2020-2021学年2 三角形的外角和与外角和课时练习

9.1.2三角形的内角和与外角和同步练习华师大版初中数学七年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 的三个内角，，满足关系式，则此三角形

A. 一定是直角三角形 B. 一定是钝角三角形
C. 一定有一个内角为 D. 一定有一个内角为

2. 如图，，，，则的度数为     

A.
B.
C.
D.

3. 如图，在中，、的三等分线交于点E、D，若，则的度数为   

A.
B.
C.
D.

4. 在下列条件中：，：：：2：3，，，中，能确定是直角三角形的条件有

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

5. 如图，已知直线，将一块含角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中斜边AC与直线m交于点若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，把纸片沿DE折叠，当点A在四边形BCDE的外部时，记为，为，则关于，与的数量关系，下列结论正确的是．

A.
B.
C.
D.
 

7. 如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在外的点处，折痕为如果，，，那么下列式子中正确的是   

A.
B.
C.
D.
 

8. 将一副三角板按如图方式重叠，则的度数为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，中，，沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若，则等于

A.  B.  C.  D.

10. 如图，AB和CD相交于点O，则下列结论不正确的是

A.  B.
C.  D.

11. 将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：
    将DA沿DP向内折叠，使点A落在点处，
    将DP沿向内继续折叠，使点P落在点处，折痕与边AB交于点M．
    若，则的大小是

A.  B.  C.  D.

12. 在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，把纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，则A、、之间的关系为_______________________________．
14. 如图所示，，则的度数为          ．
    
    
    
    
     

15. 当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为______．
16. 如图，中，，，P是AC上一动点，交AB于D，将沿PD折叠，点A落在点E处，若是直角三角形，则____________________．

17. 如图，AE是的角平分线，于点D，若，，则__________度．

18. 如图，在中，，AD平分，交BC于D，，交AC于点E，则的大小是______．
     

三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）

19. 如图，在中，AD是高，，AE是外角的平分线，BF平分交AE于点F，若，求的度数．

20. 如图，在中，，，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分，交AD于点E．
    求：的度数；
    的度数．

21. 已知：如图1，在中，CD是AB边上的高，．
    试说明；
    如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点那么与的大小相等吗？请说明理由．

22. 已知，如图，在中，，AD，AE分别是的高和角平分线．
    
    若，，试确定的度数；
    试写出，，的数量关系，并证明你的结论．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在中，CD是高，BE，CF是角平分线，它们相交于点P，，求：的度数；若，求的度数．
    
     

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：
又，
，
，
一定有一个内角是，
故选：C．
利用三角形内角和定理以及已知条件求出即可．
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

2.【答案】C
 

【解析】略
 

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握角平分线的定义及整体思想的运用．根据E可求得EBCECB，再利用角平分线定义求出DBCDCB即可解决问题．

【解答】

解：E，

EBCECB，
、的三等分线交于点E、D，

DBCEBC，DCBECB，

DBCDCB，

BDCDBCDCB，

故选A．

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形内角和定理的应用和直角三角形的判定，能求出每种情况的的度数是解此题的关键，题目比较好，难度适中，根据三角形的内角和定理得出，再根据已知的条件逐个求出的度数，即可得出答案．
【解答】
解：，，
，
，
是直角三角形；
：：：2：3，，
，
是直角三角形；
，
，
，
，
是直角三角形；
，
，
，
，
，
，
是直角三角形；
，
且，
，
，，，
不是直角三角形．
故选C．  

5.【答案】C
 

【解析】解：如图所示：设BC与直线m交于点E，

则，
又，
，
故选：C．
设BC与m的交点为E，根据三角形的外角性质可得，再根据平行线的性质可知．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．
 

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查的是图形翻折变换的性质及三角形外角的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．先根据图形翻折变换的性质得出，再根据三角形外角的性质进行解答即可．

【解答】
解：如图，

是翻折变换而成，
，
是的外角，
，
是的外角，
，即．
故选B．

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，折叠的性质，关键是熟练掌握折叠的性质先根据折叠的性质得出角的相等关系，然后根据三角形的外角性质进行计算即可．
【解答】
 

解：由折叠的性质得，
，，
，
，，，
．
故选A．

8.【答案】C
 

【解析】解：根据三角板的度数知，，，
，
故选：C．
直接利用一副三角板的内角度数，再结合三角形外角的性质得出答案．
此题主要考查了三角形的外角以及三角尺的特征，正确利用三角形外角的性质是解题关键．
 

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】
此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理，此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
由中，，，可求得的度数，由折叠的性质可得在中，由三角形内角和定理即可求出的度数．
【解答】
解：因为中，，，
所以．
因为沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，
所以，
所以．
故选D．  

10.【答案】B
 

【解析】解：A、与互为对顶角，，故本选项不符合题意；
B、，，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，，，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据对顶角相等和三角形外角的性质即可确定答案．
本题主要考查了对顶角的性质，三角形的外角性质，熟记相关知识点的解答本题的关键．
 

11.【答案】C
 

【解析】解：折叠，且，
，即，
由折叠可知，
在中，，
故选：C．
由折叠前后对应角相等且可先求出，进一步求出，再由折叠可求出，最后在中由三角形内角和定理即可求解．
此题主要考查了平行线的性质，本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对应边相等，对应角相等即可解题．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：由，则，由，得，故A不符合题意．
B.由，则，由，得，故B不符合题意．
C.由于D，则，无法证得三角形内角和是，故C符合题意．
D.由，得，由，得，，那么由，得，故C不符合题意．
故选：C．
本题运用转化的思想以及平角的定义解决此题．
本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了折叠的性质和三角形的内角和定理的应用，关键是得出等式，，根据折叠得出，，求出，，推出，，在中，，代入求出即可．
【解答】
解：延长BD和CE交于，如图，

把沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部，
，，
，，
，，
在中，，
，
即．
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】略
 

15.【答案】或
 

【解析】解：当的角是另一个内角的3倍时，最小角为，
当的角是另一个内角的3倍时，最小角为，
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为或．
故答案为：或．
根据三角形内角和等于，如果一个“梦想三角形”有一个角为，可得另两个角的和为，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为，，由此比较得出答案即可．
此题考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是解决问题的关键．
 

16.【答案】或
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，轴对称的性质，由题意分两种情况考虑：和，利用三角形的外角性质，和轴对称的性质求解即可．
【解答】
解：当时，如图，

，，沿PD将折叠，
，
，
，，
；
当时，如图，

，，沿PD将折叠，
，
，
或．
故答案为或．  

17.【答案】10
 

【解析】

【分析】

本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念并准确识图，判断出是解题的关键根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据代入数据计算即可得解．

【解答】

解：是的角平分线，
，
，
，
．
故答案为10．

18.【答案】
 

【解析】解：在中，，
，
是的角平分线，
，
，
，
故答案为．
根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，根据平行线的性质得出即可．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：两直线平行，内错角相等．
 

19.【答案】解：是高，
，
，又，
，
，
是外角的平分线，
，
平分，
，
．
 

【解析】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
根据直角三角形的性质求出的度数，得到的度数，根据邻补角的性质求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，根据三角形的外角的性质计算即可．
 

20.【答案】解：，，，
．

，
，
，CE平分，
，
．
 

【解析】利用三角形的外角的性质求解即可．
求出，，利用三角形的外角的性质求解即可．
本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：是AB边上的高，
，
，
，
；

解：，
理由是：平分，
，
，，，
，
，
．
 

【解析】根据高定义求出，根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可；
根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理求出，根据对顶角相等求出即可．
本题考查了角平分线的定义，高的定义，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．
 

22.【答案】解：，，
，
又是的角平分线，
，
是的高，
，
则，
，
理由如下：是的高，
，
，
是的角平分线，
，

，
，
，
，
．
 

【解析】在三角形ABC中，由与的度数求出的度数，根据AE为角平分线求出的度数，再根据直角三角形的锐角互余求出，即可求出的度数；
仿照得出与、、的数量关系即可．
此题考查了三角形内角和定理，以及三角形的高线，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解本题的关键．
 

23.【答案】解：，CF是角平分线
，



；

在中，CD是高，
，




是角平分线

．
 

【解析】本题考查了三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
求出，得出，即可解答
根据三角形的内角和定理得出，，即可解答．