初中数学北师大版八年级下册3 三角形的中位线精品巩固练习

6.3三角形的中位线同步练习北师大版初中数学八年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，D是内一点，，，，，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为

A. 12
B. 14
C. 24
D. 21

2. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且，则▱ABCD的周长为

A. 20 B. 16 C. 12 D. 8

3. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

4. 如图，点D、E分别是边BA、BC的中点，，则DE的长为

A. 2
B.
C. 3
D.

5. 如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则的面积是   

A. 1
B.
C.
D.

6. 如图，中，D是BC边的中点，AE平分，于E，已知，，则DE的长为

A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

7. 如图，四边形ABCD中．，，BD为的平分线，，，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为

A. 1
B.
C. 2
D.

8. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接DE，现测得，则AB长为

A. 20m
B. 40m
C. 60m
D. 80m

9. 如图，的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，，则的周长为

A. 15
B. 18
C. 21
D. 24

10. 如图，在中，，，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为

A. 1
B. 2
C.
D. 7

11. 如图，的周长为19，点D，E在边BC上，的平分线垂直于AE，垂足为N，的平分线垂直于AD，垂足为M，若，则MN的长度为

A.  B. 2 C.  D. 3

12. 如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线DE剪开后，可以拼成的四边形是

A. 矩形或等腰梯形
B. 矩形或平行四边形
C. 平行四边形或等腰梯形
D. 矩形或等腰梯形或平行四边形
 

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得，则AB的长是______
    
     

14. 如图：在中，，，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果，那么的周长是______．

15. 如图，在中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点若，则CD的长为______．
    
    
     

16. 如图所示，点D、E分别是的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作，交DE的延长线于点F，若，则DE的长为______．
    
    
     

17. 如图，在中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若的周长是6，则的周长是    
18. 如图，中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分，交DE于点F，若，则DF的长是    ．
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，已知：在中，，延长BA到点D，使，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：．

20. 如图，点O是内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG．

求证：四边形DEFG是平行四边形；

如果，，，求EF的长．






 

21. 如图，在中，点D为边BC的中点，点E在内，AE平分，，点F在AB上，且．
    求证：四边形BDEF是平行四边形；
    线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．

22. 已知为锐角三角形，，点E、F分别在AB、AC上，且．

如图，点E、F分别是AB、AC的中点时，请直接写出线段EF与BC的关系_________；

如图，当点E与点B重合，点F与点A重合时，线段EF与的大小关系是_____________；直接写出即可

如图，E、F均不为中点时，猜想EF与之间的大小关系，并证明．






 

23. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，分别连接BE，CE，若点F，G，H分别是EC，BC，BE的中点．
    

求证：四边形EFGH是平行四边形；

设四边形EFGH的面积为，四边形ABCD的面积为，请直接写出的值．






 

24. 如图，在中，，，E，F分别为CA，CB上一点，，M，N分别为AF，BE的中点求证：．
    
     

25. 如图1，与都是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD，PM，PN，MN．
    
    观察猜想：
    图1中，PM与PN的数量关系是____，位置关系是____．
    探究证明：
    将图1中的绕着点C顺时针旋转，得到图2，AE与MP、BD分别交于点G、H，判断的形状，并说明理由；
    拓展延伸：
    把绕点C任意旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：，，，
，
、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
，，
四边形EFGH的周长，
又，
四边形EFGH的周长．
故选：A．
利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解．
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．首先证明：，由，推出即可解决问题．
【解答】
解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
平行四边形ABCD的周长，
故选：B．  

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．也考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理．根据三角形中位线定理得到，，得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．

【解答】
解：是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，
，，
，
，
，
，
故选C．

4.【答案】D
 

【解析】解：点D、E分别是的边BA、BC的中点，
是的中位线，
．
故选：D．
直接利用中位线的定义得出DE是的中位线，进而利用中位线的性质得出答案．
此题主要考查了三角形中位线定理，正确得出DE是的中位线是解题关键．
 

5.【答案】D
 

【解析】由中位线的定义及性质可得，，
所以，．
又，
所以
同理，可证，．
所以四个三角形互相全等．
所以．
故选D．
 

6.【答案】A
 

【解析】解：延长BE交AC于F，

在和中，
，
≌
，，
，
，，
，
故选：A．
延长BE交AC于F，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，连接BF并延长交AD于G，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】
解：，
，
，，
，
，
，
为的平分线，
，
，
，
连接BF并延长交AD于G，

，
，
是AC的中点，
，
，
≌，
，，
，
是BD的中点，
．
故选：A．  

8.【答案】D
 

【解析】解：是AC的中点，E是BC的中点，
是的中位线，
，
米，
米，
故选：D．
根据中位线定理可得：米．
本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
 

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于基础题．
利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题．
【解答】
解：平行四边形ABCD的周长为36，
，
，，
，
，
，
的周长为．
故选：A．  

10.【答案】A
 

【解析】解：在和中，
，
≌，
，，
，
，，
，
故选：A．
证明≌，得到，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
 

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．证明≌，得到，即是等腰三角形，同理是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】
解：平分，，
，，
在和中，
，
≌，
，
是等腰三角形，
同理是等腰三角形，
点N是AE中点，点M是AD中点三线合一，
是的中位线，



，
，
．
故选C．  

12.【答案】D
 

【解析】解：如图示，
若把绕点E旋转可得矩形；若把绕点D旋转，即可得到平行四边形；若把向下平移AD个单位长度，再沿BD翻折，即可得到等腰梯形，故选D．
能够根据图形的变换：平移，轴对称，旋转三种变换进行拼图．
本题考查学生的动手操作能力，让相等边重合即可很快得到答案．
 

13.【答案】100
 

【解析】解：点D，E分别是AC，BC的中点，
是的中位线，
米．
故答案为：100．
先判断出DE是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，问题得解．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．
 

14.【答案】18
 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】
解：，E分别是AB，BC的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
又是BC的中点，
直线DE是线段BC的垂直平分线，
，
的周长，
故答案为18．  

15.【答案】2
 

【解析】解：，N分别是AB和AC的中点，
是的中位线，
，，
，，
点E是CN的中点，
，
≌，
．
故答案为：2．
依据三角形中位线定理，即可得到，，依据≌，即可得到．
本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
 

16.【答案】
 

【解析】解：、E分别是的边AB、AC的中点，
为的中位线，
，，
，
四边形BCFE为平行四边形，
，
．
故答案为：．
先证明DE为的中位线，得到四边形BCFE为平行四边形，求出，根据中位线定理即可求解．
本题考查了三角形中位线定理，平行四边形判定与性质，熟知三角形中位线定理是解题关键．
 

17.【答案】12
 

【解析】

【分析】

此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．此题还考查了三角形的周长和含义的求法，要熟练掌握．首先根据点D、E分别是边AB，BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线，然后根据三角形中位线定理，可得，最后根据三角形周长的含义，判断出的周长和的周长的关系，再结合的周长是6，即可求出的周长是多少．

【解答】

解：点D、E分别是边AB，BC的中点，
是三角形BC的中位线，，，
且，

又，，
，
即的周长是的周长的2倍，
的周长是6，
的周长是：．

故答案为12．

18.【答案】3
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形中位线的定理，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，根据两直线平行，内错角相等可得，根据角平分线的定义可得，从而得到，根据等角对等边可得，然后根据线段中点的定义解答即可．
【解答】
解：、E分别是BC、AC的中点，
是的中位线，
，
，
平分，
，
，
，
是BC的中点，，
，
．
故答案为3．  

19.【答案】证明：，
，
点E，F分别是边BC，AC的中点，
，，FE是的中位线，
，，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
．
 

【解析】证出FE是的中位线，由三角形中位线定理得出，，得出，得出，，证明≌得出，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】解：证明：、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，
，，，，
，，
四边形DEFG是平行四边形；
过点O作于M，
中，，
，
，
中，
，
，
．
 

【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，，，从而得到，，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
过点O作于M，由含的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质求得结果．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，含角，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，熟记定理是解题的关键．
 

21.【答案】证明：延长CE交AB于点G，
，
，
在和中，
，
≌．
．
，
为的中位线，
．
，
四边形BDEF是平行四边形．

解：．
理由如下：
四边形BDEF是平行四边形，
．
、E分别是BC、GC的中点，
．
≌，
，
．
 

【解析】证明≌，根据全等三角形的性质可得到，再利用三角形的中位线定理证明，再加上条件可证出结论；
先证明，再证明，可得到．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明，再利用三角形中位线定理证明是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：，
，
过C作，过E作与D，连AD、BD．

四边形EDCF是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，，
≌，
，
在中，，
即，
．
 

【解析】

【分析】
本题考查三角形的中位线的性质，三角形的三边关系，以及全等三角形的判定与性质的知识，
本题根据EF是三角形的中位线可得，
本题根据三角形两边之和大于第三边，可得，后根据，可得，
本题首先构造出一个平行四边形EFCD，进而得到≌，，最终得到．
【解答】
解：、F分别是AB和AC的中点，
，
故答案为；
当E与B重合，F与A重合，则，
在中，，
又，
，
，
故答案为；
见答案．  

23.【答案】证明：点F，G，H分别是EC，BC，BE的中点，
，HG是的中位线，
，，
四边形EFGH是平行四边形；
：4．
 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形的中位线．
利用三角形的中位线可得，，再由平行四边形的判定可得；
由可得平行四边形EFGH的面积等于三角形BCE的面积的一半，再由三角形BCE的面积等于平行四边形ABCD面积的一半可得．
【解答】
解：见答案；
点F，G，H分别是EC，BC，BE的中点，
平行四边形EFGH的面积三角形BCE的面积的一半，
三角形BCE的面积平行四边形ABCD面积的一半，
平行四边形EFGH的面积平行四边形ABCD面积，
即．
故答案为1：4．  

24.【答案】证明：如图，取AB的中点H，连接MH，NH，易得，，，，
 

，，

．

．

，

．

，，

，．

．

在中，由勾股定理得，

．

．

【解析】略
 

25.【答案】解：；
如图中，设AE交BC于O，

和是等腰直角三角形，
，，，
，
≌，
，，
又，，
，
点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
，；，，
，
，
，
，
可知是等腰直角三角形；
由可知是等腰直角三角形，，
当BD的值最大时，PM的值最大，的面积最大，
当B、C、D共线时，BD的最大值，
，
的面积的最大值．
 

【解析】

【分析】
本题考查的是几何变换综合题，熟知等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理的运用，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．
由等腰直角三角形的性质易证≌，由此可得，再根据三角形中位线定理即可得到，由平行线的性质可得；
中的结论仍旧成立，由中的证明思路即可证明；
由可知是等腰直角三角形，，推出当BD的值最大时，PM的值最大，的面积最大，推出当B、C、D共线时，BD的最大值，由此即可解决问题．
【解答】
解：，，理由如下：
延长AE交BD于O．

和是等腰直角三角形，
，，．
在和中，

≌，
，，，
，
，
，即，
点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，
，，
，
，，，
，，，
，
，
即．
故答案为，；
见答案；
见答案．