冀教版九年级下册29.5 正多边形与圆同步测试题

29.5正多边形与圆同步练习冀教版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 边长为2的正六边形的边心距为

A. 1 B. 2 C.  D.

2. 如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，则AD：

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

3. 如图，已知正五边形ABCDE内接于，连结BD，CE相交于点F，则的度数是

A.
B.
C.
D.

4. 下列图形为正多边形的是

A.  B.  C.  D.

5. 若一个正多边形的中心角为，则这个多边形的边数是

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

6. 下列说法正确的是

A. 若点C是线段AB的黄金分割点，，则
B. 平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积
C. 两个正六边形一定位似
D. 菱形的两条对角线互相垂直且相等

7. 如图，是等边三角形ABC的外接圆，的半径为4，则这个等边三角形的边长为

A.
B.
C. 4
D. 6

8. 如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使是以AB为腰的等腰三角形，则符合点C条件的格点个数为   

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

9. 半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是

A.  B.  C.  D.

10. 如图边长为2的正六边形放入平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，则点B的坐标是

A.
B.
C.
D.

11. 有一个六边形的半径为4cm，则这个六边形的面积为

A.  B.  C.  D.

12. 如图，若是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为

A. ：3
B. ：1
C. ：
D. 1：

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，边长为2的正方形ABCD内接于，点E是上一点不与A、B重合，点F是上一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，B，且有下列结论：；四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；周长的最小值为；若，则BG，GE，围成的面积是，其中正确的是______把所有正确结论的序号都填上
14. 如图，在正六边形ABCDEF中，连接DA、DF，则的值为______．
    
     

15. 中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘微提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，由此求得圆周率的近似值．如图，设半径为r的圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d，当时，，则当时，______结果精确到，参考数据：，
16. 如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转，当时，顶点A的坐标为______．
    
     

17. 若某正多边形的一条边长为2，一个外角为，则该正多边形的周长为______．
18. 如图，正六边形内部有一个正五边形，且，直线l经过、，则直线l与的夹角______
    
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 尺规作图：如图，AD为的直径．
    求作：的内接正六边形要求：不写作法，保留作图痕迹；
    已知连接DF，的半径为4，求DF的长．
    小明的做法如下，请你帮助他完成解答过程．
    在中，连接OF．
    正六边形ABCDEF内接于
    
    
    ______填推理的依据
    为直径
    
    
    ______．

20. 如图，正方形ABCD内接于，P为上一点，连接DE，AE．
    ______；
    若，，求DP的长．
     

21. 如图，已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图保留作图痕迹，不写作法．
    在图1中画出正六边形边AF的中点M；
    在图2的正六边形边AF上找一点N，使得．

22. 如图，在等边三角形ABC中．
     

请用尺规作图画出三角形ABC的外接圆保留作图痕迹

若求的半径r．






 

23. 已知正五边形ABCDE，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图保留画图痕迹．
    在图中，画一个菱形ABCP；
    在图中，画出正五边形ABCDE的中心点O．

24. 如图，外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且，，求正方形ABCD的边长和PB的长．
    
    
     

25. 如图，正方形ABCD内接于，E是的中点，连接AE，DE，CE．
    求证：；
    若，求四边形AECD的面积．
     

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：如图，在中，，，
 ．
故选：C．
已知正六边形的边长为2，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形得出．
此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．
 

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理、等边三角形和正方形的性质是解题的关键．
连接OA、OB、OD，过O作于H，由垂径定理得出，证出是等腰直角三角形，，，得出，，则，进而得出答案．
【解答】
解：连接OA、OB、OD，过O作于H，如图所示：

则，
正方形ADEF和等边三角形ABC都内接于，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
故选：B．  

3.【答案】C
 

【解析】解：如图所示：
五边形ABCDE为正五边形，
，，
，
．
故选：C．
首先根据正五边形的性质得到，，然后利用三角形内角和定理得，最后利用三角形的外角的性质得到．
本题考查的是多边形内角与外角，正五边形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，利用数形结合求解是解答此题的关键．
 

4.【答案】D
 

【解析】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，
故选：D．
根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．
此题主要考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．
 

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【解答】
解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，，
解得，，
故选：A．  

6.【答案】B
 

【解析】解：A、若点C是线段AB的黄金分割点，，
当时，，当时，，本选项说法错误；
B、平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，本选项说法正确；
C、两个正六边形不一定位似，本选项说法错误；
D、菱形的两条对角线互相垂直，但不一定相等，本选项说法错误；
故选：B．
根据黄金分割、中心对称图形、位似变换、菱形的性质判断即可．
本题考查的是黄金分割、中心对称图形、位似变换、菱形的性质，掌握相关的概念和性质定理是解题的关键．
 

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了等边三角形的性质、垂径定理、含角的直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．作于D，连接OB，由垂径定理得出，由等边三角形的性质和已知条件得出，求出OD，再由三角函数求出BD，即可得出BC的长．

【解答】

解：作于D，连接OB，如图所示： 
则， 
是等边三角形ABC的外接圆， 
， 
， 
， 
， 
即等边的边长为； 
故选B．

8.【答案】B
 

【解析】【试题解析】

解：AB的长等于六边形的边长最长对角线的长，
据此可以确定共有2个点C，位置如图，
故选：B．
确定AB的长度后确定点C的位置即可．
考查了正多边形和圆及等腰三角形的判定，解题的关键是确定AB的长，难度不大．

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了正多边形和圆的性质，解决本题的关键是构造直角三角形，得到用半径表示的边心距；注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决．
根据三角函数即可求解．
【解答】
解：设圆的半径为R，
则正三角形的边心距为
正方形的边心距为，
正六边形的边心距为
，
，
故选：A．  

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的性质，锐角三角函数的定义是解题的关键．连接BC，作于E，根据正多边形的性质得到，，根据正弦的概念求出CE，根据点的坐标特征解答．
【解答】
解：连接BC，作于E，

六边形是正六边形，
，，，
，，
在中，
，
，
则点B的坐标是，
故选C．  

11.【答案】C
 

【解析】解：正六边形的半径等于边长，
正六边形的边长；
正六边形的面积．
故选：C．
根据正六边形的边长等于半径进行解答即可．
本题考查的是正六边形的性质，熟知正六边形的边长等于半径是解答此题的关键．
 

12.【答案】A
 

【解析】解：连接OA、，如图所示：
设此圆的半径为R，
则它的内接正方形的边长为，它的内接正六边形的边长为R，
内接正方形和内接正六边形的边长之比为：：1，
正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比内接正方形和内接正六边形的边长之比：：3，
故选：A．
求出的内接正方形和内接正六边形的边长之比，即可得出结论．
本题考查了正多边形和圆，求出内接正方形与内接正六边形的边长关系是解决问题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：如图所示，连接OC、OB、CF、BE．
，，
，
，
，
；故正确，
在与中，，
≌，
，，

是等腰直角三角形，
，
定值，故错误；
，，
，
的周长，
当时，OG的长最小，此时，
周长的最小值为，故正确；
作于M，则，，
，
，
，
，
，
扇形BOE的面积，
，
，
过G作于P，
，
的面积，
，GE，围成的面积扇形BOE的面积的面积，故错误；
故答案为：．
连接OC、OB、CF、先证明，再由，即可证明结论正确；
证明≌，得出，证出是等腰直角三角形，，证明定值即可；
求出，利用等线段代换和等腰直角三角形的性质得的周长，利用垂线段最短得到当时，OG的长最小，此时，即可得出结论；
求出的度数，由扇形的面积减去三角形的面积即可得出结论．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、四边形的面积、三角函数、扇形面积公式等知识，本题综合性强，属于中考常考题型．
 

14.【答案】
 

【解析】解：六边形ABCDEF是正六边形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据正六边形的性质得到，，根据等腰三角形的性质求出，得到，根据余弦的定义计算即可．
本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的内角和公式、等腰三角形的性质，余弦的定义是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：如图，圆的内接正十二边形被半径分成12个如图所示的等腰三角形，其顶角为，即，

作于点H，则，
，
中，，即，
，，
，
又，
．
故答案为：．
圆的内接正十二边形被半径分成顶角为的十二个等腰三角形，作辅助线构造直角三角形，根据中心角的度数以及半径的大小，求得，，进而得到答案．
本题主要考查了正多边形和圆以及解直角三角形的运用，正确构造直角三角形是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是正多边形和圆，旋转中的坐标变化，掌握正六边形的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键．
连接OA，OC，OD，OF，根据正六边形的性质得到，根据旋转变换的性质、寻找规律即可解决问题．
【解答】
解：连接OA，OC，OD，OF，

六边形ABCDEF是正六边形，
，
将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转，
点A旋转6次回到点A，
，
正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2018次时，点A与点E重合，
此时顶点A的坐标为，
故答案为．  

17.【答案】16
 

【解析】解：设正多边形是n边形．
由题意：，
，
这个正多边形的周长，
故答案为16．
设正多边形是n边形．由题意：，求出n即可解决问题．
本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

18.【答案】48
 

【解析】解：延长交的延长线于C，设l交于E、交于D，如图所示：
六边形是正六边形，六边形的内角和，
，
，
，
五边形是正五边形，五边形的内角和，
，
，
，
，
，
故答案为：48．
延长交的延长线于C，设l交于E、交于D，由正六边形的性质得出，得出，则，由正五边形的性质得出，由平行线的性质得出，则，再由三角形内角和定理即可得出答案．
本题考查了正多边形的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握正六边形和正五边形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】的内接正六边形ABCDEF如图所示；

一条弧所对的圆周角是圆心角的一半， 
 

【解析】解：见答案；
在中，连接OF．
正六边形ABCDEF内接于


一条弧所对的圆周角是圆心角的一半
为直径



故答案为：一条弧所对的圆周角是圆心角的一半，．
用的半径去截圆周即可解决问题；
连接OF，在中，解直角三角形即可解决问题；
本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，正多边形与圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

20.【答案】45
 

【解析】解：如图，连接BD，
正方形ABCD内接于，P为上一点，
，
，
．
故答案为：45；
如图，作于H，
，，
，
，
，
．
连接BD，根据正方形ABCD内接于，可得；
作于H，因为，，可得，因为，所以，即．
本题考查圆周角定理，正方形的性质，勾股定理．解题的关键是掌握圆周角定理．
 

21.【答案】解：如图，连接AD，CF交于点O，
如图，点N即为所求．

 

【解析】如图1中，连接AD，CF交于点O，延长BA交EF于点T，作直线OT交AF于点M．
延长BA交EF的延长线于T，连接CT交AF于点N，点N即为所求．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】解：如图所示：即为所求．


如上图
连结OB，作于点D，则
是等边三角形，
，，
在中，设，
则





故的半径为．
 

【解析】此题主要考查等边三角形的性质及三角形外接圆的作法和勾股定理及含角的直角三角形的性质
直接利用外接圆的作法作出三角形任意两边的垂直平分线，进而得出外接圆圆心O，进而得出答案；
利用等边三角形的性质结合勾股定理得出答案．
 

23.【答案】解：如解图，四边形ABCP即为所求；

如解图，点O即为所求．
 

【解析】连接AD，CE交于点P，四边形ABCP即为所求．
作出五边形的两条对称轴，两条对称轴的交点O即为所求．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定和性质，正多边形与圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：连接AC，作于E，如图所示：
四边形ABCD是正方形，
，，，
是的直径，是等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
 

【解析】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
连接AC，作于E，由正方形的性质得出，，，由圆周角定理得出AC是的直径，是等腰直角三角形，得出，，由勾股定理得出，得出，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，再由勾股定理得出，即可得出PB的长．
 

25.【答案】证明：四边形ABCD是正方形，
，
，
是的中点，
，
，
．

解：连接BD，过点D作交EC的延长线于F．
四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
，
，
．
 

【解析】欲证明，只要证明．
连接BD，过点D作交EC的延长线于证明≌，推出，推出，推出，再利用等腰三角形的性质构建方程求出DE，即可解决问题．
本题考查正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．