高中人教版 (2019)1 功与功率第二课时学案

8.1功率（第二课时）

【学习目标】

1.理解功率的概念，能运用功率的定义式P＝进行有关的计算.

2.理解额定功率和实际功率，了解平均功率和瞬时功率的含义.

3.根据功率的定义导出P＝Fv，会分析P、F、v三者的关系.

【知识要点】

一、恒力做功的计算

恒力做功的流程图：

二 、功率（P）

1.物理意义：反映物体做功的快慢。

2.定义：功跟完成这些功所用时间的比值，叫做功率。

3.公式： P＝或P＝F.

4.单位：瓦特（国际单位制中）,简称瓦，符号是W，1W＝1J/s。常用单位：千瓦（kW），1kW＝1000W。

5.功率是标量。

6.额定功率：是指机器正常工作时的最大输出功率，也就是机器铭牌上的标称值。

7.实际功率：是指机器在工作中实际输出的功率。

注：机器不一定在额定功率下工作，机器正常工作时，实际功率总是小于或等于额定功率，机器只能在短时间内使实际功率略大于额定功率，不允许长时间超过额定功率工作。

三、摩擦力做功的特点与计算

1．不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力都可以是动力也可以是阻力，也可能与位移方向垂直，所以不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力既可以对物体做正功，也可以对物体做负功，还可能不对物体做功．

(1)静摩擦力做功：若物体在倾斜的传送带上随传送带一起向上运动，静摩擦力做正功，若随传送带一起向下运动，静摩擦力做负功；在粗糙的水平圆盘上的物体随圆盘做圆周运动时，静摩擦力提供向心力，不做功．

(2)滑动摩擦力做功：如图所示，当将物体轻轻放在运动的传送带上时，滑动摩擦力对物体做正功；当传送带不动，物体冲上传送带时，滑动摩擦力对物体做负功；当物体在地面上滑动时，地面受到的滑动摩擦力不做功．

2．一对相互作用的静摩擦力等大反向且物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由w＝Fxcos α可判断两个相互作用的静摩擦力做功的总和为零．

3．一对相互作用的滑动摩擦力等大反向但物体之间相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W＝Fxcosα可判断两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零．

四、机车的两种启动方式

1.第一种情况：汽车以恒定功率启动：

注：机车以恒定功率启动的v-t图像如下所示：先做加速度逐渐减小的变加速直线运动，最终以最大速度 做匀速直线运动。

2.   第二种情况：汽车以恒定加速度启动：

注：机车以恒定加速度启动的v－t图像如图所示:先做匀加速直线运动，再做加速度逐渐减小的变加速直线运动，最终以最大速度做匀速直线运动。

特别注明：机车启动问题的两点注意

(1)公式P=Fv中F为机车的牵引力，而不是合外力。

(2)以恒定加速度启动时，匀加速运动结束时的速度不是整个过程中的最大速度。

【题型分类】

题型一、恒力做功的计算

例1　如图1甲所示，在风洞实验室里，一根足够长的细杆水平固定，某金属小球穿在细杆上静止于细杆左端，现有水平向右的风力F作用于小球上，风力F随时间t变化的F－t图像如图乙所示，小球沿细杆运动的v－t图像如图丙所示，取g＝10 m/s2，试求：在0～5 s内风力所做的功．

图1

解析　由题图丙可知0～2 s为加速阶段，

a＝＝ m/s2＝1 m/s2

0～2 s内的位移：x1＝at＝×1×4 m＝2 m，

2 s～5 s内的位移：x2＝vt2＝2×3 m＝6 m，

则风力做功为

W＝F1x1＋F2x2＝18 J.

答案　18 J

【同类练习】

1.一质量为1kg的物体被人用手由静止向上提高1m，这时物体的速度是2m/s，（g取10m/s2）求：

(1)物体克服重力做功.  

(2)合外力对物体做功.   

(3)手对物体做功.

【答案】（1）10J   （2）2J   （3）12J

【解析】

(1)克服重力做功为：W=mgh=1×10×1J=10J

(2)合外力对物体做功为：W= −0=×1×22−0=2J

(3)根据动能定理得：W−mgh=−0，

解得手对物体做功为：W=mgh+=12J．

二、摩擦力做功的特点与计算

例2如图所示，表面粗糙的小车足够长，小车放在光滑的水平地面上，一木块以一定速度由小车左端滑上小车，当小车与木块相对静止时，木块相对小车的位移为d，小车相对地面的位移为l，木块与小车间的滑动摩擦力为Ff，求：

(1)滑动摩擦力对木块做的功；

 (2)滑动摩擦力对小车做的功；

(3)两滑动摩擦力做功之和；

【答案】(1)－Ff(d＋l) (2)Ffl(3)－Ffd  (4) －Ffd   Ffd

【解析】

(1) 由题意知木块的位移x＝l＋d，所以滑动摩擦力对木块做的功，所以

W木＝－Ff(d＋l)；

(2) 滑动摩擦力对小车做的功

W车＝Ffl

(3) 两滑动摩擦力做功之和

W＝W木＋W车＝－Ffd

【同类练习】

1.如图所示，质量为32kg的车静止在水平地面上，现用与水平方向成37°角的拉力F，拉车行走40m，已知拉力F的大小是300N，地面对车施加的水平阻力f是200N，试求：

（1）在拉车行走40m的过程中，拉力F和阻力f分别对车做的功；

（2）在拉车行走40m的过程中，拉力F的平均功率；（不考虑空气对车的阻力，已知，，）

【答案】（1）9600 J、-8000 J（2）1200 W.

【解析】

（1）拉力做功的大小为：

阻力做功为：

（2）根据牛顿第二定律得：

解得：

根据得

则拉力的平均功率：

.

题型三、功率的计算

例3从空中以40 m/s的初速度平抛一重为10 N的物体，物体在空中运动 3 s落地，不计空气阻力，g取10 m/s2，则物体落地前瞬间，重力的瞬时功率为(　　)

A．300 W B．400 W

C．500 W D．700 W

【答案】A

【解析】：物体落地时竖直分速度vy＝gt＝30 m/s，重物落地时重力的瞬时功率P＝mgv cosθ＝mgvy，代入数据得P＝300 W，故A正确。

例4据报道：我国一家厂商制作了一种特殊的手机，在电池电能耗尽时，摇晃手机如图所示，即可产生电能维持通话，摇晃手机的过程是将机械能转化为电能，如果将该手机摇晃一次，相当于将100 g的重物举高20 cm，若每秒摇两次，则摇晃手机的平均功率为(g取10 m/s2)(　　)

A．0.04 W　 B．0.4 W　

C．4 W　 D．40 W

【答案】B

【解析】：手机摇晃一次做的功W＝mgh＝0.2 J，所以摇晃两次对手机做的功为0.4 J，所以平均功率的大小＝＝ W＝0.4 W，故B项正确。

【同类练习】

1．一只花盆从10楼(距地面高度约为h＝30 m)的窗台上不慎掉落，忽略空气阻力(将花盆的运动简化为自由落体运动)。已知花盆的质量m＝2 kg，重力加速度g取10 m/s2，求：

(1)在花盆下落到地面的过程中，重力对花盆做的功W；

(2)花盆下落2 s末时重力的瞬时功率；

(3)花盆下落第2 s内重力的平均功率。

【答案】：(1)600 J　(2)400 W　(3)300 W

【解析】：(1)WG＝mgh＝20×30 J＝600 J

(2)P＝mg·v＝mg2t＝400 W

(3)＝＝＝ W＝300 W

题型四、机车启动问题

例5一辆重5 t的汽车，发动机的额定功率为80 kW。汽车从静止开始以加速度a＝1 m/s2做匀加速直线运动，车受的阻力为车重的0.06倍。(g取10 m/s2)求：

(1)汽车做匀加速直线运动的最长时间；

(2)汽车开始运动后，5 s末和15 s末的瞬时功率。

【答案】　(1)10 s  　(2)40 kW  　80 kW

【解析】(1)设汽车匀加速运动所能达到的最大速度为v0，此时汽车输出功率达到额定功率P额＝Fv0，

对汽车由牛顿第二定律得F－Ff＝ma

又Ff＝0.06mg

联立并代入数据得v0＝10 m/s，

所以汽车做匀加速直线运动的时间

t0＝＝ s＝10 s。

 (2)由于10 s末汽车达到了额定功率，5 s末汽车还处于匀加速运动阶段，

P＝Fv＝(Ff＋ma)at＝(0.06×5×103×10＋5×103×1)×1×5 W＝40 kW

 15 s末汽车已经达到了额定功率P额＝80 kW。

【同类练习】

1.质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为时，汽车的瞬时加速度的大小为(　　)

A．                    B．                   C．            D．

【答案】　B

【解析】　当汽车以最大速度匀速行驶时，有f＝F＝，根据P＝F′·，得F′＝，由牛顿第二定律得a＝＝＝，故B正确。

2．如图所示，汽车停在缓坡上，要求驾驶员在保证汽车不后退的前提下向上启动，这就是汽车驾驶中的“坡道起步”。驾驶员的正确操作是将变速杆挂入低速挡，徐徐踩下加速踏板，然后慢慢松开离合器，同时松开手刹，汽车慢慢启动。下列说法正确的是(　　)

A．变速杆挂入低速挡，是为了能够提供较大的牵引力

B．变速杆挂入低速挡，是为了增大汽车的输出功率

C． 徐徐踩下加速踏板，是为了让牵引力对汽车做更多的功

D．徐徐踩下加速踏板，是为了让汽车的输出功率保持为额定功率

【答案】A

【解析】：根据P＝Fv可知挂入低速挡是为了增大牵引力，A正确B错误；徐徐踩下加速踏板是为了保持F恒定使车匀加速运动，C、D错误；故选A。

【成果巩固训练】

1.关于功率，下列说法中正确的是(　　)

A．根据P＝可知，机械做功越多，其功率就越大

B．根据P＝Fv可知，汽车的牵引力一定与其速度成反比

C．根据P＝可知，只要知道时间t内所做的功，就可知任意时刻的功率

D．根据P＝Fv可知，发动机的功率一定时， 交通工具的牵引力与运动速度成反比

【答案】D

【解析】：由P＝可知，在时间t一定的情况下，机械做功越多，其功率就越大，选项A错误；根据P＝Fv可知，在发动机的输出功率P一定的情况下，汽车的牵引力与其速度成反比，选项B错误，D正确；功W与一段运动过程相对应，故利用P＝计算出的是时间t内力对物体做功的平均功率，选项C错误。

2.如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知，(g取10 m/s2)(　　)

A．物体加速度大小为2 m/s2                                     B．4 s末F的功率大小为42 W

C．F的大小为21 N                                D．4 s内F做功的平均功率为42 W

【答案】B

【解析】：由速度－时间图像可得加速度a＝0.5 m/s2，由牛顿第二定律：2F－mg＝ma

F＝＝10.5 N，P＝F·2v＝10.5×2×2 W＝42 W，＝＝＝ W＝21 W。

3.假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率，如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，则摩托艇的最大速率变为原来的(　　)

A．4倍   B．2倍 

C．倍   D．倍

【答案】　D

【解析】　由P＝Fv＝fv＝kv·v＝kv2知，P变为原来的2倍时，v变为原来的倍，D正确。

3.(多选)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v－t图像如图所示。已知汽车的质量为m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍(取g＝10 m/s2)则(　　)

A．汽车在前5 s内的牵引力为4×103N                     B．汽车在前5 s内的牵引力为6×103N

C．汽车的额定功率为60 kW                              D．汽车的最大速度为30 m/s

【答案】BCD

【解析】：f＝kmg＝2×103 N，前5 s内a＝＝2 m/s2由F－f＝ma得F＝f＋ma＝6×103 N，故A错B对；P额＝Fv＝6×103×10 W＝60 kW，C对；vmax＝＝30 m/s，D对。

4．一只苹果从楼上某一高度自由下落，苹果在空中依次经过三个完全相同的窗户1、2、3。图中直线为苹果在空中的运动轨迹。若不计空气阻力的影响，以下说法正确的是(　　)

A．苹果通过第三个窗户所用的时间最长             B．苹果通过第一个窗户的平均速度最大

C．苹果通过第三个窗户重力做的功最多             D．苹果通过第一个窗户重力做功的平均功率最小

【答案】D

【解析】：由于自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，由公式v＝gt可知，速度越来越大，由平均速度公式＝可知，苹果通过第一个窗户的平均速度最小，通过第一个窗户所用时间最长，故A、B错误；由功的定义式可知，苹果通过三个窗户的过程中重力做的功相等，故C错误；由平均功率公式＝Fv可知，苹果通过第一个窗户的过程中重力做功的平均功率P＝mgv最小，故D正确。

5．列车提速的一个关键技术问题是提高机车发动机的功率。已知匀速运动时，列车所受阻力与速度的平方成正比，即f＝kv2。设提速前匀速运动速度为80 km/h，提速后匀速运动速度为120 km/h，则提速前与提速后机车发动机的功率之比为(　　)

A．                      　B．　                  C．　                     D．

【答案】C

【解析】：根据P＝Fv，F＝f＝kv2，得＝＝，故选项C正确。

6.一辆轿车在平直公路上运行，启动阶段轿车牵引力保持不变，而后以额定功率继续行驶，经过时间t0，其速度由零增大到最大值vm。若轿车所受的阻力f为恒力，关于轿车的速度v、牵引力F、功率P随时间t变化的情况，下列选项正确的是(　　)

【答案】BCD

【解析】：轿车以恒定的牵引力F启动，由a＝得，轿车先做匀加速运动，由P＝Fv知，轿车的输出功率均匀增加，当功率达到额定功率时，牵引力逐渐减小，加速度逐渐减小，轿车做加速度逐渐减小的加速运动，当F＝f时，速度达到最大，之后轿车做匀速运动，B、C、D正确，A错误。

7.如图所示，分别用力 F1、F2、F3 将质量为 m 的物体由静止沿同一固定斜面以相同的加速度从斜面底端拉到斜面的顶端，物体与斜面的动摩擦因数相同，在此过程中，F1、F2、F3 做功W1、W2、W3 的大小及功率P1、P2、P3大小关系是(　　)

A．W1>W2>W3 B．W2>W1>W3

C．P3>P1>P2 D．P1>P2>P3

【答案】B

【解析】：对物体受力分析知，物体所受摩擦力f2>f1>f3，因加速度相同，拉力沿位移方向的分量Fb>Fa>Fc，故有W2>W1>W3，所以A错，B对。由题意知物体到达斜面顶端所用时间相等，根据P＝知P2>P1>P3，故C、D错误。

8.一个小孩站在船头，按如图所示的两种情况用同样大小的力拉绳。若经过相同的时间t(船未碰撞)，小孩所做的功分别为W1、W2，在时间t内小孩拉绳的平均功率分别为P1、P2，则(　　)

A．W1>W2，P1＝P2 B．W1＝W2，P1＝P2

C．W1<W2，P1<P2 D．W1<W2，P1＝P2

【答案】C

【解析】：第一种情况，小孩的脚对他所站的船做功，同时绳对小孩的拉力对小孩也做功；第二种情况下，除上述功外，小孩对另一小船又多做了一部分功，所以W1<W2；P1＝，P2＝，故P1<P2，则C正确。

9.图示为修建高层建筑常有的塔式起重机。在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做v m＝1.02 m/s的匀速运动。取g＝10 m/s2，不计额外功。求：

(1)起重机允许输出的最大功率。

(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率。

【答案】：(1)5.1×104 W　(2)5 s　2.04×104 W

【解析】：(1)设起重机允许输出的最大功率为P0，重物达到最大速度时，拉力F0等于重力。

P0＝F0v m

P0＝mgv m 

代入数据，有：P0＝5.1×104 W 

(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历时间为t1，有：

P0＝Fv1 

F－mg＝ma 

v1＝at1 

由③④⑤⑥，代入数据，得：t1＝5 s 

t＝2 s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v2，输出功率为P，则

v2＝at 

P＝Fv2 

由⑤⑧⑨，代入数据，得：P＝2.04×104 W

10.动车组是城际间实现小编组、大密度的高效运输工具，以其编组灵活、方便、快捷、安全、可靠、舒适等特点而备受世界各国铁路运输和城市轨道交通运输的青睐。几节自带动力的车厢加几节不带动力的车厢编成一组，就是动车组。假设有一动车组由六节车厢连接而成，每节车厢的总质量均为m＝8×104 kg。其中第一节、第二节带动力，他们的额定功率分别是P1＝2×107 W和P2＝1×107 W(第一节车厢达到额定功率后，如功率不够用启动第二节车厢)，车在行驶过程中阻力恒为重力的0.1倍。(g＝10 m/s2)

(1)求该动车组的最大行驶速度；

(2)若列车以1 m/s2的加速度匀加速启动，求t＝10 s时，第一节和第二节车厢之间拉力的值。

【答案】　(1)62.5 m/s　(2)8×105 N

【解析】　(1)当前两节车厢都输出额定功率且总牵引力等于总阻力时，动车组速度最大，P1＋P2＝fvm

f＝0.1×6mg

联立解得vm＝62.5 m/s。

(2)当t＝10 s时，v1＝at＝10 m/s。

假设只有第一节车厢提供动力，输出功率P：－f＝6ma，

得P＝9.6×106 W<P1，故假设成立，即t＝10 s时只有第一节车厢提供动力，对后五节车厢由牛顿第二定律得

F－f2＝5ma

f2＝0.1×5mg

解得：F＝8×105 N。