2020-2021学年河南省许昌高二（下）5月月考数学（文）试卷人教A版

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这是一份2020-2021学年河南省许昌高二（下）5月月考数学（文）试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A=−2,−1,0,1,2,B=x|−2A.−1,0B.0,1
C.x|−2
2. 若复数z=1+i4−i，则z=（）
A.−116+i16B.317−5i17C.−215+i15D.114−3i14

3. 函数y=lg2(x2−x−6)的定义域为（）
A.(−2, 3)B.(−3, 2)
C.(−∞, −3)∪(2, +∞)D.(−∞, −2)∪(3, +∞)

4. 若在△ABC中，AB→⋅AC→|AC→|=AB→⋅AC→|AB→|，且|AB→|=2,|AC→|=6，则△ABC的面积为（）
A.6B.8C.12D.20

5. 已知tanα2=20<α<π，则sin2α=（）
A.2425B.1516C.−1516D.−2425

6. 中国古代数学专著《算法统宗》中有这样的记载：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋—册四人呼，周易五人读一本．意思为：现有《毛诗》、《春秋》、《周易》3种书共94册，若干人读这些书，要求每个人都要读到这3种书，若3人共读一本《毛诗》，4人共读一本《春秋》，5人共读一本《周易》，则刚好没有剩余．现要用分层抽样的方法从中抽取47册，则要从《毛诗》中抽取的册数为（）
A.12B.14C.18D.20

7. 在圆x2+y2=16内随机取一点P，则点P落在不等式组 x+y−4≤0,x−y+4≥0,y≥0 表示的区域内的概率为（）
A.14πB.34πC.1πD.43π

8. 已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，A=120∘,2b=a+c，且a−b=4，则b=( )
A.6B.10C.12D.16

9. 已知函数fx=x1+x2的定义域为[2,+∞），则不等式fx2+2>fx2−2x+8的解集为（）
A.[52,4）B.[2,3）C.−∞,3D.3,+∞

10. 已知函数fx=sinωx+φω>0,0<φ<π2的相邻的两个零点之间的距离是π6，且直线x=π18是fx图象的一条对称轴，则fπ12=( )
A.−32B.−12C.12D.32

11. 已知过点M4,0的直线l与抛物线Ω:y2=2x交于A，B两点，|BF|=52（F为抛物线Ω的焦点），则|AB|=( )
A.63B.62C.6D.42

12. 已知函数fx=ax−bx2+ca≠0是定义在R上的奇函数，x=1是fx的一个极大值点，且f1=1，则fx=（）
A.2xx2+1B.3xx2+2C.−xx2−2D.2x−1x2
二、填空题

已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，点a,b在直线y=2x上，则双曲线C的离心率为________.

若命题“∃x0∈R，使得x02−4x0+2a<0”为假命题，则实数a的取值范围为________.

如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为52的正方形，AC∩BD=O，且PA⊥平面ABCD，M是棱PC上的动点，若OM的最小值为4，则当OM取得最小值时，四棱锥M−ABCD的体积为________.

已知直线l:ax+y−4=0a∈R是圆C:x2+y2−2x−6y+1=0的对称轴．过点A−4,a作圆C的一条切线，切点为B，有下列结论：
①a=1
②|AB|=25
③切线AB的斜率为5+354或5−354
④对任意的实数m，直线y=mx−m+1与圆C的位置关系都是相交．
其中所有正确结论的序号为________.
三、解答题

某小区准备在小区广场安装运动器材，为了解男女业主对安装运动器材的意愿情况，随机对该小区100名业主做了调查，得到如下2×2列联表：

(1)判断能否有95%的把握认为“是否愿意安装运动器材与业主性别有关”；

(2)从不愿意安装运动器材的业主中按性别用分层抽样的方法抽取5人，了解不愿意安装运动器材的原因，再从这5人中选2人参观其他小区的运动场所，求这2人中恰好有1人为女业主的概率．
参考公式：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d .
参考数据：

已知数列an的前n项和Sn=2an−2 .
(1)求an的通项公式；

(2)若数列bn的前n项和为Tn，且bn=an+1lg2an⋅lg2an+1，证明：Tn>−1 .

如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是面积为23的等边三角形，BB1=3，点M，N分别为线段AC，A1C1的中点，点P是线段CC1上靠近C的三等分点．

(1)求证：BP⊥NP；

(2)求点M到平面BNP的距离．

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的一个顶点恰好是抛物线x2=43y的焦点，椭圆C的离心率为22．
(1)求椭圆C的标准方程；

(2)从椭圆C在第一象限内的部分上取横坐标为2的点P，若椭圆C上有两个点A，B使得∠APB的平分线垂直于坐标轴，且点B与点A的横坐标之差为83，求直线AP的方程．

已知函数fx=excsx．
(1)求fx的单调递减区间；

(2)若当x>0时，fx≥excsx−1+x2+a−1x+1恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数fx=|x+2|−|x−6| .
(1)解不等式fx<4；

(2)若不等式fx<2a恒成立，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省许昌市高二（下）5月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
直接利用交集运算即可.
【解答】
解：∵ A=−2,−1,0,1,2，B=x|−2则A∩B=−1,0.
故选A.
2.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的乘除运算
共轭复数
【解析】
无
【解答】
解：z=1+i4−i=(1+i)(4+i)17=317+5i17，
所以z=317−5i17．
故选B．
3.
【答案】
D
【考点】
对数函数的定义域
【解析】
根据对数函数的真数大于0，构造不等式，解得答案．
【解答】
解：由x2−x−6>0得：
x∈(−∞, −2)∪(3, +∞)，
故函数y=lg2(x2−x−6)的定义域为(−∞, −2)∪(3, +∞)，
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
向量在几何中的应用
三角形求面积
【解析】
利用向量数量积求得夹角，代入三角形面积公式求解即可
【解答】
解：由题意设AB→与AC→的夹角为θ0≤θ≤π，
则 AB→⋅AC→=AB→AC→csθ，
又∵ AB→⋅AC→AC→=AB→⋅AC→AB→，
故AB→csθ=AC→csθ，
又AB→=2，AC→=6，则4csθ=0，则 θ=π2，
故在△ABC中，∠BAC=π2，
则 S△ABC=12AB⋅AC=6.
故选A.
5.
【答案】
D
【考点】
同角三角函数间的基本关系
二倍角的正切公式
二倍角的正弦公式
【解析】
利用二倍角的正切求得tanα，再利用sin2α=2sinαcsα=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanαtan2α+1即可求解.
【解答】
解：tanα=tan2×α2=2tanα21−tan2α2
=2×21−22=−43，
∴ sin2α=2sinαcsα=2sinαcsαsin2α+cs2α
=2tanαtan2α+1=2×−43−432+1=−2425.
故选D.
6.
【答案】
D
【考点】
分层抽样方法
【解析】
先列式求得学生人数，再利用分层抽样原则求解即可
【解答】
解：设这群学生有x名，
则x3+x4+x5=94 ，解得x=120，
则《毛诗》有 120÷3=40
抽取比例为 4794=12 ，
故《毛诗》中抽取的册数为40×12=20册.
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
简单线性规划
【解析】
由题意画出图形，分别求出三角形的面积与阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案．
【解答】
解：如图，图中阴影部分为不等式组表示区域，
圆的面积 S=πr2=π⋅42=16π，
阴影部分面积S阴=4×8×12=16，
P=S阴S=1616π=1π .
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
余弦定理
余弦定理的应用
【解析】
利用余弦定理以及题目条件关系即可求解
【解答】
解：∵ 2b=a+c ，A=120∘，
∴a=2b−c，
csA=b2+c2−a22bc
=b2+c2−4b2−4bc+c22bc
=−3b2+4bc2bc
=−3b+4c2c=−12，
∴ c=35b.
∵a−b=4 ，
∴ a=b+4，
则有：2b−c=b+4，即b−c=4，
即b−35b=4，解得b=10.
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数证明不等式
【解析】
通过判断函数单调性，去掉不等式的“f”，即可求解.
【解答】
解：∵ fx=x1+x2，x∈[2,+∞),
f′x=1−x21+x22在[2,+∞)上小于0恒成立，
即fx在[2,+∞)上单调递减，
则fx2+2>fx2−2x+8
即x2+2解得x<3.
故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
先由题意确定函数解析式，再求解即可.
【解答】
解：∵ 相邻两零点之的距离为π6，
∴T2=π6 ，∴ T=π3，
ω=2πT=6，
∴ fx=sin6x+φ，
又∵x=π18 是 fx 对称轴，
∴ 6×π18+φ=kπ+π2，k∈Z，
∴ φ=π6+kπ，k∈Z，
∵0<φ<π2，
∵φ=π6，
∴fx=sin6x+π6，
fπ12=sin23π=32.
故选D.
11.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
圆锥曲线的综合问题
抛物线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： F′是焦点F关于y轴的对称点．
B′是B到准线的垂足．连接BF，
则|BF|=52.
准线l为 x=−12， F12,0，
BB′=BF ，设B坐标为 xB,yB，
∴xB−−12=52⇒xB=2，
∴yB=2xB⇒yB=±2 ，则B坐标为 2,−2 ，
直线过 B2,−2和 M4,0，
∴kAB=0−−24−2=1 ，
设 lAB:y=x+m ，把B点坐标代入得 −2=2+m， m=−4 ，∴lAB:y=x−4 ，
联立y=x−4，y2=2x，
y2=2y+8⇒y2−2y−8=0，
∴yA+yB=2 .
∵yB=−2 ，
∵yA=4，
∴y2=2x⇒xA=8，
∴A 点坐标为(8,4)，B为 2,−2，
|AB|=8−22+4+22=62.
故选B.
12.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的性质
函数恒成立问题
利用导数研究函数的极值
导数的运算
【解析】
利用奇偶性以及极值关系列出关系式求解参数即可
【解答】
解：∵f1=1且fx为奇函数，
∴ f−1=−1，
代入a−b1+c=1，−a−b1+c=−1，
∴b=0，
∵fx=ax−bx2+c
⇒f′x=ac−x2x2+c2，
∵x=1是极大值点，
∴ f′1=0⇒⇒ac−121+c2=0，
∵ a≠0，∴ c−1=0解得c=1，
∴a−01+1=1⇒a=2，
∴ fx=2xx2+1.
故选A.
二、填空题
【答案】
5
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
利用双曲线中基本量的关系即可求解.
【解答】
解：由题意可得b=2a，
∴ e=ca=c2a2=1+b2a2=5.
故答案为：5.
【答案】
[2,+∞)
【考点】
命题的否定
函数恒成立问题
【解析】
将问题等价为：任意x∈R，使得x2−4x2a≥0成立，为真命题，再利用恒成立条件求解即可
【解答】
解：由题知，命题“存在x0∈R，使得x02−4x0+2a<0成立”为假命题，
则该命题的否定，任意x∈R，使得x2−4x+2a≥0成立，为真命题，
对于方程x2−4x+2a=0，
则有Δ=−42−4×1×2a=16−8a≤0，
即a≥2.
综上所述，实数a的取值范围为[2,+∞).
故答案为：[2,+∞).
【答案】
40
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
柱体、锥体、台体的体积
【解析】
找到OM最小时的位置，再利用体积公式求解.
【解答】
解：由题意当 OM⊥PC 时，OM 最小，
则在正方形ABCD中 BC=52，
则AC=AB2+BC2=10 ，
故 OC=5.
在Rt△OMC中 MC=OC2−OM2=52−42=3 ，
设点M到平面ABCD的距离为ℎ，则ℎ也为 △OMC中边OC上的高，
则∴S△OMC=12OM⋅MC=12⋅OC⋅ℎ，
即 12×4×3=12×5×ℎ，
解得ℎ=125，
正方形ABCD的面积为 S=522=50，
则 VM−ABCD=13Sℎ=13×50×125=40.
故答案为：40.
【答案】
①②④
【考点】
圆的切线方程
两点间的距离公式
直线的一般式方程
直线与圆的位置关系
【解析】

【解答】
解：C:x2+y2−2xx−6y+1=0化为(x−1)2+(y−3)2=9,
则C为(1,3)，半径为R=3，
∵l为圆C的对称轴，
∴l过C(1,3)．
将C(1,3)代入l得a=1．①对；
∵l：x+y−4=0，A(−4,1)，
|AC|=(1+4)2+(3−1)2=29，
则|AB|=AC2−R2=20=25，②对；
设AB斜率为k，
则AB：y=kx+4k+1化为kx−y+4k+1=0，
则C到AB的距离d=|5k−2|k2+1=R=3,
则解得k=5±358 ，③错；
y=mx−m+1．当x=1，y=1．则其恒过(1,1)，
代入到圆C：(1−1)2+(1−3)2=4<9，
∴(1,1)在圆C内，
无论m取何值，y=mx−m+1与圆C都相交，④对.
综上，答案为①②④.
故答案为：①②④.
三、解答题
【答案】
解：(1)由表中数据可得K2的观测值k=100×30×10−45×15245×55×75×25≈3.030<3.841，
∴ 没有95%的把握认为“是否愿意安装运动器材与业主性别有关”．
(2)不愿意安装运动器材的业主中，男业主与女业主的人数之比为3:2，
∴ 抽取的5人中男业主有3人，女业主有2人．
设这3名男业主分别为A，B，C，这2名女业主分别为a，b，
从5人中选2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种选法，
其中恰有1名女业主的选法有Aa，Ab，Ba，Bb．Ca，Cb，共6种，
∴ 所求概率为P=610=35．
【考点】
独立性检验
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由表中数据可得K2的观测值k=100×30×10−45×15245×55×75×25≈3.030<3.841，
∴ 没有95%的把握认为“是否愿意安装运动器材与业主性别有关”．
(2)不愿意安装运动器材的业主中，男业主与女业主的人数之比为3:2，
∴ 抽取的5人中男业主有3人，女业主有2人．
设这3名男业主分别为A，B，C，这2名女业主分别为a，b，
从5人中选2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种选法，
其中恰有1名女业主的选法有Aa，Ab，Ba，Bb．Ca，Cb，共6种，
∴ 所求概率为P=610=35．
【答案】
(1)解：由Sn=2an−2可得，
当n=1时，a1=S1=2a1−2，
得a1=2，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2an−2an−1，
即an=2an−1，
∴ 数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴ an=2n．
(2)证明：由(1)知lg2an=n，lg2an+1=n+1，
∴ bn=an+1lg2an⋅lg2an+1=2n+1nn+1=2n+1n−1n+1，
∴ Tn=b1+b2+b5+⋯+bn
=2+4+8+⋯+2n+1−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=2−2n+11−2+1−1n+1
=2n+1−1n+1−1，
显然n∈N∗时，2n+1−1n+1>0，
∴ Tn>−1．
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
无
无
【解答】
(1)解：由Sn=2an−2可得，
当n=1时，a1=S1=2a1−2，
得a1=2，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2an−2an−1，
即an=2an−1，
∴ 数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴ an=2n．
(2)证明：由(1)知lg2an=n，lg2an+1=n+1，
∴ bn=an+1lg2an⋅lg2an+1=2n+1nn+1=2n+1n−1n+1，
∴ Tn=b1+b2+b5+⋯+bn
=2+4+8+⋯+2n+1−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=2−2n+11−2+1−1n+1
=2n+1−1n+1−1，
显然n∈N∗时，2n+1−1n+1>0，
∴ Tn>−1．
【答案】
(1)证明：因为AA1平面ABC，所以AA1⊥BM .
因为△ABC为等边三角形，M为边AC的中点，所以BM⊥AC．
又AA1∩AC=A，故BM⊥平面ACC1，又NP⊂平面ACC1，，故BM⊥NP．
因为△ABC的面积为23，故AB=22 .
在△MNP中，MN=3,NP=6,MP=3 .
满足MN2=MP2+NP2，故NP⊥MP .
又BM∩MP=M，故NP⊥平面BMP .
又BP⊂平面BMP，故BP⊥NP．
(2)解：作MD⊥AP，垂足为D .
由(1)可得，平面BNP⊥平面BMP，
因为DM⊂平面BMP，平面BNP∩平面BMP=BP，故DM⊥平面BNP，
所以DM即为点M到平面BNP的距离．
在△BMP中，BM=6,MP=3,BP=3，
可知BM⊥MP，故BM=BM⋅MPBP=2，
即点M到平面BNP的距离为2．
【考点】
两条直线垂直的判定
点、线、面间的距离计算
【解析】
（1）因为AA1平面ABC，所以AA1⊥BM .
因为△ABC为等边三角形，M为边AC的中点，所以BM⊥AC．
又AA1∩AC=A，故BM⊥平面ACC1，又NPC⊂上面ACC1，，故BM⊥NP．
因为△ABC的面积为23，故AB=22 .
在△MNP中，MN=3,NP=6,MP=3 .
满足MN2=MP2+NP2，故NP⊥MP .
又BM∩MP=M，故NP平面BMP .
又BP⊂平面BMP．故BP⊥NP．
（2）如图，作MD⊥AP，垂足为D .
由（1）可加，平面BNP⊥平面BMP，
因为DM⊂平面BMP，平面BNP∩平面BMP=BP，故DM⊥平面BNP，
所以DM即为点M到平面BNP的面离．
在△BMP中，BM=6,MP=3,BP=3，
可知BM⊥MP，故BM=BM⋅MPBP=2，
即点A到平面BNP的距离为2．
【解答】
(1)证明：因为AA1平面ABC，所以AA1⊥BM .
因为△ABC为等边三角形，M为边AC的中点，所以BM⊥AC．
又AA1∩AC=A，故BM⊥平面ACC1，又NP⊂平面ACC1，，故BM⊥NP．
因为△ABC的面积为23，故AB=22 .
在△MNP中，MN=3,NP=6,MP=3 .
满足MN2=MP2+NP2，故NP⊥MP .
又BM∩MP=M，故NP⊥平面BMP .
又BP⊂平面BMP，故BP⊥NP．
(2)解：作MD⊥AP，垂足为D .
由(1)可得，平面BNP⊥平面BMP，
因为DM⊂平面BMP，平面BNP∩平面BMP=BP，故DM⊥平面BNP，
所以DM即为点M到平面BNP的距离．
在△BMP中，BM=6,MP=3,BP=3，
可知BM⊥MP，故BM=BM⋅MPBP=2，
即点M到平面BNP的距离为2．
【答案】
解：(1)由抛物线方程x2=43y可得其焦点为0,3，
则椭圆C的一个顶点为0,3，即b2=3 .
由e=ca=a2−b2a2=22．解得a2=6 ，
∴ 椭圆C的标准方程是x26+y23=1 .
(2)由题可知点P2,1 .
设直线AP的斜率为k，由题意知，直线BP的斜率为−k，
设Ax1,y1,Bx2,y2，直线AP的方程为y−1=kx−2，即y=kx+1−2k .
联立方程组y=kx+1−2k,x26+y23=1消去y得(2k2+1)x2+4k(1−2k)x+8k2−8k−4=0 .
∵ P,A为直线AP与椭圆C的交点，∴ 2x1=8k2−8k2−42k2+1，
即x1=4k2−4k−22k2+1 .
把k换为−k，得x2=4k2+4k−22k2+1 .
∴ x2−x1=8k2k2+1=83，解得k=1或k=12 .
当k=1时，直线BP的方程为y=3−x，经验证与椭圆C相切，不符合题意；
当k=12时，直线MP的方程为y=−12x+2，符合题意．
∴ 直线AP方程为y=12x .
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线的综合问题
【解析】
（1）由抛物线方程x2=43y可得其焦点为0,3，
则椭圆C的一个顶点为0,3，即b2=3 .
由=ca=a2a2=22．解得a2=6 .
∴ 椭圆C的标准方程是x26+y23=1 .
（2）由题可知点P2,1 .
设直线AP的斜率为k，由题意知，直线BP的斜率为−k，
设Ax1,y1,Bx2,y2，直线AP的方程为y−1=kx−2，即y=kx+1−2k .
联立方程组y=kx+1−2k,x26+y23=1.消去y得(2k2+1)x2+4k(1−2)x+8k2−8k−4=0 .
∵ P,A为直线AP与梯圆C的交点，∴ 2x1=8k2−8k2−42k2+1即x1=4k2−4k−22k2+1 .
把k换为−k，得x2=4k2+4k−22k2+1 .
∴ x2−x1=8k2k2+1=83，解得k=1或k=12 .
当k=1时，直线BP的方程为y=3−x，经验证与椭圆C相切，不符合题意；
当k=12时，直线MP的方程为y=−12x+2，符合题意．
∴ 直线AP方程为y=12x .
【解答】
解：(1)由抛物线方程x2=43y可得其焦点为0,3，
则椭圆C的一个顶点为0,3，即b2=3 .
由e=ca=a2−b2a2=22．解得a2=6 ，
∴ 椭圆C的标准方程是x26+y23=1 .
(2)由题可知点P2,1 .
设直线AP的斜率为k，由题意知，直线BP的斜率为−k，
设Ax1,y1,Bx2,y2，直线AP的方程为y−1=kx−2，即y=kx+1−2k .
联立方程组y=kx+1−2k,x26+y23=1消去y得(2k2+1)x2+4k(1−2k)x+8k2−8k−4=0 .
∵ P,A为直线AP与椭圆C的交点，∴ 2x1=8k2−8k2−42k2+1，
即x1=4k2−4k−22k2+1 .
把k换为−k，得x2=4k2+4k−22k2+1 .
∴ x2−x1=8k2k2+1=83，解得k=1或k=12 .
当k=1时，直线BP的方程为y=3−x，经验证与椭圆C相切，不符合题意；
当k=12时，直线MP的方程为y=−12x+2，符合题意．
∴ 直线AP方程为y=12x .
【答案】
解：(1)由题可知f′x=excsx−exsinx=−2exsinx−π4 .
令f′x<0,得sinx−π4>0，从而2kπ+π4∴fx的单调递减区间为2kπ+π4,2kπ+54,k∈Z .
(2)由fx≥excsx−1+x2+a−1x+1可得ax≤ex−x2+x−1，
即当x>0时，a≤exx−x−1x+1恒成立．
设ℎx=exx−x−1x+1x>0，
则ℎ′x=e′x−1−x2+1x2=x−1ex−x−1x2 .
令φx=ex−x−1，则当x∈0,+∞时,φ′x=ex−1>0．
∴ 当x∈0,+∞时，φx单调递增，φx>φ0=0，
则当x∈0,1时，ℎ′x<0,ℎx单调递碱；
当x∈1,+∞时，ℎ′x>0,ℎx单调递增，
∴ ℎx=ℎ1=e−1，
∴ a∈−∞,e−1 .
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
（1）由题可知f′x=excsx−exsinx=−2exsinx−π4 .
令f′x<0,得x−π4>0，从而2kπ+π4∴fx的单调递减区间为2kπ+π4,2kπ+54,k∈Z .
（2）由fx≥extx−1+x2+a−1x+1可得ax=ex−x2+x−1，
即当x>0时，a≤exx−x−1x+1恒成立．
设ℎx=exx=x−1x+1x>0，则ℎ′x=e′x−1−x2+1x2=x−1ex−x−1x2=1 .
令φx=ex−x−1，则当x∈0,+∞时,g′x=ex−1>0．
∴ 当x∈0,+∞时，φx单调递增，φx>φ0=0，
则当x∈0,1时，ℎ′x<0,ℎx单调递碱；
当x∈1,+∞时，ℎ′x>0,ℎx单调递增．
∴ ℎx=ℎ1=e−1，
∴ a∈−∞,e−1 .
【解答】
解：(1)由题可知f′x=excsx−exsinx=−2exsinx−π4 .
令f′x<0,得sinx−π4>0，从而2kπ+π4∴fx的单调递减区间为2kπ+π4,2kπ+54,k∈Z .
(2)由fx≥excsx−1+x2+a−1x+1可得ax≤ex−x2+x−1，
即当x>0时，a≤exx−x−1x+1恒成立．
设ℎx=exx−x−1x+1x>0，
则ℎ′x=e′x−1−x2+1x2=x−1ex−x−1x2 .
令φx=ex−x−1，则当x∈0,+∞时,φ′x=ex−1>0．
∴ 当x∈0,+∞时，φx单调递增，φx>φ0=0，
则当x∈0,1时，ℎ′x<0,ℎx单调递碱；
当x∈1,+∞时，ℎ′x>0,ℎx单调递增，
∴ ℎx=ℎ1=e−1，
∴ a∈−∞,e−1 .
【答案】
解：(1)由题可知 fx=−8,x≤−2,2x−4,−26,，
由于当x≤−2时，不等式fx<4恒成立，
当−2当x>6时，不等式不成立，
所以所求不等式的解集为{x|x<4} .
(2)由(1)可知fxmax=8，
要使fx<2恒成立，则需8<2x，
所以a>3，即a的取值范围为(3,+∞) .
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
函数恒成立问题
【解析】
（1）由题可知 fx=−8,x≤−2,2x−4,−26,，
由于当x≤−2时，不等式fx<4恒成立，
当−2当x≥6时，不等式不成立，
所以所求不等式的解集为{x|x<4} .
（2）由（1）可知fxmax=8，
要使fx<2恒成立，则需8<2x，
所以a＞3，即a的取值范围为(3,+∞) .
【解答】
解：(1)由题可知 fx=−8,x≤−2,2x−4,−26,，
由于当x≤−2时，不等式fx<4恒成立，
当−2当x>6时，不等式不成立，
所以所求不等式的解集为{x|x<4} .
(2)由(1)可知fxmax=8，
要使fx<2恒成立，则需8<2x，
所以a>3，即a的取值范围为(3,+∞) . 愿意
不愿意
合计
男业主
30
15
45
女业主
45
10
55
合计
75
25
100
PK2≥k0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828