2020-2021学年河南省郑州市高二（下）3月月考数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省郑州市高二（下）3月月考数学（文）试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 复数6+5i，−2+3i对应的点分别为A，B．C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（ ）
A.4+iB.2+4iC.8+2iD.4+8i

2. 若复数z=(−8+i)⋅i在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3. 计算1−i1+i的结果是（ ）
A.iB.−iC.2D.−2

4. 两个量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A.模型1的相关指数R2为0.99
B.模型2的相关指数R2为0.88
C.模型3的相关指数R2为0.50
D.模型4的相关指数R2为0.20

5. 下列关于残差图的描述错误的是（ ）
A.残差图的纵坐标只能是残差
B.残差图的横坐标可以是编号、解释变量和预报变量
C.残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小
D.残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小

6. 根据如下样本数据：
得到的回归方程为y=bx+a，则（ ）
A.a>0，b<0B.a>0，b>0
C.a<0，b<0D.a<0，b>0

7. 已知数列2，5，22，11，⋯，则25是这个数列的( )
A.第6项B.第7项C.第19项D.第11项

8. 若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则△ABC的面积为r(a+b+c)2．根据类比思想可得：若四面体A−BCD的三个侧面与底面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为________.

9. 有一段演绎推理：“直线平行于平面，则这条直线平行于平面内所有直线；直线a⊂平面α，直线b // 平面α，则直线b // 直线a”的结论是错误的，这是因为( )
A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

10. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( )
A.假设三内角都不大于60度；
B.假设三内角都大于60度；
C.假设三内角至多有一个大于60度；
D.假设三内角至多有两个大于60度.

11. 如图是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则直接影响“计划” 要素有( )

A.1个B.2个C.3个D.4个

12. 按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（ ）

A.6B.21C.156D.231
二、填空题

已知x与y之间的一组数据如下，则y与x的线性回归方程为y=bx+a，必过点________.
三、解答题

学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，学习雷锋精神时全修好；单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作了一个大致统计，具体数据如下：

(1)求：学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是多少？并初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神是否有关？

(2)请说明是否有97.5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关？参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，(n=a+b+c+d).

某城市理论预测2007年到2011年人口总数与年份的关系如表所示.

(1)请根据表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

(2)据此估计2012年该城市人口总数．
参考公式：b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2，a=y−bx．

设复数z=a2−a−2+a2−3a−4i （其中a∈R）.
(1)若复数z为纯虚数，求a的值；

(2)若复数z>0，求a的值；

(3)若复数z在复平面对应的点在第三象限，求数a的取值范围．

计算下列问题：
(1)复数z=i⋅1+i2，求|z|；

(2)已知复数z=1+i，如果az+bz+1=1−i，求实数a，b的值．

已知：在数列{an}中，a1=7，an+1=7anan+7.
(1)请写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式；

(2)请证明你猜想的通项公式的正确性．

证明：
(1)6+7>22+5；

(2)已知a，b，c∈0,+∞，且a+b+c=1，求证： 1a−11b−11c−1≥8．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省郑州市高二（下）3月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
根据两个复数对应的点的坐标分别为A(6, 5)，B(−2, 3)，确定中点坐标为C(2, 4)得到答案．
【解答】
解：两个复数对应的点的坐标分别为A(6, 5)，B(−2, 3)，则其中点的坐标为C(2, 4)，
故其对应的复数为2+4i．
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数的运算
【解析】
根据复数四则运算进行化简，然后根据复数的几何意义，即可得到结论．
【解答】
解：∵ z=(−8+i)⋅i=−8i+i2=−1−8i，
对应的点的坐标为(−1, −8)，位于第三象限.
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．
【解答】
解：1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i.
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
相关系数
【解析】
两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.99是相关指数最大的值，得到结果．
【解答】
解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，
在所给的四个选项中0.99是相关指数最大的值，
∴ 拟合效果最好的模型是模型1．
故选A．
5.
【答案】
D
【考点】
回归分析
【解析】
根据残差图的定义和图象即可得到结论．
【解答】
解：残差图的画法：纵坐标为残差，残差图的横坐标可以是编号、解释变量和预报变量.
可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，则对应相关指数越大，残差平方和越小，故选项D错误.
故选D．
6.
【答案】
A
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
利用公式求出b，a，即可得出结论．
【解答】
解：样本平均数x=5.5，y=0.25，
∴ i=16 (xi−x)(yi−y)=−24.5，i=16 (xi−x)2=17.5，
∴ b=−−1.4，
∴ a=0.25−(−1.4)×5.5=7.95.
故选A.
7.
【答案】
B
【考点】
数列的概念及简单表示法
归纳推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由由题意得，数列通项公式为an=3n−1.
∵ 25=20，
∴ 令3n−1=20，
解得n=7，
∴ 25为数列的第7项.
故选B.
8.
【答案】
r(S1+S2+S2+S4)3
【考点】
类比推理
【解析】
根据三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，进行猜想．
【解答】
解：根据几何体和平面图形的类比关系，
三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，则面积与体积进行类比，
∴ △ABC的面积为r(a+b+c)2，
对应于四面体的体积为r(S1+S2+S2+S4)3.
故答案为：r(S1+S2+S2+S4)3.
9.
【答案】
A
【考点】
演绎推理的基本方法
【解析】
分析该演绎推理的三段论，即可得出错误的原因是什么．
【解答】
解：该演绎推理的大前提是：直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；
小前提是：直线a⊂平面α，直线b // 平面α；
结论是：直线b // 直线a；
该结论是错误的，因为大前提是错误的，
正确叙述是“若直线平行于平面，过该直线作平面与已知平面相交，则交线与该直线平行”．
故选A．
10.
【答案】
B
【考点】
反证法
【解析】
对题中所给的命题的结论进行否定可得：
【解答】
解：∵ 用反证法证明在一个三角形中，至少有一个不大于60度，
∴ 第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60度.
故选B．
11.
【答案】
C
【考点】
结构图应用
【解析】
试题分析：解：组织结构图是从上往下画的，故“计划“隶属“政府行为”、“策划部”和“社会需求”的共同下级，受“政府行为”、“策划部”和“社会需求”的影响，所以直接影响“计划”的要素有3个．
故选C．
【解答】
解：组织结构图是从上往下画的，故“计划“隶属“政府行为”、“策划部”和“社会需求”的共同下级，受“政府行为”、“策划部”和“社会需求”的影响，所以直接影响“计划”的要素有3个．
故选C．
12.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】
根据程序可知，输入x，计算出 x(x+1)2的值，若x(x+1)2≤100，然后再把 x(x+1)2作为x，输入 x(x+1)2，再计算 x(x+1)2的值，直到 x(x+1)2>100，再输出．
【解答】
解：∵ x=3，
∴ x(x+1)2=6，
∵ 6<100，
∴ 当x=6时，x(x+1)2=21<100，
∴ 当x=21时，x(x+1)2=231>100，停止循环
则最后输出的结果是 231.
故选D.
二、填空题
【答案】
1.5,4
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
求出x的平均值x,y的平均值y，回归直线方程一定过样本的中心点x,y，代入可得答案．
【解答】
解：回归直线方程一定过样本的中心点x,y，
x=0+1+2+34=1.5，
y=1+3+5+74=4，
∴ 样本中心点是1.5,4，
则y与x的线性回归方程y=bx+a必过点1.5,4.
故答案为：1.5,4.
三、解答题
【答案】
解：(1)学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是50200×100%=25%，30200×100%=15%．
由于两个百分比差距明显，故初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．
(2)根据题中的列联表得k2=400×(50×170−30×150)280×320×200×200=6.25>5.024，
由P(K2≥5.024)=0.025，
得有97.5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．
【考点】
独立性检验
【解析】
（1）学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是50200×100%，30200×100%．由于两个百分比差距明显，故初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．
（2）根据对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作的列联表，求出K2的观测值k的值为7.486>6.635，再根据P(K2≥6.635)＝0.01，该校高中学生“损毁餐椅数量与学习雷锋精神”有关．
【解答】
解：(1)学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是50200×100%=25%，30200×100%=15%．
由于两个百分比差距明显，故初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．
(2)根据题中的列联表得k2=400×(50×170−30×150)280×320×200×200=6.25>5.024，
由P(K2≥5.024)=0.025，
得有97.5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．
【答案】
解：(1)∵ x=0+1+2+3+45=2，
y=5+7+8+11+195=10，
i=15xiyi=0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，
i=15xi2=02+12+22+32+42=30，
b=i=15xiyi−nxyi=15xi2−nx2=132−5×2×1030−5×22=3.2，
a=10−3.2=3.6，
故y关于x的线性回归方程为y=3.2x+3.6.
(2)当x=5时，y=3.2×5+3.6，即y=19.6，
据此估计2012年该城市人口总数约为196万.
【考点】
求解线性回归方程
回归分析
【解析】
（1）先求出年份2007+x和人口数y的平均值，即得到样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，根据样本中
心点在线性回归直线上，得到a的值，得到线性回归方程；
（2）当x=5代入回归直线方程，即可求得了
【解答】
解：(1)∵ x=0+1+2+3+45=2，
y=5+7+8+11+195=10，
i=15xiyi=0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，
i=15xi2=02+12+22+32+42=30，
b=i=15xiyi−nxyi=15xi2−nx2=132−5×2×1030−5×22=3.2，
a=10−3.2=3.6，
故y关于x的线性回归方程为y=3.2x+3.6.
(2)当x=5时，y=3.2×5+3.6，即y=19.6，
据此估计2012年该城市人口总数约为196万.
【答案】
解：(1)因为复数z为纯虚数，
所以a2−a−2=0,a2−3a−4≠0,
解得a=2.
(2)因为复数z>0
则z为实数，
所以a2−3a−4=0，且a2−a−2>0，
所以a=4.
(3)因为z在复平面内对应的点在第三象限，
所以 a2−a−2<0,a2−3a−4<0,
解不等式组得−1即a的取值范围是−1,2.
【考点】
复数的基本概念
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
(1)因为复数z为纯虚数，所以a2−a−2=0a2−3a−4≠0 ,所以a=2.
(2)因为复数z为实数，所以a2−3a−4=0,所以a=−1或4.
(3)因为公在复平面内对应的点在第四象限，所以 a2−a−2>0,a2−3a−4<0,解不等式组即可.
【解答】
解：(1)因为复数z为纯虚数，
所以a2−a−2=0,a2−3a−4≠0,
解得a=2.
(2)因为复数z>0
则z为实数，
所以a2−3a−4=0，且a2−a−2>0，
所以a=4.
(3)因为z在复平面内对应的点在第三象限，
所以 a2−a−2<0,a2−3a−4<0,
解不等式组得−1即a的取值范围是−1,2.
【答案】
解：(1)z=i⋅(1+i)2=i⋅(1+2i+i2)
=i⋅2i
=2i2
=−2，
|z|=(−2)2+02=2.
(2)z=1−i，
∵ az+bz+1=1−i，
∴ az+b=(1−i)(z+1).
az+b=a(1+i)+b=(a+b)+ai，
(1−i)(z+1)=(1−i)(1−i+1)
=(1−i)(2−i)
=2−3i+i2
=1−3i，
∵ (a+b)+ai=1−3i，
∴ a+b=1,a=−3,
∴ a=−3，b=4.
【考点】
复数的模
复数代数形式的混合运算
共轭复数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)z=i⋅(1+i)2=i⋅(1+2i+i2)
=i⋅2i
=2i2
=−2，
|z|=(−2)2+02=2.
(2)z=1−i，
∵ az+bz+1=1−i，
∴ az+b=(1−i)(z+1).
az+b=a(1+i)+b=(a+b)+ai，
(1−i)(z+1)=(1−i)(1−i+1)
=(1−i)(2−i)
=2−3i+i2
=1−3i，
∵ (a+b)+ai=1−3i，
∴ a+b=1,a=−3,
∴ a=−3，b=4.
【答案】
(1)解：由已知a1=7,a2=72,a3=73,a4=74，
猜想：an=7n.
(2)证明：由an+1=7anan+7，
两边取倒数得：1an+1=1an+17，
∴ 1an+1−1an=17，
∴ 数列 {1an}是以1a1=17为首项，以17为公差的等差数列，
∴ 1an=17+17(n−1)=n7 ，
∴ an=7n.
【考点】
数列递推式
等差数列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：由已知a1=7,a2=72,a3=73,a4=74，
猜想：an=7n.
(2)证明：由an+1=7anan+7，
两边取倒数得：1an+1=1an+17，
∴ 1an+1−1an=17，
∴ 数列 {1an}是以1a1=17为首项，以17为公差的等差数列，
∴ 1an=17+17(n−1)=n7 ，
∴ an=7n.
【答案】
证明：(1)要证6+7>22+5，
需证6+72>22+52，
即13+242>13+410，
即证：242>410，
只需证：42>210，
即42≥40，
∵42>40显然成立，
∴ 原不等式得证.
(2)∵a+b+c=1，
∴1a−11b−11c−1
=a+b+ca−1a+b+cb−1a+b+cc−1
=b+ca⋅a+cb⋅a+bc
=ba+caab+cbac+bc
=1+ca⋅ab+ba⋅cb+ca⋅cb(ac+bc)
=1+cb+ca+ca⋅cbac+bc
=ac+ab+1+cb+bc+1+ba+ca
=2+ac+ca+ab+ba+cb+bc
≥2+2ac⋅ca+2ab⋅ba+2cb⋅bc
=2+2+2+2
=8，
当且仅当 ac=ca 且 ab=ba 且 cb=bc，
即 a=b=c 时，
1a−11b−11c−1=8，
∴ 原不等式得证．
【考点】
不等式的证明
基本不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)要证6+7>22+5，
需证6+72>22+52，
即13+242>13+410，
即证：242>410，
只需证：42>210，
即42≥40，
∵42>40显然成立，
∴ 原不等式得证.
(2)∵a+b+c=1，
∴1a−11b−11c−1
=a+b+ca−1a+b+cb−1a+b+cc−1
=b+ca⋅a+cb⋅a+bc
=ba+caab+cbac+bc
=1+ca⋅ab+ba⋅cb+ca⋅cb(ac+bc)
=1+cb+ca+ca⋅cbac+bc
=ac+ab+1+cb+bc+1+ba+ca
=2+ac+ca+ab+ba+cb+bc
≥2+2ac⋅ca+2ab⋅ba+2cb⋅bc
=2+2+2+2
=8，
当且仅当 ac=ca 且 ab=ba 且 cb=bc，
即 a=b=c 时，
1a−11b−11c−1=8，
∴ 原不等式得证．x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
−0.5
0.5
−2.0
−3.0
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
损坏餐椅数
未损坏餐椅数
总 计
学习雷锋精神前
50
150
200
学习雷锋精神后
30
170
200
总 计
80
320
400
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
年份2007+x（年）
0
1
2
3
4
人口数y（十万）
5
7
8
11
19