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    高中人教版新课标A2.3 直线、平面垂直的判定及其性质教案

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    这是一份高中人教版新课标A2.3 直线、平面垂直的判定及其性质教案,共8页。

    33 直线的交点坐标与距离公式

    3.3.1 两条直线的交点坐标

    3.3.2 两点间的距离公式

    Q

    小华以马路上的电线杆为起点,先向东走了5 m,然后又向西走了8 m,那么小华现在的位置离电线杆多远?对于这类问题,我们可以建立一个直线坐标系,确定出正、负方向,用向量的方式来解决.

    X

    1两条直线的交点坐标

    (1)求法:两直线方程联立组成方程组,此方程组的解就是这两条直线的交点坐标,因此解方程组即可.

    (2)应用:可以利用两直线的__交点个数__判断两直线的位置关系.

    一般地,将直线l1A1xB1yC10和直线l2A2xB2yC20的方程联立,得方程组

    当方程组__有唯一__解时,l1l2相交,方程组的解就是交点坐标;

    当方程组____解时,l1l2平行;

    当方程组__有无数组__解时,l1l2重合.

    2两点间的距离公式

    两点P1(x1y1)P2(x2y2)间的距离公式|P1P2|____

    3坐标法

    (1)定义:通过建立平面直角坐标系,用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法.

    (2)步骤:建立__坐标系__,用坐标表示有关的量:进行有关代数运算;把代数运算结果翻译成几何关系.

    Y

    1.两条直线l12xy10l2x3y110的交点坐标为( B )

    A(32)        B(23)

    C(2,-3)  D(3,-2)

    [解析] 解方程组,得.故选B

    2.已知M(21)N(15),则|MN|__5__.

    [解析] |MN|5

    3求经过两条直线2x3y30xy20的交点且与直线3xy10平行的直线l的方程.

    [解析] 由方程组,解得

    所求直线l和直线3xy10平行

    直线l的斜率k=-3,根据点斜式可得y()=-3[x()]

    即所求直线方程为15x5y160

    4直线l经过原点,且经过另两条直线2x3y80xy10的交点,则直线l的方程为( B )

    A2xy0  B2xy0

    Cx2y0  Dx2y0

    [解析] 解法1:由

    解得

    kl2.l的方程为y22(x1),即2xy0

    解法2:设l2x3y8λ(xy1)0

    l过原点

    8λ0λ8l方程为2xy0

    H

    命题方向1 两直线的交点问题

    典例1 判断下列各对直线的位置关系,若相交,求出交点坐标:

    (1)l12xy30l2x2y10

    (2)l1xy20l22x2y30

    (3)l1xy10l22x2y20

    [思路分析] 题中给出了两条直线的方程,要判断它们的位置关系,只需看它们组成的方程组的解的个数.

    [解析] (1)解方程组,得,所以直线l1l2相交,交点坐标为(1,-1)

    (2)解方程组×210,矛盾,方程组无解.

    所以直线l1l2无公共点,即l1l2

    (3)解方程组×22x2y20,因此,可以化为同一个方程,即表示同一条直线.所以两直线重合.

     

    『规律方法』 两条直线相交的判定方法:

    (1)两直线方程组成的方程组只有一组解,则两直线相交;

    (2)在两直线斜率都存在的情况下,若斜率不相等,则两直线相交.

    〔跟踪练习1 

    (1)已知直线l13x4y50l23x5y60相交,则它们的交点坐标为( C )

    A(1)    B(1)

    C(1)  D(1,-)

    (2)若两直线l1xmy120l22x3ym0的交点在y轴上,则m的值为( C )

    A6  B.-24

    C±6  D.以上都不对

    [解析] (1)联立方程组

    解得,故交点为(1)

    (2)分别令x0,求得两直线与y轴的交点分别为:-和-

    由题意得-=-

    解得m±6.

    命题方向2 平面上两点间的距离

    典例2 已知A(a3)B(33a3)的距离为5,求a的值.

    [思路分析] 利用两点间距离公式列方程解得a的值.

    [解析] |AB|5

    5a23a80a=-1a

     

    『规律方法』 两点间的距离公式|P1P2|与两点的先后顺序无关,利用此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进行研究.我们求线段的长度时,常常使用两点间的距离公式.

    〔跟踪练习2 

    已知点A(36),在x轴上的点P与点A的距离等于10,则点P的坐标为__(50)(110)__

    [解析] 设点P的坐标为(x0),由|PA|10

    10

    解得x11x=-5

    P的坐标为(50)(110)

    典例3 已知ABC的三个顶点坐标是A(1,-1)B(13)C(30).

    (1)判定ABC的形状;

    (2)ABC的面积.

    [解析] (1)如图,ABC可能为直角三角形,下面进行验证

    解法一:|AB|2

    |AC|

    |BC|5

    |AB|2|AC|2|BC|2

    ABC是以A为直角顶点的直角三角形.

    解法二:kAB=-2kAC

    kAB·kAC=-1

    ABAC

    ∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.

    (2)∵∠A90°

    SABC|AB|·|AC|5

     

    『规律方法』 三角形形状的判定方法:

    (1)判断三角形的形状,要采用数形结合的方法,大致明确三角形的形状,以确定思考的方向.

    (2)在分析三角形的形状时,要从两个方面来考虑,一是考虑角的特征;二是考虑三角形边的长度特征.

    〔跟踪练习3 

    已知点A(12)B(34)C(50)ABC的形状为( C )

    A.等边三角形     B.直角三角形

    C.等腰三角形  D.等腰直角三角形

    [解析] |AB|2

    |AC|2

    |BC|2

    |AC||BC|

    ABC三点不共线,∴△ABC为等腰三角形.

    Y  因考虑问题不全面而致误

    典例4 若三条直线l1axy10l2xay10l3xya0共有三个不同的交点,则a的取值范围为( D )

    Aa±1      Ba1a2

    Ca2  Da±1a2

    [错解] A或选B

    [错因分析] 在解题过程中,若由处得a1a2,错选B,原因在于考虑问题不全面,只考虑三条直线相交于一点而忽视了任意两条平行或重合的情况.

    处得a±1,错选A,只考虑了三条直线斜率不相等的条件,忽视三条直线相交于一点的情况.

    [解析] 因为三条直线有三个不同的交点,需三条直线两两相交且不共点,由条件不易直接求参数,可考虑从反面着手求解.

    (1)若三条直线交于一点,由

    解得,将l2l3的交点(a11)代入l1的方程解得a1a=-2.

    (2)l1l2,由a×a1×10,解a±1

    a1时,l1l2重合.

    (3)l2l3,则由1×1a×10,解得a1

    a1l2l3重合.

    (4)l1l3,则a×11×10a1

    a1时,l1l3重合.

    综上,当a1时,三条直线重合;当a=-1时,l1l2

    a=-2时,三条直线交于一点

    所以要使三条直线共有三个交点,需a±1a2

    [正解] D

    〔跟踪练习4 

    若三条直线l14xy40l2mxy10l3xy10不能围成三角形,求m的值.

    [错解] 当三条直线中至少有两条平行时,三条直线不能围成三角形.显然l1l3不平行.当l1l2时,m4;当l2l3时,m=-1

    [错因分析] 错解直接认为只有当存在两条直线平行时,不能构成三角形,而忽略了三线共点时也不能构成三角形,此时只需求出两条直线的交点坐标,同时满足第三条直线即可.

    [正解] 显然l1l3不平行,当l1l2l2l3时,不能构成三角形,此时对应m的值分别为m4m=-1;当直线l1l2l3经过同一个点时,也不能构成三角形,由得,代入l2的方程,得-m10m1

    综上可得m4或-11

    [警示] 解决三条直线不能围成三角形的问题时,除了三条直线中至少有两条平行外,还要注意三线共点这一特殊情况.

    X  

    直经方程的设法技巧与直线系方程

    直线方程中含有参数时,由于参数的变化,方程表示不同的直线,当参数取遍所有实数时,方程表示一族平行或过定点的直线.

    (1)已知lykxb,与l平行的直线方程设为ykxb1;与l垂直的直线方程设为y=-xb1(k0)

    (2)已知lAxByc0,与l平行的直线方程设为AxByC10,与l垂直的直线方程设为BxAyC20

    (3)过定点P(x0y0)的直线方程(斜率存在时)可设为yy0k(xx0)

    (4)x轴交于点(x00)的直线方程可设为xmyx0

    (5)若直线l1A1xB1yC10l2A2xB2yC20l1l2相交于点P,则过点P的直线方程设为A1xB1yC1λ(A2xB2yC2)0(不包括l2)

    (6)斜率为k的直线方程设为ykxb

    典例5 已知直线l1x2y30l22x3y80.求经过l1l2的交点且与已知直线3x4y20平行的直线l的方程.

    [思路分析] 可先求l1l2的交点,再求过交点与已知直线平行的直线,也可以先写出所求直线的直线系方程,再利用平行条件确定参数的值.

    [解析] 解法一:解方程组:,得x1y2l1l2的交点为(12)

    直线l过点(12)且与直线3x4y20平行

    设方程为3x4yc0,把(12)代入得:c=-11

    所求方程为:3x4y110

    解法二:ll1l2的交点,l的方程为x2y3λ(2x3y8)0

    (2λ1)x(3λ2)y(38λ)0

    l与直线3x4y20平行

    λ10

    l的方程为x2y310(2x3y8)0,即3x4y110

    〔跟踪练习5 

    求过两直线3x4y202xy20的交点且垂直于直线6x7y30的直线方程.

    [解析] 解法一:设过两直线交点的直线方程为3x4y2λ(2xy2)0

    整理为一般式,得(32λ)x(4λ)y22λ0,其斜率为-.而直线6x7y30的斜率为,由垂直条件可得×()=-1,解得λ2

    故所求直线方程为(32×2)x(42)y22×20,即7x6y20

    解法二:将两直线方程联立得解得即两直线的交点坐标为(22)

    由于所求直线与直线6x7y30垂直,故设所求直线的方程为7x6ym0.而此直线过点(22),所以7×(2)6×2m0,所以m2

    故所求的直线方程为7x6y20

    K

    1.直线l13x4y20l22xy20相交,则交点是( B )

    A(2,-2)  B(22) 

    C(21)  D(12)

    [解析] 由方程组

    解得,即l1l2的交点坐标为(22)

    2已知点A(2k,-1)B(k1),且|AB|,则实数k等于( A )

    A±3      B3    

    C.-3      D0

    [解析] 由题意得

    解得k±3

    3ABC三个顶点的坐标分别为A(4,-4)B(22)C(4,-2),则三角形AB边上的中线长为( A )

    A  B

    C  D

    [解析] AB的中点D的坐标为D(1,-1)

    |CD|

    故选A

    4不论λ取何值,直线(2λ)x(12λ)y43λ0过定点__(1,-2)__.

    [解析] 把直线方程整理为2xy4λ(x2y3)0,解方程组,得,所以,不论λ取何值,直线(2λ)x(12λ)y43λ0过定点(1,-2)

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