，
可得∠PCE=30∘，
∴ PO=32, OC=332,
易知△BCE=30∘，
∴ ∠ECD=60∘，∴OH=332×32=94，
在Rt△POH中，
tan∠PHO=POOH=23，
∴ 二面角 P−CD−B 的平面角的正切值为 23.
【答案】
解：(1)∵ m→⊥n→⇒m→⋅n→=0，
∴ (sinA−sinC)(sinA+sinC)+24(b−a)sinB=0，且2R=22，
由正弦定理得：(a2R)2−(c2R)2+24×b2R(b−a)=0，
化简得：c2=a2+b2−ab，
由余弦定理：c2=a2+b2−2abcsC，
∴ 2csC=1⇒csC=12.
∵ 0∴ C=π3.
(2)∵ a2+b2−ab=c2=(2RsinC)2=6，
∴ 6=a2+b2−ab≥2ab−ab=ab（当且仅当a=b时取“=”），
∴S=12absinC=34ab≤323，
∴Smax=323，此时△ABC为正三角形.
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
余弦定理
正弦定理
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
（1）由m→⊥n→，推出m→⋅n→=0，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C；
（2）利用（1）中c2=a2+b2−ab，应用正弦定理，和基本不等式，求三角形ABC的面积S的最大值．
【解答】
解：(1)∵ m→⊥n→⇒m→⋅n→=0，
∴ (sinA−sinC)(sinA+sinC)+24(b−a)sinB=0，且2R=22，
由正弦定理得：(a2R)2−(c2R)2+24×b2R(b−a)=0，
化简得：c2=a2+b2−ab，
由余弦定理：c2=a2+b2−2abcsC，
∴ 2csC=1⇒csC=12.
∵ 0∴ C=π3.
(2)∵ a2+b2−ab=c2=(2RsinC)2=6，
∴ 6=a2+b2−ab≥2ab−ab=ab（当且仅当a=b时取“=”），
∴S=12absinC=34ab≤323，
∴Smax=323，此时△ABC为正三角形.
【答案】
解：(1)∵ p:x2−x−6≤0，
∴ −2≤x≤3.
∵ q:x2+2mx−8m2≤0，m>0，
∴ −4m≤x≤2m.
若q是p的必要不充分条件，
则−4m≤−2，3<2m，或−4m<−2，3≤2m，
解得：m≥32.
(2)若¬p是≠q的充分不必要条件，
则q是p的充分不必要条件，
则−4m≥−2，2m<3，m>0，或−4m>−2，2m≤3，m>0，
解得, 0【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ p:x2−x−6≤0，
∴ −2≤x≤3.
∵ q:x2+2mx−8m2≤0，m>0，
∴ −4m≤x≤2m.
若q是p的必要不充分条件，
则−4m≤−2，3<2m，或−4m<−2，3≤2m，
解得：m≥32.
(2)若¬p是≠q的充分不必要条件，
则q是p的充分不必要条件，
则−4m≥−2，2m<3，m>0，或−4m>−2，2m≤3，m>0，
解得, 0
1. 下列四条直线，其倾斜角最大的是( )
A.2x−y+1=0B.x+2y+3=0C.x+y+1=0D.x+1=0
2. 已知直线m⊥平面α，则“直线n⊥m”是“n // α”的( )
A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3. 在空间直角坐标系中，点P(−2, 1, 4)关于xOy平面对称的点的坐标是( )
A.(−2, 1, −4)B.(−2, −1, −4)C.(2, −1, 4)D.(2, 1, −4)
4. 已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A.若m//α，n//β，且α//β，则m//n
B.若m//α，n//β，且α⊥β，则m//n
C.若m⊥α，n//β，且α//β，则m⊥n
D.若m⊥α，n//β，且α⊥β，则m⊥n
5. 下列关于命题的说法错误的是( )
A.命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”
B.“a=2”是“函数fx=lgax在区间0,+∞上为增函数”的充分不必要条件
C.命题“∃x∈−∞,0，2x<3x”是真命题
D.若命题p：∃n∈N，2n>1000，则¬p：∀n∈N，2n≤1000
6. 若过点2,1的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为( )
A.55B.255C.355D.455
7. 如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )
A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B.该几何体有12条棱、6个顶点
C.该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形
8. 如图，在直角坐标系xOy中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD分割成四个小正方形，若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是( )
A.x2+y2−x+2y+1=0B.x2+y2+2x−2y+1=0
C.x2+y2−2x+y−1=0D.x2+y2−2x+2y−1=0
9. 已知圆x2+y2+2x−4y+1=0关于直线2ax−by+2=0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是( )
A.(−∞, 14]B.(0, 14)C.(−14, 0)D.[−14, +∞)
10. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为( )
A.线段B1C
B.线段BC1
C.BB1的中点与CC1的中点连成的线段
D.BC的中点与B1C1的中点连成的线段
二、填空题
若函数f(x)=lga(3x−2)+1 (a>0, a≠1)的图象过定点P，点Q在曲线x2−y−2=0上运动，则线段PQ中点M的轨迹方程是________．
三、解答题
如图，在四棱锥 P−ABCD 中，四边形ABCD是直角梯形，且 AD//BC，AD⊥CD，∠ABC=60∘，BC=2AD=2，PC=3 ，△PAB 是正三角形．
(1)求证： AB⊥PC；
(2)求二面角 P−CD−B 的平面角的正切值．
已知△ABC的外接圆的半径为2，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，又向量m→=(sinA−sinC,b−a)，n→=(sinA+sinC,24sinB)，且m→⊥n→.
(1)求角C；
(2)求三角形ABC的面积S的最大值．
已知p:x2−x−6≤0，q:x2+2mx−8m2≤0，m>0．
(1)若q是p 成立的必要不充分条件，求m的取值范围；
(2)若¬p是¬q成立的充分不必要条件，求m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）9月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
根据题意，依次分析选项，求出所给直线的斜率，比较其倾斜角的大小，即可得答案。故选B.
【解答】
解：对于A，2x−y+1=0，其斜率k1=2，倾斜角θ1为锐角；
对于B，x+2y+3=0，其斜率k2=−12，倾斜角θ2大于135∘；
对于C，x+y+1=0，其斜率k3=−1，倾斜角θ3为135∘；
对于D，x+1=0，倾斜角θ4为90∘.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可．
【解答】
解：当m⊥α且n⊥m时，我们可以得到n // α或n⊂α.
因为直线n与平面α的位置关系不确定，所以充分性不成立；
当n // α时，过直线n可做平面β与平面α交于直线a，则有n//a.
又有m⊥α，则有m⊥a，即m⊥n，所以必要性成立.
故“直线n⊥m”是“n // α”的必要不充分条件.
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
空间中的点的坐标
【解析】
在空间直角坐标系中，点(x, y, z)关于xOy平面对称点的坐标是(x, y, −z)．故选A．
【解答】
解：在空间直角坐标系中，某点关于xOy平面对称的点的横纵坐标不变，竖坐标为相反数，
点P(−2, 1, 4)关于xOy平面对称点的坐标是(−2, 1, −4)．
故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
平面与平面垂直的性质
平面与平面平行的性质
直线与平面平行的性质
空间中平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，若m//α，n//β，且α//β，则m，n或相交，或平行，或异面，故错误；
B，若m//α，n//β，且α⊥β，则m，n或相交，或平行，或异面，故错误；
C，若m⊥α，n//β，且α//β，则m⊥n，故正确；
D，若m⊥α，n//β，且α⊥β，则m，n或相交，或平行，或异面，故错误.
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
复合命题及其真假判断
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的真假判断与应用
命题的否定
【解析】
选项A是写一个命题的逆否命题，只要把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可；
选项B看由a=2能否得到函数fx=lgax在区间0,+∞上为增函数，反之又是否成立；选项C、D是写出特称命题的否定，注意其否定全称命题的格式．
【解答】
解：因为命题“若x2−3x+2=0，则x=1“的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0，所以A正确；
由a=2能得到函数fx=lgax在区间0,+∞上为增函数，
反之，函数fx=lgax在区间0,+∞上为增函数，a不一定等于2，
所以”a=2“是“函数fx=lgax在区间0,+∞上为增函数”的充分不必要条件，所以B正确；
因为当x<0时恒有2x>3x，所以命题“∃x∈−∞,0，2x<3x”为假命题，所以C不正确．
命题p：∃n∈N，2n>1000，的否定为¬p：∀n∈N，2n≤1000，所以D正确.
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
圆的标准方程
点到直线的距离公式
【解析】
由已知设圆方程为：(x−a)2+(y−a)2=a2，将(2,1)代入，求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可.
【解答】
解：依题意：因为点(2,1)在直线2x−y−3=0上，
结合题意可设圆心坐标为a,a，
则2−a2+1−a2=a2，
即a2−6a+5=0，
解得a=1，或a=5，
所以圆心坐标为1,1或(5,5).
d=|2−1−3|5=255或d=|10−5−3|5=255，
所以圆心到直线2x−y−3=0的距离为255.
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
棱锥的结构特征
【解析】
根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A、B、C正确，选项D错误．
【解答】
解：根据几何体的直观图，得
该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，
且有棱MA，MB，MC，MD，AB，BC，CD，DA，NA，NB，NC和ND共12条；
顶点是M，A，B，C，D和N共6个；
且有面MAB，面MBC，面MCD，面MDA，面NAB，面NBC，面NCD和面NDA共8个，且每个面都是三角形．
所以选项A，B，C正确，选项D错误．
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
圆的标准方程与一般方程的转化
圆的一般方程
【解析】
由题意可得小正方形的边长为2，则内切圆的半径均为1，分别求得四个内切圆的圆心，可得圆的方程，即可得到所求结论．
【解答】
解：由大正方形的边长为4，可得小正方形的边长为2，
则内切圆的半径均为1，
可得第一象限的圆心为(1, 1)，方程为(x−1)2+(y−1)2=1，
即为x2+y2−2x−2y+1=0；
第二象限的圆心为(−1, 1)，方程为(x+1)2+(y−1)2=1，
即为x2+y2+2x−2y+1=0；
第三象限的圆心为(−1, −1)，方程为(x+1)2+(y+1)2=1，
即为x2+y2+2x+2y+1=0；
第四象限的圆心为(1, −1)，方程为(x−1)2+(y+1)2=1，
即为x2+y2−2x+2y+1=0．
故选B.
9.
【答案】
A
【考点】
二次函数的性质
关于点、直线对称的圆的方程
【解析】
把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线2ax−by+2=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由a表示出b，设m=ab，将表示出的b代入ab中，得到m关于a的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．
【解答】
解：把圆的方程化为标准方程得：(x+1)2+(y−2)2=4，
∴ 圆心坐标为(−1, 2)，半径r=2.
根据题意可知：圆心在直线2ax−by+2=0上，
把圆心坐标代入直线方程得：−2a−2b+2=0，即b=1−a.
设m=ab=a(1−a)=−a2+a=−(a−12)2+14，
∴ 当a=12时，m有最大值，最大值为14，即ab的最大值为14，
则ab的取值范围是(−∞, 14]．
故选A．
10.
【答案】
A
【考点】
轨迹方程
【解析】
如图，BD1⊥面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，故点P的轨迹为面ACB1与面BCC1B1的交线段CB1．
【解答】
解：如图，连接AC，AB1，B1C，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，BD1⊥平面ACB1.
又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，
∴ 故点P的轨迹为平面ACB1与平面BCC1B1的交线段B1C．
故选A.
二、填空题
【答案】
y=2x2−2x
【考点】
轨迹方程
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
令3x−2=1，得到f(x)=lga(3x−2)1 (a>0, a≠1)的图象过定点P(1, 1)，设Q(q, 2−2)，中点M(x, y)，由中点坐标公式能求出线段PQ中点M轨迹方程．
【解答】
解：当3x−2=1，即x=1时，f(x)=lga1+1=1，
所以f(x)=lga(3x−2)+1(a>0, a≠1)的图象过定点P(1, 1).
设Q(q, q2−2)，中点M(x, y)，
所以x=1+q2，q=2x−1，
y=1+q2−22=q2−12=(2x−1)2−12=2x2−2x，
故线段PQ的中点M的轨迹方程是y=2x2−2x．
故答案为：y=2x2−2x．
三、解答题
【答案】
(1)证明：取AB中点E，作AF⊥BC，垂足为F，连结PE，CE，AC，
∵ BC=2AD，AD//CD，∠ADC=90∘，
∴ AD=FC=BF=1，
又∠ABC=60∘，
∴ △ABC 为正三角形，
E为AB中点， CE⊥AB，
∵ △ABP 为正三角形，E为AB中点， PE⊥AB，
∵ PE∩EC=E，
∴ AB⊥ 平面PCE,
∴ AB⊥PC.
(2)解：过P点作 PO⊥CE, PH⊥CD 连结OH,
由(1)知AB⊥ 平面PCE，
∴ 平面 ABCD⊥平面PCE,
∵ PO⊥CE， 平面ABCD∩平面PCE=CE，，
∴ PO⊥ 平面ABCD,
又PH⊥CD，
∴OH⊥CD，
∠PHO 为二面角 P−CD−B 的平面角，
∵ △ABC是正三角形，
∴ AB=BC=2，CE=3，
又△PAB是正三角形，
∴ PA=PB=AB=2，PE=3，
∴ △PEC为等腰三角形，
又PC=3，
可得∠PCE=30∘，
∴ PO=32, OC=332,
易知△BCE=30∘，
∴ ∠ECD=60∘，∴OH=332×32=94，
在Rt△POH中，
tan∠PHO=POOH=23，
∴ 二面角 P−CD−B 的平面角的正切值为 23.
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面垂直的性质
直线与平面垂直的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：取AB中点E，作AF⊥BC，垂足为F，连结PE，CE，AC，
∵ BC=2AD，AD//CD，∠ADC=90∘，
∴ AD=FC=BF=1，
又∠ABC=60∘，
∴ △ABC 为正三角形，
E为AB中点， CE⊥AB，
∵ △ABP 为正三角形，E为AB中点， PE⊥AB，
∵ PE∩EC=E，
∴ AB⊥ 平面PCE,
∴ AB⊥PC.
(2)解：过P点作 PO⊥CE, PH⊥CD 连结OH,
由(1)知AB⊥ 平面PCE，
∴ 平面 ABCD⊥平面PCE,
∵ PO⊥CE， 平面ABCD∩平面PCE=CE，，
∴ PO⊥ 平面ABCD,
又PH⊥CD，
∴OH⊥CD，
∠PHO 为二面角 P−CD−B 的平面角，
∵ △ABC是正三角形，
∴ AB=BC=2，CE=3，
又△PAB是正三角形，
∴ PA=PB=AB=2，PE=3，
∴ △PEC为等腰三角形，
又PC=3，
可得∠PCE=30∘，
∴ PO=32, OC=332,
易知△BCE=30∘，
∴ ∠ECD=60∘，∴OH=332×32=94，
在Rt△POH中，
tan∠PHO=POOH=23，
∴ 二面角 P−CD−B 的平面角的正切值为 23.
【答案】
解：(1)∵ m→⊥n→⇒m→⋅n→=0，
∴ (sinA−sinC)(sinA+sinC)+24(b−a)sinB=0，且2R=22，
由正弦定理得：(a2R)2−(c2R)2+24×b2R(b−a)=0，
化简得：c2=a2+b2−ab，
由余弦定理：c2=a2+b2−2abcsC，
∴ 2csC=1⇒csC=12.
∵ 0
(2)∵ a2+b2−ab=c2=(2RsinC)2=6，
∴ 6=a2+b2−ab≥2ab−ab=ab（当且仅当a=b时取“=”），
∴S=12absinC=34ab≤323，
∴Smax=323，此时△ABC为正三角形.
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
余弦定理
正弦定理
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
（1）由m→⊥n→，推出m→⋅n→=0，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C；
（2）利用（1）中c2=a2+b2−ab，应用正弦定理，和基本不等式，求三角形ABC的面积S的最大值．
【解答】
解：(1)∵ m→⊥n→⇒m→⋅n→=0，
∴ (sinA−sinC)(sinA+sinC)+24(b−a)sinB=0，且2R=22，
由正弦定理得：(a2R)2−(c2R)2+24×b2R(b−a)=0，
化简得：c2=a2+b2−ab，
由余弦定理：c2=a2+b2−2abcsC，
∴ 2csC=1⇒csC=12.
∵ 0
(2)∵ a2+b2−ab=c2=(2RsinC)2=6，
∴ 6=a2+b2−ab≥2ab−ab=ab（当且仅当a=b时取“=”），
∴S=12absinC=34ab≤323，
∴Smax=323，此时△ABC为正三角形.
【答案】
解：(1)∵ p:x2−x−6≤0，
∴ −2≤x≤3.
∵ q:x2+2mx−8m2≤0，m>0，
∴ −4m≤x≤2m.
若q是p的必要不充分条件，
则−4m≤−2，3<2m，或−4m<−2，3≤2m，
解得：m≥32.
(2)若¬p是≠q的充分不必要条件，
则q是p的充分不必要条件，
则−4m≥−2，2m<3，m>0，或−4m>−2，2m≤3，m>0，
解得, 0
根据充分必要条件求参数取值问题
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ p:x2−x−6≤0，
∴ −2≤x≤3.
∵ q:x2+2mx−8m2≤0，m>0，
∴ −4m≤x≤2m.
若q是p的必要不充分条件，
则−4m≤−2，3<2m，或−4m<−2，3≤2m，
解得：m≥32.
(2)若¬p是≠q的充分不必要条件，
则q是p的充分不必要条件，
则−4m≥−2，2m<3，m>0，或−4m>−2，2m≤3，m>0，
解得, 0
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