九年级上册数学月考训练题（一）

这是一份九年级上册数学月考训练题（一），共16页。试卷主要包含了下列方程中，一元二次方程共有个，若实数x满足方程等内容，欢迎下载使用。
姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________
一．选择题（共6小题）
1．下列方程中，一元二次方程共有（ ）个．
①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0；③+3x﹣5＝0；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2+y2＝2；
⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2．
A．1B．2C．3D．4
2．下列函数：（1）y＝3x2﹣+1；（2）y＝；（3）y＝1﹣x2；（4）y＝ax2+bx+c；（5）y＝+x；（6）y＝x2﹣（x﹣1）x．属于二次函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图在同一个坐标系中函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象可能的是（ ）
A．B．C．D．
4．若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（ ）
A．﹣2或4B．4C．﹣2D．2或﹣4
5．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
6．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，则设道路的宽为xm，根据题意，列方程（ ）
A．32×20﹣20x﹣30x＝540
B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540
D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540
二．填空题（共6小题）
7．已知m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则代数式2m2﹣3m﹣n的值等于 ．
8．将抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的一般式为 ．
9．将抛物线y＝（x+3）2﹣1沿x轴翻折，所得到的抛物线解析式是 ．
10．已知二次函数y＝（x﹣m）2+1，当x＜1时，y随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的m的值是 ．
11．如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．
现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为 ．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a+b+c＜0；③4a+b＝0；④若点（1，y1）和（3，y2）在该图象上，则y1＝y2，其中正确的结论是 （填序号）．

三．解答题（共12小题）
13．选择适当方法解一元二次方程：
（1）（x﹣5）2﹣36＝0； （2）2x2+4x﹣5＝0．

（2x﹣5）2＝9 （4）x2﹣4x＝96
（5）3x2+5x﹣2＝0 （6）2（x﹣3）2＝﹣x（3﹣x）
14．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，当k＝2时，求x12+x22的值．
15．已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边长是方程（x2﹣2x）﹣5（x﹣2）＝0的根，求△ABC的周长．
16．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．

17．新冠疫情结束后，旅游市场全面复苏．“清新闽东北、健康武夷山”区域旅游吸引了大量中外游客前来参观，如果游客过多，对进景区的游客健康检查、拥堵等问题会产生不利影响，但也要保证一定的门票收入，因此景区采取了涨浮门票价格的方法来控制旅游人数，在该方法实施过程中发现：每周旅游人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这种情况下，如果要保证每周3000万元的门票收入，那么每周应限定旅游人数是多少人？门票价格应是多少元？


18．已知抛物线y＝x2﹣2kx+3k+4．
（1）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值；
（2）若x＞1时，y随x的增大而增大，求k的取值范围．
19．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，
连接BD，求BD的长．



20．画出二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
（2）与y轴的交点坐标为 ；
（3）当x 时，y随x的增大而增大．当x 时，y随x的增大而减小．
（4）当0≤x＜2时，函数y的取值为 ；
（5）当0＜y＜3时，自变量x的取值为 ．


21．某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？年收益是多少万元？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的收益为275万元？（收益＝租金﹣各种费用）
22．（1）根据要求，解答下列问题：
①方程x2﹣2x+1＝0的解为 ；
②方程x2﹣3x+2＝0的解为 ；
③方程x2﹣4x+3＝0的解为 ；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣10x+9＝0的解为 ；
②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n；
请用配方法解方程x2﹣10x+9＝0，以验证猜想结论的正确性．
23．如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求S△CAB；
（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）设点Q是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q，使S△QAB＝S△CAB，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

九年级上册数学月考训练题（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．下列方程中，一元二次方程共有（ ）个．
①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0；③+3x﹣5＝0；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2+y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2．
A．1B．2C．3D．4
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
【解答】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
②ax2+bx+c＝0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
③+3x﹣5＝0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程．
综上所述，一元二次方程共有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．下列函数：（1）y＝3x2﹣+1；（2）y＝；（3）y＝1﹣x2；（4）y＝ax2+bx+c；（5）y＝+x；（6）y＝x2﹣（x﹣1）x．属于二次函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，根据二次函数的定义作出判断．
【解答】解：由题可得，属于二次函数的为：（2）y＝；（3）y＝1﹣x2；共2个，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的定义．一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
3．如图在同一个坐标系中函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象可能的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分两种情况进行讨论：k＞0与k＜0进行讨论即可．
【解答】解：当k＞0时，函数y＝kx﹣2的图象经过一、三、四象限；函数y＝kx2的开口向上，对称轴在y轴上；
当k＜0时，函数y＝kx﹣2的图象经过二、三、四象限；函数y＝kx2的开口向下，对称轴在y轴上，故C正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系以及一次函数的图象，是基础知识要熟练掌握．
4．若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（ ）
A．﹣2或4B．4C．﹣2D．2或﹣4
【分析】设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，求出y，即可得出选项．
【解答】解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，
解得：y＝4或﹣2，
当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，
当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程无解，舍去，
所以x2+2x＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程，解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
5．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：B．
【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
6．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，则设道路的宽为xm，根据题意，列方程（ ）
A．32×20﹣20x﹣30x＝540
B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540
D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540
【分析】设道路的宽为x，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程（32﹣x）（20﹣x）＝540．
【解答】解：设道路的宽为x，根据题意得（32﹣x）（20﹣x）＝540．
故选：C．
【点评】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题）
7．已知m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则代数式2m2﹣3m﹣n的值等于 3 ．
【分析】由m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根知m+n＝1，m2﹣m＝2，代入到原式＝2（m2﹣m）﹣（m+n）计算可得．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，
∴m+n＝1，m2﹣m＝2，
则原式＝2（m2﹣m）﹣（m+n）
＝2×2﹣1
＝4﹣1
＝3，
故答案为：3
【点评】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．
8．将抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的一般式为 y＝﹣x2﹣2x﹣2 ．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位长度得到抛物线y＝﹣（x+1）2+1，
再向下平移2个单位得到抛物线y＝﹣（x+1）2+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2﹣1＝﹣x2﹣2x﹣2．
故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
9．将抛物线y＝（x+3）2﹣1沿x轴翻折，所得到的抛物线解析式是 y＝﹣（x+3）2+1 ．
【分析】根据关于x翻折后点的坐标变化是横坐标不变，纵坐标互为相反数，从而可以得到翻折后的函数解析式．
【解答】解：抛物线y＝（x+3）2﹣1沿x轴翻折，所得到的抛物线解析式是；﹣y＝（x+3）2﹣1，
整理，得
y＝﹣（x+3）2+1，
故答案为：y＝﹣（x+3）2+1．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确沿x轴翻折后的x、y的变化情况．
10．已知二次函数y＝（x﹣m）2+1，当x＜1时，y随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的m的值是 m＝2 ．
【分析】根据二次函数的对称性及在对称轴两侧的增减变化规律可得答案．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣m）2+1的对称轴为x＝m，当x＜1时，y随着x的增大而减小
∴当m≥1时都符合要求，故可取m＝2
故答案为：m＝2
【点评】本题考查了二次函数的对称性及二次函数在对称轴两侧的增减变化趋势，本题属于基础题型，难度不大．
11．如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．
现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为 y＝（x﹣5）2﹣1 ．
【分析】设将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y＝（x﹣1﹣m）2﹣1，然后将（3，3）代入得到关于m的方程，通过解方程求得m的值即可．
【解答】解：设将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y＝（x﹣1﹣m）2﹣1，
将（3，3）代入，得（3﹣1﹣m）2﹣1＝3．
整理，得2﹣m＝±2
解得m1＝0（舍去），m2＝4．
故新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣5）2﹣1．
故答案是：y＝（x﹣5）2﹣1．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数关系式，解题的关键是理解“平衡点”的含义．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a+b+c＜0；③4a+b＝0；④若点（1，y1）和（3，y2）在该图象上，则y1＝y2，其中正确的结论是 ②③④ （填序号）．
【分析】抛物线经过原点推出c＝0，根据x＝1时，y＜0，可以判定②正确，根据对称轴公式，可得③正确，根据对称性，可知点（1，y1）和（3，y2）关于对称轴对称，推出y1＝y2，可得④正确．
【解答】解：观察图象可知c＝0，
∴abc＝0，故①错误，
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故②，
∵对称轴x＝﹣＝2，
∴4a+b＝0．故③正确，
∵点（1，y1）和（3，y2）关于对称轴对称，
∴y1＝y2，故④正确，
故答案为②③④．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三．解答题（共12小题）
13．选择适当方法解一元二次方程：
（1）（x﹣5）2﹣36＝0；
（2）2x2+4x﹣5＝0．
【分析】（1）因式分解法求解．
（2）用公式法解方程．
【解答】解：（1）原方程化为：（x﹣5）2＝62．
∴x﹣5＝±＝±6．
∴x1＝﹣1或x2＝11．
（2）∵a＝2，b＝4，c＝﹣5．
△＝42﹣4×2×（﹣5）＝56．
由求根公式x＝得：
x＝．
∴x1＝或x2＝．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特征选择适当的解法是求解本题的关键．
（3）（2x﹣5）2＝9
（4）x2﹣4x＝96
（5）3x2+5x﹣2＝0
（6）2（x﹣3）2＝﹣x（3﹣x）
【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用十字相乘法解方程；
（3）利用十字相乘法解方程；
（4）利用提公因式法解方程．
【解答】解：（1）（2x﹣5）2＝9
2x﹣5＝±3
2x＝±3+5
x1＝4，x2＝1；
（2）x2﹣4x＝96
x2﹣4x﹣96＝0
（x+8）（x﹣12）＝0
x+8＝0或x﹣12＝0
x1＝﹣8，x2＝12；
（3）3x2+5x﹣2＝0
（x+2）（3x﹣1）＝0
x+2＝0或3x﹣1＝0
x1＝﹣2，x2＝；
（4）2（x﹣3）2＝﹣x（3﹣x）
2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0
（x﹣3）（2x﹣6﹣x）＝0
x﹣3＝0，x﹣6＝0
x1＝3，x2＝6．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握十字相乘法、提公因式法解方程的一般步骤是解题的关键．
15．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，当k＝2时，求x12+x22的值．
【分析】（1）由方程根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
（2）由根与系数的关系，可求x1+x2＝﹣3，x1x2＝4，代入求值即可．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即（2k+1）2﹣4k2＝4k+1＞0，解得k＞﹣；
（2）当k＝2时，方程为x2+5x+4＝0，
∵x1+x2＝﹣5，x1x2＝4，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝25﹣8＝17．
【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．
16．已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边长是方程（x2﹣2x）﹣5（x﹣2）＝0的根，求△ABC的周长．
【分析】先求得方程的根，再根据三角形三边关系判断出第三边的长，可求得三角形的周长．
【解答】解：解方程（x2﹣2x）﹣5（x﹣2）＝0可得x＝2或x＝5，
∴△ABC的第三边为2或5，
但当第三边为5时，2+3＝5，不满足三角形三边关系，
∴△ABC的第三边长为2，
∴△ABC的周长为2+2+3＝7．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解均满足该方程的解析式．
17．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
【分析】设这个最小数为x，则最大数为（x+8），根据最小数与最大数的乘积为65，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这个最小数为x，则最大数为（x+8），
依题意得：x（x+8）＝65，
整理得：x2+8x﹣65＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
答：这个最小数为5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．新冠疫情结束后，旅游市场全面复苏．“清新闽东北、健康武夷山”区域旅游吸引了大量中外游客前来参观，如果游客过多，对进景区的游客健康检查、拥堵等问题会产生不利影响，但也要保证一定的门票收入，因此景区采取了涨浮门票价格的方法来控制旅游人数，在该方法实施过程中发现：每周旅游人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这种情况下，如果要保证每周3000万元的门票收入，那么每周应限定旅游人数是多少人？门票价格应是多少元？
【分析】可先用待定系数法求出参观人数和票价的函数关系式，然后根据参观人数×票价＝40000元，来求出自变量的值．
【解答】解：设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y＝kx+b，
把（150，25）（200，20）代入y＝kx+b中得，
解得，
∴y＝﹣0.1x+40，
根据确保每周4万元的门票收入，得xy＝3000，
即x（﹣0.1x+40）＝3000，
x2﹣400x+3000＝0，
解得x1＝100，x2＝300，
把x1＝100，x2＝300分别代入y＝﹣0.1x+40中，
得y1＝30，y2＝10，
因为控制参观人数，所以取x＝300，y＝10，
答：每周应限定参观人数是10万人，门票价格应是300元/人．
【点评】此题考查了一次函数的应用级一元二次方程的应用、一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值还必须使实际问题有意义．
19．已知抛物线y＝x2﹣2kx+3k+4．
（1）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值；
（2）若x＞1时，y随x的增大而增大，求k的取值范围．
【分析】（1）根据顶点在x轴上，所以抛物线与x轴只有1个交点，据此求出即可；
（2）根据二次函数的性质，对称轴的右侧y随x的增大而增大，可得不等式，解不等式，可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（3k+4）＝4k2﹣12k﹣16＝0，
解得k＝4或﹣1；
（2）由x＞1时，y随x的增大而增大，得﹣≤1，
解得k≤1，
若x＞1时，y随x的增大而增大，k的取值范围是k≤1．
【点评】此题主要考查了二次函数图象和系数的关系，（1）利用二次函数图象顶点在x轴上，则抛物线与x轴只有1个交点；（2）利用对称轴的右侧y随x的增大而增大得出不等式是解题关键．
20．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由二次函数的性质可得出点D、E的坐标，进而可得出BE、DE的长度，再根据勾股定理即可求出BD的长度．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴顶点D的坐标为（1，4），点E的坐标为（1，0），
∴BE＝1﹣（﹣1）＝2，DE﹣4，
∴BD＝＝2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）利用二次函数的性质找出点D、E的坐标．
21．画出二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）对称轴为直线 x＝1 ，顶点坐标为 （1，4） ；
（2）与y轴的交点坐标为 （0，3） ；
（3）当x ＜1 时，y随x的增大而增大．当x ＞1 时，y随x的增大而减小．
（4）当0≤x＜2时，函数y的取值为 3≤y≤4 ；
（5）当0＜y＜3时，自变量x的取值为 ﹣1＜x＜0或2＜x＜3 ．
【分析】根据五点画出二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象，根据图象即可回答（1）（2）（3）（4）（5）的问题．
【解答】解：列表：
描点、连线可得如图所示抛物线．
（1）对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4）；
（2）与y轴的交点坐标为（0，3）；
（3）当x＜1时，y随x的增大而增大．当x＞1时，y随x的增大而减小．
（4）当0≤x＜2时，函数y的取值为3≤y≤4；
（5）当0＜y＜3时，自变量x的取值为﹣1＜x＜0或2＜x＜3．
故答案为：x＝1，（1，4）；（0，3）；＜1，＞1；3≤y≤4；﹣1＜x＜0或2＜x＜3．
【点评】此题考查二次函数的图象的作法以及二次函数的性质，解题的关键是正确作出二次函数的图象，灵活运用函数的图象来分析、判断、推理或解答．
22．某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？年收益是多少万元？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的收益为275万元？（收益＝租金﹣各种费用）
【分析】（1）根据租出间数＝30﹣增加了多少个5000元，年收益＝租出去的商铺的收益﹣未租出的商铺的费用，求解即可；
（2）设每间商铺的年租金定为x万元时，根据年收益＝租出去的商铺的收益﹣未租出的商铺的费用，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）租出间数为：30﹣（130000﹣100000）÷5000＝30﹣6＝24间；
收益为：（13﹣1）×24﹣6×0.5＝285万元；
（2）设每间商铺的年租金定为x万元，根据题意得：
（x﹣1）×[30﹣（x﹣10）÷0.5]﹣[（x﹣10）÷0.5]×0.5＝275，
解得：x1＝10.5，x2＝15，
则每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题中的等量关系题目中已经给出，相对降低了难度．
23．（1）根据要求，解答下列问题：
①方程x2﹣2x+1＝0的解为 x1＝x2＝1 ；
②方程x2﹣3x+2＝0的解为 x1＝1，x2＝2 ；
③方程x2﹣4x+3＝0的解为 x1＝1，x2＝3 ；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣10x+9＝0的解为 x1＝1，x2＝9 ；
②关于x的方程 x2﹣（1+n）x+n＝0 的解为x1＝1，x2＝n；
（3）请用配方法解方程x2﹣10x+9＝0，以验证猜想结论的正确性．
【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；
（2）①利用（1）中各方程解的特征求解；
②利用根与系数的关系确定一次项系数和常数项即可；
（3）利用配方法得到（x﹣5）2＝16，然后用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）①x1＝1，x2＝1；
②x1＝1，x2＝2；
③x1＝1，x2＝3；
（2）①x1＝1，x2＝9；
②x2﹣（1+n）x+n＝0；
故答案为x1＝1，x2＝1；x1＝1，x2＝2；x1＝1，x2＝3；x1＝1，x2＝9；x2﹣（1+n）x+n＝0；
（3）x2﹣10x＝﹣9，
x2﹣10x+25＝16，
（x﹣5）2＝16，
x﹣5＝±4，
所以x1＝1，x2＝9．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了解一元二次方程．
24．如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求S△CAB；
（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）设点Q是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q，使S△QAB＝S△CAB，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先通过代入A点坐到二次函数解析式中，求出系数a的值，从而求二次函数解析式，再代入A，B求出直线AB解析式；
（2）连接OC，根据面积差可得答案；
（3）如图2，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），同理根据（2）的方法利用面积差可表示△PAB的面积，配方后可得当x＝时，△PAB有最大面积，由此可得点P的坐标；
（4）分两种情况：根据S△QAB＝S△CAB可知：在AB的上方和下方作平行线，这条平行线与抛物线的交点就是Q点，建立方程，解方程可得答案．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，
把A（3，0）代入解析式求得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
把A（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b中，得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3；
（2）如图1，连接OA，
∴S△CAB＝S△OCB+S△AOC﹣S△AOB
＝×3×1+×3×4﹣×3×3
＝1.5+6﹣4.5
＝3；
（3）如图2，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），
S△PAB＝S△OBP+S△AOP﹣S△AOB
＝•3x+•3（﹣x2+2x+3）﹣×3×3
＝﹣x2+x
＝﹣（x2﹣3x+﹣）
＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝时，△PAB的面积最大，此时P（，）；
（4）分两种情况：
①当Q在AB的上方时，如图3，过点C作CD∥AB，交抛物线于Q，连接QB，QA，此时S△ACB＝S△QAB，
设CD的解析式为：y＝﹣x+m，
把C（1，4）代入得：4＝﹣1+m，
∴m＝5，
∴﹣x2+2x+3＝﹣x+5，
解得：x1＝1，x2＝2，
∴Q（2，3）；
当Q与C重合时，Q（1，4）；
②当Q在AB的下方时，
由①知：直线CD与y轴的交点为（0，5），即直线AB向上平移2个单位，
∴将直线AB向下平移2个单位得到y＝﹣x+1，
∴﹣x2+2x+3＝﹣x+1，
解得：x1＝，x2＝，
∴Q（，）或（，）．
综上，点Q的坐标是（2，3）或（1，4）或（，）或（，）．
【点评】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，三角形面积的求法，两函数的交点坐标等知识．此题综合性很强，注意利用平行线确定两三角形的面积相等，并根据两直线平行时k相等解决问题．
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日期：2021/9/29 22:26:30；用户：赖玉婷；邮箱：13879701352；学号：31961375x
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