2020-2021学年河南省濮阳高二（下）5月月考数学（文）试卷人教A版

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这是一份2020-2021学年河南省濮阳高二（下）5月月考数学（文）试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若复数z=m+2i1−im∈R是纯虚数，则|m+i|=( )
A.25B.2C.5D.4

2. 设函数f(x)在x=1处可导，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)−2Δx=( )
A.f′(1)B.−12f′(1)C.−2f′(1)D.−f′(1)

3. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10，则a= ( )
A.4或−3B.4或−11C.4D.−3

4. “1A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5. 在一组样本数据x1,y1, x2,y2 ，⋯，(xn,yn)(n≥2,x1,x2 ，⋯，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点xi,yii=1,2,⋯,n都在直线y=25x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）
A.−1B.0C.12D.1

6. 下列说法：
①残差可用来判断模型拟合的效果；
②若回归方程y=3−5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③线性回归直线：y=bx+a必过(x, y)；
④在一个2×2列联表中，由计算得k2=13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系(其中P(k2≥10.828)=0.001)；
其中错误的个数是( )
A.0B.1C.2D.3

7. 在极坐标系中，如果一个圆的方程是x−22+y−32=1，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（）
A.ρsinθ=3B.ρsinθ=−3C.ρcsθ=2D.ρcsθ=−2

8. 执行如图所示的程序框图，输出 z 的值为( )

A.3B.4C.5D.6

9. 已知点A（0,2），抛物线C1:y2=axa>0的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N．若|FM|：|MN|=1： 5，则a的值为( )
A.14B.12C.1D.4

10. 下列结论正确的个数为( )
①函数y=x+1x的最小值是2；
②函数fx=csx+4csx,x∈0,π2的最小值等于4；
③“x>0且y>0”是“xy+yx≥2”的充要条件；
④不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥ab有相同的成立条件．
A.0B.1C.2D.3

11. 设双曲线x2−y23=1的左、右焦点分别为F1,F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是( )
A. 27,8B. 23,27C. 27,+∞D.8,+∞

12. 已知函数f(x)=xex−13ax3−12ax2有三个极值点，则实数a的取值范围是( )
A.(0, e)B.(0,1e)C.(e, +∞)D.(1e,+∞)
二、填空题

若命题“∃x∈R，使x2+ax+1<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
三、解答题

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=−2+t,y=−2+t(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 ρ=4csθ．
(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)若C1，C2交于A，B两点，点P的极坐标为22,−3π4，求1|PA|+1|PB|的值．

△ABC中， sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC.
(1)求A；

(2)若BC=3，求△ABC周长的最大值．

已知等差数列{an}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；

(2)求数列an2an的前n项和Tn．

最近青少年的视力健康问题引起习主席的高度重视，某地区为了解当地24所小学，24所初中和12所高中的学生的视力状况，准备采用分层抽样的方法从这些学校中随机抽取5所学校对学生进行视力调查．
(1)若从所抽取的5所学校中再随机抽取2所学校进行问卷调查，求抽到的这2所学校中，小学、初中分别有一所的概率；

(2)若某小学被抽中，调查得到了该小学前五个年级近视率y的数据如下表：
根据前五个年级的数据，利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并根据方程预测该地区六年级学生的近视率．
附：回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2，a=y−bx，
参考数据： i=15xiyi=2.76，i=15xi2=55.

已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=12，且过焦点垂直于长轴的弦长为3.
(1)求椭圆的标准方程；

(2)设过右焦点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为12，求直线l的斜率及弦长AB．

已知函数fx=ax−1x−2lnxa>0.
(1)当a=1时，求 fx在x=2处的切线方程；

(2)若fx存在两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省濮阳市高二（下）5月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
无
【解答】
解：z=m+2i1−i=(m+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=m−2+(m+2)i2，
∵z为纯虚数，
∴m−2=0,m+2≠0,解得m=2，
∴m+i=2+i，
∴ |m+i|=5．
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
极限及其运算
导数的几何意义
【解析】
利用导数的性质和运算法则求解．
【解答】
解：∵ 函数f(x)在x=1处可导，
∴ limΔx→0f(1+Δx)−f(1)−2Δx=−12limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=−12f′(1)．
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
根据函数f(x)在x=1处取极值10，得f′(1)=0f(1)=10 ，
由此求得a、b的值，再验证a、b是否符合题意即可．
【解答】
解：函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10，
∴ f′(x)=3x2+2ax+b，
且f′(1)=3+2a+b=0f(1)=1+a+b+a2=10 ，
解得a=4，b=−11或，a=−3，b=3；
a=−3，b=3时：f′(x)=3x2−6x+3=3(x−1)2≥0，
根据极值的定义知道，此时函数f(x)无极值；
a=4，b=−11时，f′(x)=3x2+8x−11，
令f′(x)=0得x=1或−113，符合条件；
∴ a=4．
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
椭圆的标准方程
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
本题考查方程表示椭圆的条件．考查数学运算能力与逻辑推理能力．
【解答】
解：方程x23−m+y25=1表示椭圆的条件是3−m>0,3−m≠5,
解得m∈−∞,−2∪(−2,3)，
故1故选A .
5.
【答案】
D
【考点】
相关系数
【解析】
根据题意，分析可得这组样本数据完全正相关，由相关系数的概念分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，若所有样本点xi,yii=1,2,⋯,n都在直线y=25x+1上，
则这组样本数据完全正相关，其相关系数是1.
故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
回归分析
【解析】
根据题意，对题目中的命题进行分析，判断真假性即可．
【解答】
解：①残差可用来判断模型拟合的效果，残差越小，拟合效果越好，故①正确；
②回归方程y=3−5x中，变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故②错误；
③线性回归方程y=bx+a必过样本中心点(x, y)，故③正确；
④在2×2列联表中，由计算得k2=13.079，对照临界值得，有99%的把握确认这两个变量间有关系，故④正确；
综上，其中错误的命题是②，共1个．
故选B．
7.
【答案】
A
【考点】
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：圆x−22+y−32=1的圆心为2,3，
∴ 过圆心且与极轴平行的直线方程是y=3，即ρsinθ=3，
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】

【解答】
解：执行程序为S=1×20=1,a=1，
S=1×21=2,a=2，
S=2×22=23=8,a=3，
S=8×23=64,a=4，
结束循环，
输出z=lg264=6．
故选D．
9.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
斜率的计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意，点F的坐标为a4,0，
设点M在准线上的射影为K，
由抛物线的定义知|MF|=|MK|，
∴ |KM|:|MN|=1:5，
则|KN|:|KM|=2:1 .
∴ kFN=2−00−a4=−8a=−2,
∴ a=4，
故选D .
10.
【答案】
A
【考点】
命题的真假判断与应用
三角函数的最值
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：①当x<0时y≤−2,故①错误；
②csx不可能为2，所以等号不可能成立，故②错误；
③当x<0且y<0时，不等式xy+yx≥2也成立，故③错误；
④a2+b2≥2ab对于a,b∈R都成立，而a+b2≥ab只有当a>0,b>0时才成立，故④错误．
故选A．
11.
【答案】
A
【考点】
双曲线的特性
两点间的距离公式
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知a=1，b=3，c=2，
则e=ca=2，
设Px,y是双曲线上任意一点，由对称性不妨设P在右支上，则1|PF1|=2x+1，|PF2|=2x−1，∠F1PF2为锐角，
则|PF1|2+|PF2|2>|F1F2|2，
即(2x+1)2+(2x−1)2>42，
解得x>72，
所以72|PF1|+|PF2|=4x∈(27,8)．
故选A.
12.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
求函数的导数，根据函数f(x)有三个极值点，等价为f′(x)＝ex+xex−ax2−ax＝(1+x)ex−ax(x+1)＝0有三个不同的实根，利用参法分离法进行求解即可．
【解答】
解：f′(x)=ex+xex−ax2−ax，
若函数f(x)=xex−13ax3−12ax2有三个极值点，
等价为f′(x)=ex+xex−ax2−ax=0有三个不同的实根，
即(1+x)ex−ax(x+1)=0，
即(x+1)(ex−ax)=0，
则x=−1，则ex−ax=0，有两个不等于−1的根，
则a=exx，
设ℎ(x)=exx，
则ℎ′(x)=exx−exx2=ex(x−1)x2，
则由ℎ′(x)>0得x>1，
由ℎ′(x)<0得x<1且x≠0，
则当x=1时，ℎ(x)取得极小值ℎ(1)=e，
当x<0时，ℎ(x)<0，
作出函数ℎ(x)=exx的图象如图，
要使a=exx有两个不同的根，
则满足a>e，
即实数a的取值范围是(e, +∞)，
故选C.
二、填空题
【答案】
−2,2
【考点】
全称命题与特称命题
【解析】
由题意可得命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”真命题，Δ=a2−4≤0，求解即可得到答案.
【解答】
解：若命题“∃x∈R，使x2+ax+1<0”是假命题，
则命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是真命题，
∴ Δ=a2−4≤0，
解得，−2≤a≤2.
故答案为：−2,2.
三、解答题
【答案】
解：(1)在C1中消去t得C1的普通方程为x−y=0；
由ρ=4csθ得ρ2=4ρcsθ，即x2+y2=4x，
∴C2的直角坐标方程为x−22+y2=4．
(2)C1的参数方程化为标准参数方程为x=−2+22t′,y=−2+22t′ (t′为参数)．P的直角坐标为−2,−2，
将C1的标准参数方程代人C2的直角坐标方程得t′2−62t′+16=0
设A，B对应的参数分别为t1′，t2′，则t1′+t2′=62，t1′⋅t2′=16，
所以1|PA|+1|PB|=|PA|+|PB||PA|⋅|PB|
=t1′+t2′t1′⋅t2′=328．
【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
直线的参数方程
参数方程的优越性
【解析】
(1)由曲线C1的参数方程消去参数t即得普通方程，结合ρ2=x2+y2，x=pcsθ进行转化即得曲线C2的直角坐标方程；
(2)将曲线C1的参数方程化为标准形式代入曲线C2的直角坐标方程得到关于t′的二次方程，然后利用参数的几何意义，结合根与系数的关系求解．
【解答】
解：(1)在C1中消去t得C1的普通方程为x−y=0；
由ρ=4csθ得ρ2=4ρcsθ，即x2+y2=4x，
∴C2的直角坐标方程为x−22+y2=4．
(2)C1的参数方程化为标准参数方程为x=−2+22t′,y=−2+22t′ (t′为参数)．P的直角坐标为−2,−2，
将C1的标准参数方程代人C2的直角坐标方程得t′2−62t′+16=0
设A，B对应的参数分别为t1′，t2′，则t1′+t2′=62，t1′⋅t2′=16，
所以1|PA|+1|PB|=|PA|+|PB||PA|⋅|PB|
=t1′+t2′t1′⋅t2′=328．
【答案】
解：(1)在△ABC中，设内角A,B,C的对边分别为a,b,c，
∵ sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC，
由正弦定理得， a2−b2−c2=bc，
即b2+c2−a2=−bc，
由余弦定理得，
csA=b2+c2−a22bc=−12.
∵ 0(2)由(1)知A=2π3，因为BC=3，即a=3，
由余弦定理得， a2=b2+c2−2bccsA，
∴ 9=b2+c2+bc=b+c2−bc.
由基本不等式bc≤b+c2知bc≤b+c24，
结合上式得9=b+c2−bc≥34b+c2,
b+c2≤12，
∴ b+c≤23，
当且仅当b=c=3时取等号，
∴ △ABC周长的最大值为3+23.
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
余弦定理
正弦定理
【解析】
(1)运用正弦定理和余弦定理求得角A的余弦值，然后根据角A的取值范围可得所求角；
(2) 运用余弦定理和基本不等式，即可得到所求最大值．
【解答】
解：(1)在△ABC中，设内角A,B,C的对边分别为a,b,c，
∵ sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC，
由正弦定理得， a2−b2−c2=bc，
即b2+c2−a2=−bc，
由余弦定理得，
csA=b2+c2−a22bc=−12.
∵ 0(2)由(1)知A=2π3，因为BC=3，即a=3，
由余弦定理得， a2=b2+c2−2bccsA，
∴ 9=b2+c2+bc=b+c2−bc.
由基本不等式bc≤b+c2知bc≤b+c24，
结合上式得9=b+c2−bc≥34b+c2,
b+c2≤12，
∴ b+c≤23，
当且仅当b=c=3时取等号，
∴ △ABC周长的最大值为3+23.
【答案】
解：(1)因为an是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列，
所以a32=a1a9，
即a1+22=a1a1+8，
解得a1=1，
所以an=n．
(2)因为an2an=n×12n，
所以Tn=1×121+2×122+3×123+⋯+n×12n，
12Tn=1×122+2×123+⋯+n−1×12n+n×12n+1，
两式相减得12Tn=121+122+123+⋯+12n−n×12n+1
所以12Tn=12⋅[1−(12)n]1−12−n×12n+1
=1−12n−n2n+1，
所以Tn=2−2+n2n．
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列与等比数列的综合
数列的求和
等比数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为an是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列，
所以a32=a1a9，
即a1+22=a1a1+8，
解得a1=1，
所以an=n．
(2)因为an2an=n×12n，
所以Tn=1×121+2×122+3×123+⋯+n×12n，
12Tn=1×122+2×123+⋯+n−1×12n+n×12n+1，
两式相减得12Tn=121+122+123+⋯+12n−n×12n+1
所以12Tn=12⋅[1−(12)n]1−12−n×12n+1
=1−12n−n2n+1，
所以Tn=2−2+n2n．
【答案】
解：(1)由24:24:12=2:2:1，
得抽取的5所学校中有2所小学、2所初中、1所高中，
分别设为a1，a2，b1，b2,c,
从这5所学校中随机抽取2所学校的所有基本事件为(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c)，(a2,b1)(a2,b2),(a2,c),(b1,b2)，(b1,c),(b2，c)共10种，
设事件A表示“抽到的这2所学校中，小学、初中分别有一所”，
则事件A包含的基本事件为a1,b1,a1,b2,a2,b1,a2,b2,共4种，
故PA=410=25．
(2)由题中表格数据得x=3,y=0.15,
5xy=2.25,5x2=45,
且由参考数据：i=15xiyi=2.76,i=15xi2=55,
得b=2.76−2.2555−45=0.051，
a=0.15−0.051×3=−0.003,
所以线性回归方程为y=0.051x−0.003．
当x=6时，代入得y=0.051×6−0.003=0.303,
所以六年级学生的近视率在0.303左右．
【考点】
分层抽样方法
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由24:24:12=2:2:1，
得抽取的5所学校中有2所小学、2所初中、1所高中，
分别设为a1，a2，b1，b2,c,
从这5所学校中随机抽取2所学校的所有基本事件为(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c)，(a2,b1)(a2,b2),(a2,c),(b1,b2)，(b1,c),(b2，c)共10种，
设事件A表示“抽到的这2所学校中，小学、初中分别有一所”，
则事件A包含的基本事件为a1,b1,a1,b2,a2,b1,a2,b2,共4种，
故PA=410=25．
(2)由题中表格数据得x=3,y=0.15,
5xy=2.25,5x2=45,
且由参考数据：i=15xiyi=2.76,i=15xi2=55,
得b=2.76−2.2555−45=0.051，
a=0.15−0.051×3=−0.003,
所以线性回归方程为y=0.051x−0.003．
当x=6时，代入得y=0.051×6−0.003=0.303,
所以六年级学生的近视率在0.303左右．
【答案】
解：(1)由题意得ca=12，
2b2a=3，a2=b2+c2，
解得a2=4,b2=3,c2=1，
故所求椭圆的方程为x24+y23=1．
(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不合题意，舍去；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−1)k≠0,Ax1,y1,Bx2,y2，
代入椭圆方程整理得4k2+3x2−8k2x+4k2−12=0⇒x1+x2=8k24k2+3=1⇒
k=±32，
∴ 2x2−2x−3=0,x1+x2=1，x1x2=−32，
由题意得|AB|=1+k2|x1−x2|=1+k2x1−x22=72．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得ca=12，
2b2a=3，a2=b2+c2，
解得a2=4,b2=3,c2=1，
故所求椭圆的方程为x24+y23=1．
(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不合题意，舍去；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−1)k≠0,Ax1,y1,Bx2,y2，
代入椭圆方程整理得4k2+3x2−8k2x+4k2−12=0⇒x1+x2=8k24k2+3=1⇒
k=±32，
∴ 2x2−2x−3=0,x1+x2=1，x1x2=−32，
由题意得|AB|=1+k2|x1−x2|
=1+k2x1−x22=72．
【答案】
解：(1)当a=1时，fx=x−1x−2lnx，
f′(x)=x2−2x+1x2，
f′2=14，f2=2−12−2ln2=32−2ln2，
故fx在x=2处的切线方程为y−32−2ln2=14x−2，
化简得x−4y+4−8ln2=0 .
(2)f′x=a1+1x2−2x=ax2−2x+ax2，
若fx存在两个极值点x1,x2，
则x1,x2是方程ax2−2x+a=0的两不同根，
故a>0,Δ=4−4a2>0,⇒a>0,−1故a∈0,1 .
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
根与系数的关系
利用导数研究函数的极值
【解析】

【解答】
解：(1)当a=1时，fx=x−1x−2lnx，
f′(x)=x2−2x+1x2，
f′2=14，f2=2−12−2ln2=32−2ln2，
故fx在x=2处的切线方程为y−32−2ln2=14x−2，
化简得x−4y+4−8ln2=0 .
(2)f′x=a1+1x2−2x=ax2−2x+ax2，
若fx存在两个极值点x1,x2，
则x1,x2是方程ax2−2x+a=0的两不同根，
故a>0,Δ=4−4a2>0,⇒a>0,−1故a∈0,1 . 年级号x
1
2
3
4
5
近视率y
0.05
0.09
0.16
0.20
0.25