高中数学人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质教学设计及反思

2.2.3　直线与平面平行的性质

Q

将一本书打开，扣在桌面上，使书脊所在的直线与桌面平行，观察过书脊的每页纸和桌面的交线与书脊的位置．

X

直线与平面平行的性质定理

Y

1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有(　C　)

A．0条　　　　　　　　　 B．1条

C．0或1条  D．无数条

[解析]　a∥α，在平面α内，n条相交直线中与直线a平行的直可能有1条，也可能没有．

2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c…，那么这些交线的位置关系为(　A　)

A．都平行

B．都相交且一定交于同一点

C．都相交但不一定交于同一点

D．都平行或交于同一点

[解析]　因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥，…，故选A．

3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于____.

[解析]　本题考查线面平行．

∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC．又∵E是AD的中点，

∴EF＝AC＝．

4．如图所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D．求证：AC＝BD．

[解析]　如图所示，连接CD，

∵AC∥BD，

∴AC与BD确定一个平面β，

又∵AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，

∴AB∥CD．

∴四边形ABDC是平行四边形．∴AC＝BD．

H

命题方向1　⇨线面平行的性质定理

典例1 求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.

[思路分析]　如何将线面平行转化为线线平行是本题关键．

[解析]　已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β．

求证：a∥l．

证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，

∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.则b∥c．

又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l．

『规律方法』　(1)已知线面平行，一般直接考虑用性质，利用构造法找或作出经过直线的平面与已知平面相交得交线．

(2)要证线线平行，可把它们转化为线面平行．

〔跟踪练习1〕 

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB的中点，过A，N，D三点的平面交PC于点M，求证：AD ∥MN．

[解析]　∵ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，又BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，

∴AD∥平面PBC，

又AD⊂平面ADMN，平面PBC∩平面ADMN＝MN，

∴AD∥MN.

命题方向2　⇨直线与平面平行的性质定理的应用

典例2 如右图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，如何作出过点A1，B，C1的平面与平面ABC的交线？并说明理由.

[思路分析]　要作两平面的交线，只需两平面的两个公共点，而题目中只有一个公共点B，所以要利用线面平行的性质定理作出来，然后证明．

[解析]　在平面ABC中，过点B作直线l，使l∥AC，则l即为平面BA1C1与平面ABC的交线．

证明如下：

在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC，AC⊂平面ABC，A1C1⊄平面ABC

∴A1C1∥平面ABC．

又A1C1⊂平面A1BC1，平面A1BC1∩平面ABC＝l

∴A1C1∥l．

又∵直线l过点B，且l⊂平面ABC．

根据线面平行的性质定理，l即为所求．

〔跟踪练习2〕 

如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．

[解析]　直线l∥平面PAC，证明如下：

因为E，F分别是PA，PC的中点，

所以EF∥AC．

又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，

所以EF∥平面ABC．

而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，

所以EF∥l．

因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，

所以l∥平面PAC．

Y 　考虑问题不全面导致漏解

典例3 已知BC∥平面α，D在线段BC上，A∉α，直线AB，AC，AD分别交α于点E，G，F，且BC＝a，AD＝b，DF＝c，求EG的长.

[错解]　如图，AB∩AC＝A，由AB，AC确定平面β，所以BC⊂β，α∩β＝EG.因为BC∥平面α，所以BC∥GE．

在△AEG中，＝＝，

所以＝，即＝．

所以EG＝．

[错因分析]　点A的位置有三种情况：BC在A与α之间；A在BC与α之间；α在A与BC之间，错解中只考虑了第一种情况．

[正解]　(1)当BC位于点A与平面α之间时，同错解．

(2)当点A在BC与平面α之间时，如图①，因为BC∥平面α

同理有BC∥EG，＝，

即＝，所以EG＝．

(3)当点A和BC位于平面α两侧时，如图②．

同理有BC∥EG，＝，即＝，

∴EG＝．

综上所述，EG的长为或或．

[警示]　对空间中点，线，面的位置关系可能出现的各种情况要考虑全面，以免漏解．

〔跟踪练习3〕 

如右图所示，已知异面直线AB，CD都平行于平面α，且AB，CD在α的两侧，若AC，BD分别与α相交于M，N两点，求证：＝．

[错解]　连接MN.因为AB∥α，CD∥α，所以AB∥CD∥MN，所以＝．

[错因分析]　盲目将a∥b，b∥c⇒a∥c，迁移到线面平行关系中来，错误的由AB∥α，CD∥α，得出AB∥MN∥CD．

而事实上条件中，AB与CD是“异面直线”．

[正解]　如图所示，连接AD，交平面α于点P，连接PM，PN．

因为CD∥α，平面ACD∩α＝PM，

所以CD∥PM，所以在△ACD中，有＝．

同理，在△DAB中，有＝，所以＝．

[警示]　(1)平面几何中的有关结论，在空间中未经证明不能随便应用．

(2)线面，面面位置关系的一些类比结论，需考虑其正确性，未经证明不可随便应用．

X 　转化思想在立体几何线线与线面平行中的应用

线线平行与线面平行可以相互转化：

要证线面平行，可在平面内找(或作)出一条与已知直线平行的直线，作图的依据是线面平行的性质定理；

已知线面平行，可直接找(或作)出经过已知直线且与已知平面平行的平面，则两平面的交线与已知直线平行，因此，线面平行的性质定理是解题思考的突破口．

典例4 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.

[思路分析]　由三棱柱的性质知，BF∥平面ACC1A1，平面BMF与平面ACC1A1有一个公共点M，故必有一条与BF平行的交线，则过M在平面ACC1A1内作．MN∥CE，交AE于点N，则FN为平面BMF与平面AEF的交线，若BM∥平面AEF，则BM∥FN，从而四边形BMNF应为平行四边形，由EC＝2FB＝2MN，可知M必为AC的中点．

[解析]　M为AC的中点：

证明如下：取AE中点N，则MN∥CE∥BF，且MN＝CE＝BF，

∴四边形BMNF为平行四边形，

∴BM∥NF．

∵BM⊄平面AEF，

NF⊂平面AEF，

∴BM∥平面AEF.

〔跟踪练习4〕 

如图所示，P为▱ABCD所在平面外一点，点M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．

(1)求证：BC∥l；

(2)MN与平面PAD是否平行？证明你的结论．

[解析]　(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD．又因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD．又因为平面PBC∩平面PAD＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l．

(2)MN∥平面PAD．

证明如下：如右图所示，取PD的中点E，连接NE，AE，所以NE∥CD，NE＝CD．

而CD∥AB，CD＝AB，M为AB的中点，所以NE∥AM，NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形

所以MN∥AE.又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD．

K

1．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　B　)

A．GH∥SA

B．GH∥SD

C．GH∥SC

D．以上均有可能

[解析]　∵GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SAD＝SD，∴GH∥SD．

2．对于直线m，n和平面α，下面叙述正确的是(　C　)

A．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥α

B．如果m⊂α，n与α相交，那么m，n是异面直线

C．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥n

D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n

3．已知异面直线l，m，且l∥平面α，m⊂平面α，l⊂平面β，α∩β＝n，则直线m，n的位置关系是__相交__.

[解析]　由于l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝n，则l∥n.又直线l，m异面，则直线m，n相交．

4．如右图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.

求证：四边形BCFE是梯形．

[解析]　∵四边形ABCD为矩形，

∴BC∥AD，

∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，

∴BC∥平面PAD．

∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，

∴BC∥EF．

∵AD＝BC，AD≠EF，

∴BC≠EF，

∴四边形BCFE是梯形．