河南省2021—2022年九年级数学上册第一次月考模拟试卷（卷四）

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河南省2021—2022年九年级数学上册第一次月考模拟试卷（卷四）
（考试内容北师大版九年级上册第一章、第二章、第三章、第四章部分内容）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+y+3＝0
C．（x﹣1）（x+1）＝1 D．（x+2）（x﹣1）＝x2
【解析】解：A、当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程中含有2个未知数，属于二元二次方程，故本选项不符合题意；
C、由已知方程得到：x2﹣2＝0，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、由原方程得到：x﹣2＝0，该方程中含有未知数的项的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项不符合题意．
答案：C．
2．下列命题中，真命题是（　　）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
【解析】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，答案项A错误；
B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，答案项B错误；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，答案项C错误；
D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，答案项D正确；
答案：D．
3．如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝3，DB＝BC＝5，则DE的长为（　　）

A． B．3 C． D．2
【解析】解：∵AD＝3，BD＝5，
∴AB＝8，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB＝DE：BC，
即3：8＝DE：5，
∴DE＝，
答案：A．
4．如图，要在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形；
乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．
对于甲、乙两人的作法，可判断（　　）

A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【解析】解：如图1，EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，FA＝FC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
∴∠ECA＝∠FCA，
而CA⊥EF，
∴CE＝CF，
∴AE＝EC＝CF＝AF，
∴四边形AFCE是菱形；所以甲正确；
如图2，∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE＝∠BEA，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BA＝BE，
同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
而AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
而AB＝AF，
四边形ABEF是菱形，所以乙正确．
答案：C．


5．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（　　）

A．4 B． C．6 D．
【解析】解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，
∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，
∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，
∴×5×PE+×5×PF＝12，
∴PE+PF＝，
答案：B．

6．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝4x﹣3根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【解析】解：原方程可化为：x2﹣4x+2＝0，
∴a＝1，b＝﹣4，c＝2，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
答案：A．
7．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论：①AC＝5；②∠A+∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【解析】解：∵当▱ABCD的面积最大时，AB⊥BC，
∴▱ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AC＝BD，故③错误，④正确；
∴∠A+∠C＝180°；故②正确；
∴AC＝＝5，故①正确．
答案：B．
8．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（　　）

A．7m B．8m C．9m D．10m
【解析】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣3）（x﹣2）＝20，
解得：x1＝7，x2＝﹣2（不合题意，舍去）
即：原正方形的边长7m．
答案：A．
9．如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G处，折痕为EF，若EB为∠AEG的平分线，EF和BC的延长线交于点H．下列结论中：
①∠BEF＝90°；②DE＝CH；③BE＝EF；
④△BEG和△HEG的面积相等；
⑤若，则．
以上命题，正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解析】解：①由折叠的性质可知∠DEF＝∠GEF，∵EB为∠AEG的平分线，∴∠AEB＝∠GEB，∵∠AED＝180°，∴∠BEF＝90°，故正确；
②可证△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故错误；
③只可证△EDF∽△BAE，无法证明BE＝EF，故错误；
④可证△GEB，△GEH是等腰三角形，则G是BH边的中线，∴△BEG和△HEG的面积相等，故正确；
⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K．设BK＝x，AB＝y，则有y2+（2y﹣2x）2＝（2y﹣x）2，解得x1＝y（不合题意舍去），x2＝y．则，故正确．
故正确的有3个．
答案：B．

10．如图，已知正方形ABCD边长为1，∠EAF＝45°，AE＝AF，则有下列结论：①∠1＝∠2＝22.5°；②点C到EF的距离是﹣1；③△ECF的周长为2；④BE+DF＞EF，其中正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠1＝∠2，
∵∠EAF＝45°，
∴∠1＝∠2＝22.5°，所以①正确；
连接AC，它们相交于点H，如图，

∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE＝DF，
而BC＝DC，
∴CE＝CF，
∵AE＝AF，
∴AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，
∴EB＝EH，FD＝FH，
∴BE+DF＝EH+HF＝EF，所以④错误；
∴△ECF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+CF+DF＝CB+CD＝1+1＝2，所以③正确；
设BE＝x，则EF＝2x，CE＝1﹣x，
∵△CEF为等腰直角三角形，
∴EF＝CE，即2x＝（1﹣x），解得x＝﹣1，
∴BE＝﹣1，
Rt△ECF中，EH＝FH，
∴CH＝EF＝EH＝BE＝﹣1，
∵CH⊥EF，
∴点C到EF的距离是﹣1，
所以②正确；
本题正确的有：①②③；
答案：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（3，2），则对角线AC＝　　．

【解析】解：如图，连接AC，BO，
∵点B的坐标为（3，2），
∴OB＝＝，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AC＝BO＝，
故答案为：．

12．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AC＝12，P是菱形的对角线AC上的一个动点，M，N分别是菱形ABCD的边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值为　4　．

【解析】解：如图，作ME⊥AC交AD于E，连接EN，连接BD与AC交于点O，则EN就是PM+PN的最小值，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AC＝12，
∴AO＝＝6，∠BAC＝∠BAD＝30°，
∴OB＝，
由勾股定理得，AB2﹣OB2＝OA2，
∴，
∴AB＝4，

∵M、N分别是AB、BC的中点，
∴BN＝BM＝AM，
∵ME⊥AC交AD于E，
∴AE＝AM，
∴AE＝BN，AE∥BN，
∴四边形ABNE是平行四边形，
∴EN＝AB且EN∥AB，
∴PM+PN的最小值为4，
故答案为4，
13．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是　k≠0且k≤1　．
【解析】解：由题意可知：Δ＝4﹣4k≥0，
∴k≤1，
∵k≠0，
∴k≠0且k≤1，
故答案为：k≠0且k≤1；
14．如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则线段AP+PD的最小值为　2　．

【解析】解：如图，作PE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，

∵四边形ABCD是菱形
∴∠DAC＝∠CAB，AB＝BC，且∠B＝120°
∴∠CAB＝30°
∴PE＝AP，∠DAF＝60°
∴∠FDA＝30°，且DF⊥AB
∴AF＝AD＝2，DF＝AF＝2
∵AP+PD＝PE+DP
∴当点D，点P，点E三点共线且垂直AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF，
∴线段AP+PD的最小值为2
故答案为：2
15．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD＝，其中正确的结论是　①②　．

【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
即△ABC是等边三角形，
∴∠EAC＝∠B＝60°，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠OAD＝60°，
在△ABF和△CAE中，，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
∴∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，
∵∠FHC＝∠ACE+∠FAC＝∠BAF+∠FAC＝∠BAC＝60°，
∴∠FHC＝∠B，
故①正确，②正确；
∵∠OAD＝60°＝∠EAC≠∠HAC，
故③△ADO≌△ACH不正确；
∵△ABC是等边三角形，AB＝AC＝1，
∴△ABC的面积＝AB2＝，
∴菱形ABCD的面积＝2△ABC的面积＝，
故④不正确；
故答案为：①②．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x（x﹣2）＝x﹣2；
（2）3x2﹣1＝2x+5；
【解析】解：（1）∵x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝2，x2＝1．

（2）整理，得：3x2﹣2x﹣6＝0，
∵x＝3，b＝﹣2，c＝﹣6，
∴△＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣6）＝76＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝．
17．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．

【解析】（1）证明：如图，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；

（2）解：连接DF，
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S＝AC•DF＝10．

18．（8分）已知关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）给m选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根．
【解析】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2m）2﹣4×（m+1）（m﹣3）＞0且m+1≠0，
解得m＞且m≠﹣1；

（2）取m＝3，
此时方程为4x2+6x＝0，
整理为2x（2x+3）＝0，
∴2x＝0或2x+3＝0，
解得x1＝0，x2＝．
19．（9分）已知：矩形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；
（2）若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
又∵Δ＝m2﹣4（﹣）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，（m﹣1）2＝0时，
即m＝1时，四边形ABCD是正方形，
把m＝1代入x2﹣mx+﹣＝0，得x2﹣x+＝0，
解得：x＝，
∴正方形ABCD的边长是；

（2）把AB＝2代入x2﹣mx+﹣＝0，得4﹣2m+﹣＝0，
解得：m＝，
把m＝代入x2﹣mx+﹣＝0，得x2﹣x+1＝0，
解得x＝2或x＝，
∴AD＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形ABCD的周长是2×（2+）＝5．
20．如图（1），△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，P点是底边BC上的一个动点，PD∥AC，PE∥AB．
（1）用a表示四边形ADPE的周长为　2a　；
（2）点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由；
（3）如果△ABC不是等腰三角形（图2），其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形（不必说明理由）．

【解析】解：（1）∵PD∥AC，PE∥AB
∴四边形ADPE为平行四边形
∴AD＝PE，DP＝AE，
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C，
∵DP∥AC
∴∠B＝∠DPB
∴DB＝DP
∴四边形ADPE的周长＝2（AD+DP）＝2（AD+BD）＝2AB＝2a
故答案为：2a
（2）当P为BC中点时，四边形ADPE是菱形．
理由如下：
连接AP

∵PD∥AC，PE∥AB
∴四边形ADPE为平行四边形
∵AB＝AC，P为BC中点
∴∠PAD＝∠PAE
∵PE∥AB
∴∠PAD＝∠APE
∴∠PAE＝∠APE
∴EA＝EP
∴四边形ADPE是菱形
（3）P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形，
∵PD∥AC，PE∥AB，
∴四边形ADPE是平行四边形，
∵AP平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥EP，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AE＝EP，
∴四边形ADPE是菱形．

21．（12分）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
【解析】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意，得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，
依题意，得：（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，
化简，得：y2+4y﹣12＝0，
解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．
22．（12分）（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；
（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；
（3）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．

【解析】解：（1）如图1，过B点作BH∥MN交CD于H，则AP⊥BH，
∵BM∥NH，
∴四边形MBHN为平行四边形，
∴MN＝BH，
∵四边形ABCD是正方形．
∴AB＝BC，∠ABP＝90°＝∠C，
∴∠CBH+∠ABH＝∠BAP+∠ABH＝90°，
∴∠BAP＝∠CBH，
∴△ABP≌△BCH（ASA），
∴BH＝AP，
∴MN＝AP；

（2）如图2，连接FA，FP，FC
∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点，
∴FA＝FC，
又∵FE垂直平分AP，
∴FA＝FP，
∴FP＝FC，
∴∠FPC＝∠FCP，
∵∠FAB＝∠FCP，
∴∠FAB＝∠FPC，
∴∠FAB+∠FPB＝180°，
∴∠ABC+∠AFP＝180°，
∴∠AFP＝90°，
∴FE＝AP，
由（1）知，AP＝MN，
∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF，
∴EF＝ME+FN；
（3）由（2）有，EF＝ME+FN，
∵MN＝EF+ME+NF，
∴EF＝MN，
∵AC，BD是正方形的对角线，
∴BD＝2 ，
当点P和点B重合时，EF最小值＝MN＝AB＝1，
当点P和C重合时，EF最大值＝MN＝BD＝．