人教版新课标B必修22.3.1圆的标准方程教学设计

《圆的标准方程》

一．教学目标：

1.掌握圆的标准方程及其特点，能根据圆心坐标、半径熟练地写

出圆的标准方程；能从圆的标准方程中熟练地求出它的圆心坐标、半径；

2.会根据不同的已知条件，利用待定系数法建立圆的标准方程；

3．能运用圆的标准方程解决一些实际问题

二．教学重点：根据条件求出圆的标准方程

三．教学难点：运用圆的标准方程解决一些实际问题

四．教学过程：

（一）复习引入：

1．圆的定义；

2．提出问题：根据圆的定义，怎样求出圆心是，半径是的圆的方程？

（二）新课讲解：

1．圆的标准方程 （由学生推导）

设是圆上任意一点，由点到圆心的距离等于，

得：，

两边平方得：．

此方程即为圆心是，半径是的圆的方程。我们把它叫做圆的标准方程．

说明：（1）圆的标准方程由圆心和半径确定，已知圆心坐标和半径就可写出圆的

标准方程；由圆的标准方程也可直接得到圆心坐标和半径；

     （2）如果圆心在原点，那么圆的方程就是．

（三）例题分析：

例1．求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。

（学生思考后口答或板演）

解：由题意：圆的半径，

又圆心为，∴所求的圆的方程为．

例2．一圆过原点和点，圆心在直线上，求此圆的方程。

（学生思考、探索不同解法）

解法一：∵圆心在直线上， ∴设圆心坐标为，

  则圆的方程为，

∵点和在圆上，

∴，解得，

所以，所求的圆的方程为．

解法二：由题意：圆的弦的斜率为，中点坐标为，

  ∴弦的垂直平分线方程为，即，

  ∵圆心在直线上，且圆心在弦的垂直平分线上，

  ∴由解得，即圆心坐标为，

  又∵圆的半径，

所以，所求的圆的方程为．

说明：（1）圆的标准方程中有三个量，要求圆的标准方程即要求三个

量，有时可用待定系数法；

     （2）要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用

例3．如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度，拱高

，在建造时每隔需用一个支柱支撑，求支柱的长度

（精确到）．

解：建立坐标系如图，圆心在轴上，由题意：，

，

  设圆的方程为，∵点和

在圆上，

  ∴，解得：，

∴这个圆的方程是，

设点，由题意，代入圆方程得：，

解得，

答：支柱的长度约为．

五．课堂练习：课本练习1，2．

六．小结：

1．圆的标准方程；

2．圆的标准方程中有三个量，要求圆的标准方程，需有三个独立条件．

3．求圆的标准方程常用待定系数法。

八．作业：第1，2，4题，

补充：求经过点，圆心在直线上，且和直线相切的

圆的标准方程．