2020-2021学年河南省濮阳高二（下）4月月考数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省濮阳高二（下）4月月考数学（文）试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 可以用来描述用二分法求方程近似解的过程的图是( )
A.工序流程图B.算法流程图C.知识结构图D.组织结构图

2. i1−2i=( )
A.−25+15iB.−15+25iC.−25−15iD.−15−25i

3. 用反证法证明“三个孩子中恰有一个男孩”时，正确的反设为( )
A.三个孩子都是男孩
B.三个孩子都是女孩
C.三个孩子中至少有两个男孩
D.三个孩子都是女孩或至少有两个男孩

4. 在研究肥胖与高血压的关系时，通过收集数据、整理分析数据得到“高血压与肥胖有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是( )
A.在100个肥胖的人中至少有99人患有高血压
B.肥胖的人至少有99%的概率患有高血压
C.在100个高血压患者中一定有肥胖的人
D.在100个高血压患者中可能没有肥胖的人

5. 某生物实验小组设计实验，得到光照强度x与某种植物光合作用速率y的一组数据xi,yi，经过分析提出了四种回归模型，①、②、③、④四种模型的残差平方和i=1nyi−yi2的值分别为0.48，0.99，0.15，1.23，则拟合效果最好的是（ ）
A.模型①B.模型②C.模型③D.模型④

6. 已知z为复数，在复平面内，zi对应的点位于第二象限，则z对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7. 7+3与6+10的大小关系是（ ）
A.7+3<6+10B.7+3>6+10C.7+3=6+10D.不确定

8. 已知数列{an}满足a1=13，an=2n−32n+1an−1n≥2,n∈N∗，则数列an的通项an=( )
A.14n2−1B.12n2+1
C.12n−12n+3D.1n+1n+3

9. 夏季气温高，因食用生冷或变质食物导致的肠道感染类疾病是夏季多发病．某社区医院统计了该社区在夏季某4天患肠道感染类疾病的人数y与平均气温x（​∘C）的数据如下表：
由表中数据算得线性回归方程y=bx+a中的b=4，预测当平均气温为35∘C时，该社区患肠道感染类疾病的人数为（ ）
A.57B.59C.61D.65

10. 关于椭圆C:x2m+y2n=1，有下列四个命题：
甲：m=4；
乙：n=9；
丙：C的焦距为6；
丁：C的焦点在x轴上．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A.甲B.乙C.丙D.丁

11. 已知函数fx的导函数为f′x，且对任意x∈R，f′x−fx<0，若f2=e2,ftA.0,2B.2,+∞C.0,e2D.e2,+∞

12. 某校为了解学生对餐厅食品质量的态度（满意或不满意），对在餐厅就餐的学生随机做了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，有16的男生态度是“不满意”，有13的女生态度是“不满意”，若有99%的把握认为男生和女生对餐厅食品质量的态度有差异，则调查的总人数可能为（ ）
A.120B.160C.240D.260
二、填空题

已知a∈R，复数a+i2+i为实数，则a=________.

如图是求11×2+12×3+13×4+⋯+119×20的算法流程图，则图中判断框内可以填入的条件是________．


设复数z满足|z+1|=|z−1−i|，则z在复平面内对应的点Zx,y的轨迹方程为________．

任意正整数的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为1+2+221+3+32=91；因为135=33×5，所以135的所有正约数之和为1+3+32+331+5=240．参照上述方法，可求得1000的所有正约数之和为________．
三、解答题

证明：2，5，7不可能是某个等差数列中的三项．

已知复数z=5−i2−3i．
(1)求|z|；

(2)类比数列的有关知识，求z+z2+⋯+z20．

科研人员在研制新冠肺炎疫苗过程中，利用小白鼠进行接种试验，现收集了小白鼠接种时的用药量x（单位：毫克）和有效度y的7组数据，得到如下散点图及其统计量的值：
其中ωi=xi2,ω=17i=17ωi．
(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx2哪一个更适合作为有效度y与用药量x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．

(3)若要使有效度达到75，则用药量至少为多少毫克？

某生产硬盘的工厂有甲、乙两个车间，质检部门从两个车间生产的硬盘中，随机抽取了100个测试读取速度，整理数据得到下表（单位：个）：

(1)从这些硬盘中随机抽一个，求这个硬盘是甲车间生产的概率；

(2)求该工厂生产的硬盘平均读取速度的估计值（同一组数据用该组数据的中点值作代表）；

(3)若硬盘读取速度大于等于550MB/s，则称“读取速度快”，否则称“读取速度慢”，根据所给数据，用独立性检验的方法判断：是否有95%的把握认为甲、乙两个车间生产的硬盘读取速度有差异？

在直角坐标系xOy中，已知椭圆C的参数方程为x=2csφ，y=sinφ （φ为参数），直线m的参数方程为x=−3sy=s’（s为参数），直线l垂直于直线m且过椭圆C的右焦点F．
(1)求椭圆C的普通方程和直线l的参数方程；

(2)直线l交椭圆C于A，B两点，求1|FA|+1|FB|．

已知函数fx=|x+2|+λ|x−2|．
(1)当λ=3时，解不等式fx>6；

(2)若不等式fx≤−λ|x+6|恒成立，求λ的最大值．

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=1+2csφ,y=3+2sinφ （φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l1的极坐标方程为θ=α0<α<π4，射线l2的极坐标方程为θ=α+π2．
(1)指出曲线C的曲线类型，并求其极坐标方程；

(2)若射线l1与曲线C交于O，A两点，射线l2与曲线C交于O，B两点，求△OAB的面积的取值范围．

已知a，b，c是正实数，且a+b+c=2．
(1)证明：1a+1b+1c≥92；

(2)求ab+bc的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省濮阳市高二（下）4月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
二分法求方程的近似解
流程图
算法的概念
【解析】
本题考查流程图与结构图的概念．
【解答】
解：用二分法求方程近似解的过程是一个算法，用算法流程图描述．
故选B．
2.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：i1−2i=i(1+2i)(1−2i)(1+2i)
=−2+i5.
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
本题考查逻辑推理．
【解答】
解：三个孩子是男孩、女孩的情况共有四种情形：
3个都是女孩，1个男孩2个女孩，2个男孩1个女孩，3个都是男孩，
所以用反证法证明“三个孩子中恰有一个男孩”时，正确的反设为“三个孩子都是女孩或至少有两个男孩”．
故选D．
4.
【答案】
D
【考点】
独立性检验的应用
【解析】
本题考查独立性检验的基本思想．
【解答】
解：由题意，“高血压与肥胖有关”这个判断正确的概率不低于99%，与肥胖的人患高血压的概率没有关系，只有D项正确．
故选D．
5.
【答案】
C
【考点】
回归分析
【解析】
本题考查回归分析的基本思想．
【解答】
解：残差平方和i=1nyi−yi2越小，说明拟合效果越好，所以拟合效果最好的是模型③．
故选C．
6.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的代数表示法及其几何意义
共轭复数
【解析】
本题考查复数的几何意义．
【解答】
解：设z=a+bia,b∈R，
则zi=a+bii=b−ai，点b,−a位于第二象限，
所以b<0,a<0，
复数z=a−bi对应的点为a,−b，也位于第二象限．
故选B．
7.
【答案】
B
【考点】
不等式比较两数大小
【解析】
本题考查分析法的应用．
【解答】
解： 7+3>6+10⇔7+32>6+102⇔16+263>16+260⇔63>60．
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
数列递推式
归纳推理
【解析】
本题考查归纳推理的应用．
【解答】
解：a2=15a1，而a1=13，则a2=115，
类似地a3=37a2=37×115=135．
由a1=11×3,a2=13×5,a3=15×7，⋯，
猜想得：an=12n−12n+1=14n2−1．
故选A．
9.
【答案】
C
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
本题考查线性回归分析的基本思想．
【解答】
解：根据表格中的数据可求得x=14×22+26+29+32=27.25，
y=14×12+25+27+56=30．
∴ a=y−bx=30−4×27.25=−79，
y=4x−79，
当x=35时，y=4×35−79=61．
故选C．
10.
【答案】
A
【考点】
命题的真假判断与应用
椭圆的定义和性质
【解析】
本题考查逻辑推理．
【解答】
解：若甲、乙都为真命题，则焦点为0,±5，
此时丙和丁都为假命题，不符合题意．
若甲为假命题，由乙、丙可得方程为x218+y29=1,m=18，焦点在x轴上，符合题意；
若乙为假命题，则由甲、丙可得方程为x24+y213=1，此时丁也为假命题，不符合题意．
故选A．
11.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
本题考查导数的应用．
【解答】
解：构造函数gt=ftet−1，
则g2=f2e2−1=0.
因为g′t=f′t−ftet<0，
所以函数gt在R上单调递减，
所以f(t)因此t>2．
故选B．
12.
【答案】
C
【考点】
独立性检验
【解析】
本题考查独立性检验的应用．
【解答】
解：设被调查的男生和女生各有x人，依题意可得列联表如下：
则K2=2x56x⋅13x−23x⋅16x2x⋅x⋅32x⋅12x=2x27>6.635 ，
得2x>179.145，
又因为x是6的倍数，所以调查的总人数可能为240．
故选C．
二、填空题
【答案】
2
【考点】
复数的基本概念
复数代数形式的乘除运算
【解析】
先化简复数z，利用复数为纯虚数得到实部为零，虚部不为零，求出a即可.
【解答】
解：∵ a+i2+i=a+i2−i2+i2−i=2a+15+2−a5i为实数，
∴ 2a+15≠0，2−a5=0，
解得a=2.
故答案为：2.
【答案】
k>19
【考点】
程序框图
【解析】
本题考查对算法流程图的理解．
【解答】
解：最后一次执行S=S+1kk+1时，k=19，
然后执行k=k+1，k的值变为20，
此时判断框判断的结果为“是”，
所以可以填入k>19．
故答案为：k>19．
【答案】
4x+2y−1=0
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数的模
【解析】
本题考查复数的运算和几何意义．
【解答】
解：由题可知z=x+yi，
则x+12+y2=x−12+y−12，
化简得4x+2y−1=0．
故答案为：4x+2y−1=0．
【答案】
2340
【考点】
类比推理
【解析】
本题考查类比推理的应用．
【解答】
解：因为1000=23×53，所以1000的所有正约数之和为1+2+22+231+5+52+53=2340．
故答案为：2340．
三、解答题
【答案】
证明：假设2,5，7是某个等差数列中的三项，设公差为d，显然d≠0，
则存在m，n∈N∗，使得2=5−nd,7=5+md，
于是mn=7−55−2=9+55 ．
因为m，n∈N∗，所以mn是有理数，而9+55是无理数，矛盾！
所以2,5，7不可能是某个等差数列中的三项．
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的性质
反证法
【解析】
本题考查反证法的应用．
【解答】
证明：假设2,5，7是某个等差数列中的三项，设公差为d，显然d≠0，
则存在m，n∈N∗，使得2=5−nd,7=5+md，
于是mn=7−55−2=9+55 ．
因为m，n∈N∗，所以mn是有理数，而9+55是无理数，矛盾！
所以2,5，7不可能是某个等差数列中的三项．
【答案】
解：(1)z=5−i2−3i=5−i2+3i2−3i2+3i=13+13i13=1+i ，
所以|z|=2．
(2)z+z2+⋯+z20是以z为首项，z为公比的等比数列前20项之和，
所以z+z2+⋯+z20=z1−z201−z ．
因为z2=1+i2=2i，z4=2i2=−4，
所以z20=−45=−1024 ．
所以原式=1+i1+10241−1−i=−1025+1025i．
【考点】
复数的模
复数代数形式的混合运算
等比数列的前n项和
【解析】
本题考查复数的运算以及复数的模．
【解答】
解：(1)z=5−i2−3i=5−i2+3i2−3i2+3i=13+13i13=1+i ，
所以|z|=2．
(2)z+z2+⋯+z20是以z为首项，z为公比的等比数列前20项之和，
所以z+z2+⋯+z20=z1−z201−z ．
因为z2=1+i2=2i，z4=2i2=−4，
所以z20=−45=−1024 ．
所以原式=1+i1+10241−1−i=−1025+1025i．
【答案】
解：(1)由散点图知y=c+dx2更合适．
(2)令ω=x2，建立y关于ω的线性回归方程y=c+dω，
由于d=i=17ωi−ωyi−yi=17ωi−ω2=86.454=1.6 ，
所以c=y−dω=13.4−1.6×10.5=−3.4，
所以y关于ω的线性回归方程为y=1.6ω−3.4，
所以y关于x的回归方程为y=1.6x2−3.4．
(3)由y≥75得1.6x2−3.4≥75，
整理得x2≥49，
所以用药量至少为7毫克．
【考点】
函数模型的选择与应用
散点图
求解线性回归方程
【解析】
本题考查相关关系及回归方程的计算．
【解答】
解：(1)由散点图知y=c+dx2更合适．
(2)令ω=x2，建立y关于ω的线性回归方程y=c+dω，
由于d=i=17ωi−ωyi−yi=17ωi−ω2=86.454=1.6 ，
所以c=y−dω=13.4−1.6×10.5=−3.4，
所以y关于ω的线性回归方程为y=1.6ω−3.4，
所以y关于x的回归方程为y=1.6x2−3.4．
(3)由y≥75得1.6x2−3.4≥75，
整理得x2≥49，
所以用药量至少为7毫克．
【答案】
解：(1)因为100个硬盘中，甲车间生产的有5+12+15+13=45个，
所以从这些硬盘中随机抽一个，这个硬盘是甲车间生产的概率为45100=0.45．
(2)由题可知各区间的频率分别为0.2，0.3，0.3，0.2，
所以该工厂生产的硬盘平均读取速度的估计值为
x=0.2×500+0.3×520+0.3×540+0.2×560=530．
(3)根据所给数据，可得下面的2×2列联表：
所以K2=100×13×48−32×7220×80×45×55=40099≈4.040，
因为4.040>3.84，
所以有95%的把握认为甲、乙两个车间生产的硬盘读取速度有差异．
【考点】
古典概型及其概率计算公式
频数与频率
独立性检验
【解析】
本题考查统计与概率的有关计算，独立性检验的应用．
【解答】
解：(1)因为100个硬盘中，甲车间生产的有5+12+15+13=45个，
所以从这些硬盘中随机抽一个，这个硬盘是甲车间生产的概率为45100=0.45．
(2)由题可知各区间的频率分别为0.2，0.3，0.3，0.2，
所以该工厂生产的硬盘平均读取速度的估计值为
x=0.2×500+0.3×520+0.3×540+0.2×560=530．
(3)根据所给数据，可得下面的2×2列联表：
所以K2=100×13×48−32×7220×80×45×55=40099≈4.040，
因为4.040>3.84，
所以有95%的把握认为甲、乙两个车间生产的硬盘读取速度有差异．
【答案】
解：(1)椭圆C的普通方程为x24+y2=1 ．
右焦点坐标为F3,0，
因为直线m的普通方程为y=−33x，
所以直线l的斜率为3，
所以直线l的参数方程为 x=3+12t，y=32t（t为参数）．
(2)将直线l的参数方程代入椭圆C的方程，
整理可得134t2+3t−1=0，
设点A，B对应的参数分别为t1,t2，
则t1+t2=−4313,t1t2=−413，
则1|PA|+1|FB|=1|t1|+1|t2|
=|t1−t2||t1t2|=(t1+t2)2−4t1t2|t1t2|=4．
【考点】
参数方程与普通方程的互化
直线的参数方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
参数方程的优越性
【解析】
本题考查直线与椭圆的参数方程，以及参数方程的应用．
【解答】
解：(1)椭圆C的普通方程为x24+y2=1 ．
右焦点坐标为F3,0，
因为直线m的普通方程为y=−33x，
所以直线l的斜率为3，
所以直线l的参数方程为 x=3+12t，y=32t（t为参数）．
(2)将直线l的参数方程代入椭圆C的方程，
整理可得134t2+3t−1=0，
设点A，B对应的参数分别为t1,t2，
则t1+t2=−4313,t1t2=−413，
则1|PA|+1|FB|=1|t1|+1|t2|
=|t1−t2||t1t2|=(t1+t2)2−4t1t2|t1t2|=4．
【答案】
解：(1)当λ=3时，
fx=|x+2|+3|x−2|=4−4x,x≤−2,8−2x,−22.
当x≤−2时，fx=4−4x≥12，原不等式恒成立；
当−26得x<1，所以−2当x>2时，由4x−4>6得x>52．
综上所述，不等式fx>6的解集为−∞,1∪52,+∞．
(2)由fx≤−λ|x+6|得λ|x+6|+|x−2|≤−|x+2|，
所以λ≤−|x+2||x+6|+|x−2|．
由|x+6|+|x−2|≥2|x+2|得−|x+2||x+6|+|x−2|≥−12，
当x≥2或x≤−6时等号成立．
因此，λ的最大值为−12．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
不等式恒成立问题
绝对值三角不等式
【解析】
本题考查绝对值不等式的解法和有关性质的应用．
【解答】
解：(1)当λ=3时，
fx=|x+2|+3|x−2|=4−4x,x≤−2,8−2x,−22.
当x≤−2时，fx=4−4x≥12，原不等式恒成立；
当−26得x<1，所以−2当x>2时，由4x−4>6得x>52．
综上所述，不等式fx>6的解集为−∞,1∪52,+∞．
(2)由fx≤−λ|x+6|得λ|x+6|+|x−2|≤−|x+2|，
所以λ≤−|x+2||x+6|+|x−2|．
由|x+6|+|x−2|≥2|x+2|得−|x+2||x+6|+|x−2|≥−12，
当x≥2或x≤−6时等号成立．
因此，λ的最大值为−12．
【答案】
解：(1)曲线C的普通方程为x−12+y−32=4，
所以曲线C是以1,3为圆心，2为半径的圆，
其方程可化为x2+y2=2x+23y，
所以曲线C的极坐标方程为ρ=2csθ+23sinθ.
(2)设|OA|=ρ1=2csα+23sinα，
|OB|=ρ2=2csα+π2+23sinα+π2=23csα−2sinα ，
所以S△OAB=12|OA||OB|=122csα+23sinα23csα−2sinα
=23cs2α+2sin2α=4sin2α+π3 ．
当0<α<π4时，π3<2α+π3<5π6，
所以sin(2α+π3)∈(12,1]，
所以△OAB的面积的取值范围是2,4．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
二倍角的余弦公式
二倍角的正弦公式
诱导公式
三角形的面积公式
两角和与差的正弦公式
【解析】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及极坐标方程的应用．
【解答】
解：(1)曲线C的普通方程为x−12+y−32=4，
所以曲线C是以1,3为圆心，2为半径的圆，
其方程可化为x2+y2=2x+23y，
所以曲线C的极坐标方程为ρ=2csθ+23sinθ.
(2)设|OA|=ρ1=2csα+23sinα，
|OB|=ρ2=2csα+π2+23sinα+π2=23csα−2sinα ，
所以S△OAB=12|OA||OB|=122csα+23sinα23csα−2sinα
=23cs2α+2sin2α=4sin2α+π3 ．
当0<α<π4时，π3<2α+π3<5π6，
所以sin(2α+π3)∈(12,1]，
所以△OAB的面积的取值范围是2,4．
【答案】
(1)证明：1a+1b+1ca+b+c
=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc
≥3+2ba×ab+2ca×ac+2cb×bc=9，当且仅当a=b=c时取等号，
即21a+1b+1c≥9，
所以1a+1b+1c≥92．
(2)解：因为a+12b≥2ab,c+12b≥2bc，
所以2ab+2bc≤a+b+c=2，
所以ab+bc≤2，当且仅当a=c=12,b=1时取等号，
所以ab+bc的最大值为2．
【考点】
基本不等式
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
本题考查不等式的证明，均值不等式的应用．
【解答】
(1)证明：1a+1b+1ca+b+c
=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc
≥3+2ba×ab+2ca×ac+2cb×bc=9，当且仅当a=b=c时取等号，
即21a+1b+1c≥9，
所以1a+1b+1c≥92．
(2)解：因为a+12b≥2ab,c+12b≥2bc，
所以2ab+2bc≤a+b+c=2，
所以ab+bc≤2，当且仅当a=c=12,b=1时取等号，
所以ab+bc的最大值为2．平均气温
​∘C
22
26
29
32
患肠道感染类疾病的人数
12
25
27
56
x
y
ω
i=17xi−x2
i=17ωi−ω2
i=17ωi−ωyi−y
2.7
13.4
10.5
182
54
86.4
读取速度MB/s
[490,510)
[510,530)
[530,550)
550,570
甲车间
5
12
15
13
乙车间
15
18
15
7
满意
不满意
合计
男生
56x
16x
x
女生
23x
13x
x
合计
32x
12x
2x
读取速度快
读取速度慢
合计
甲车间
13
32
45
乙车间
7
48
55
合计
20
80
100
读取速度快
读取速度慢
合计
甲车间
13
32
45
乙车间
7
48
55
合计
20
80
100