河南省2021—2022年九年级数学上册第一次月考模拟试卷（卷三）

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列命题中是假命题的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．一组邻边相等的矩形是正方形
D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
【解析】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
C、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，不符合题意；
D、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，是假命题，符合题意；
答案：D．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（ ）
A．25°B．30°C．45°D．60°
【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴AD＝CD，
∵DC＝AC，
∴AD＝CD＝AC，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
答案：B．
3．根据下面表格中的对应值：
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3.22＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26
【解析】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
答案：C．
4．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：画树状图如图所示：
∵共有20种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有12种结果，
∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为P＝＝；
答案：C．
5．已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是关于x的方程x2+px+q＝0的两个实数根，则此菱形的面积可以表示为（ ）
A．pB．﹣pC．qD．﹣
【解析】解：根据题意得AC•BD＝q，
所以此菱形的面积＝AC•BD＝q．
答案：C．
6．对于方程（x﹣1）（x﹣2）＝x﹣2，下面给出的说法不正确的是（ ）
A．与方程x2+4＝4x的解相同
B．两边都除以x﹣2，得x﹣1＝1，可以解得x＝2
C．方程有两个相等的实数根
D．移项分解因式（x﹣2）2＝0，可以解得x1＝x2＝2．
【解析】解：方程（x﹣1）（x﹣2）＝x﹣2，
移项得：（x﹣1）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝x2＝2；
A、与方程x2+4＝4x的解相同，正确；
B、当x﹣2≠0时，两边除以x﹣2，得x﹣1＝1，即x＝2；
当x﹣2＝0时，方程成立，错误；
C、方程有两个相等的实数根，正确；
D、移项分解因式（x﹣2）2＝0，可以解得x1＝x2＝2，正确；
答案：B．
7．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，菱形ABCD的面积为24，则OE长为（ ）
A．2.5B．3.5C．3D．4
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，菱形ABCD的面积为24，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×6DB＝24，
解得：BD＝8，
∴AO＝OC＝3，OB＝OD＝4，AO⊥BO，
又∵点E是AB中点，
∴OE是△DAB的中位线，
在Rt△AOB中，AB＝＝5，
则OE＝AD＝AB＝2.5．
答案：A．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，AE＝5，且EO＝2BE，则OA的长为（ ）
A．B．C．3D．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，
∵EO＝2BE，
∴BO＝3BE＝OA，
∵AE2+EO2＝AO2，
∴25+4BE2＝9BE2，
∴BE＝，
∴OA＝3BE＝3，
答案：C．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），D（0，）为菱形ABCD的顶点，现固定点A．沿对角线AC方向将菱形的顶点C拉至点C′处，使得点B，D落在菱形ABCD内部的点B′，D′处，若∠D'C'B'＝30°，则此时点D'的坐标是（ ）
A．（﹣1，）B．（1﹣，）C．（，）D．（﹣，）
【解析】解：过D′作D′E⊥AB于E，
在Tt△OAD中，
由A（﹣1，0），D（0，）得：OA＝1，OD＝，
∴∠DAO＝60°，AD＝＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°，
∵四边形AB′C′D′是菱形，
∴∠D′AC′＝∠B′AC′，∠D′AB′＝∠D'C'B'＝30°，
∴∠B′AB＝∠D′AD＝×（60°﹣30°）＝15°，
∴∠D′AE＝60°﹣15°＝45°，
由题意知：AD′＝AD＝2，
在Rt△D′AE中，
∵∠D′AE＝45°，
∴∠AD′E＝45°，
∴AE＝D′E，
∴2AE2＝AD′2＝4，
∴AE＝D′E＝，
∴OE＝﹣1，
∴D'的坐标是（﹣1，）
答案：A．
10．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（ ）
A．0B．4C．6D．8
【解析】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，
∴EC＝8，FC＝4＝AE，
∵点M与点F关于BC对称
∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°
∴∠ACM＝90°
∴EM＝＝4
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9
在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝12
∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12
在点H左侧，当点P与点B重合时，BF＝＝2
∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF
∴△ABE≌△CBF（SAS）
∴BE＝BF＝2
∴PE+PF＝4
∴点P在BH上时，4＜PE+PF＜4
∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．
即共有8个点P满足PE+PF＝9，
答案：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为 24 ．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，
∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴CD＝2OE＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24；
故答案为：24．
12．若（m﹣1）xm（m+2）﹣1+2mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 ﹣3 ．
【解析】解：由题意，得
m（m+2）﹣1＝2且m﹣1≠0，
解得m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
13．在一个不透明的袋子里装有两个红球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后不再放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到红球的概率是 ．
【解析】解：画出树状图：
根据树状图可知：所有等可能的结果共有6种，其中两次都摸到红球的有2种，
∴两次都摸到红球的概率是＝；
故答案为：．
14．如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到如图所示的位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是 ．
【解析】解：方法一：正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，
∴EF＝CE＝1，
∴CF＝，
∴BF＝﹣1，
∵∠BFE＝45°，
∴阴影部分的面积＝×1×1﹣×（﹣1）2＝﹣1；
方法二：∵过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP，如下图所示，
∵B在对角线CF上，
∴∠DCE＝∠ECF＝45°，EC＝1，
∴△ENC为等腰直角三角形，
∴MB＝CN＝EC＝，
又BC＝AD＝CD＝CE，且CP＝CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，
∴Rt△PEC≌Rt△PBC（HL），
∴PB＝PE，
又∠PFB＝45°，
∴∠FPB＝45°＝∠MPE，
∴△MPE为等腰直角三角形，
设MP＝x，则EP＝BP＝，
∵MP+BP＝MB，
∴，解得，
∴BP＝，
∴阴影部分的面积＝．
故答案为：．
15．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，点P是对角线AC上的一个动点（不与A，C两点重合），过点P作EF⊥AC分别交AD，AB于点E，F．将△AEF沿EF折叠，点A落在点A'处，当△A'BC是等腰三角形时，AP的长为 2﹣2或 ．
【解析】解：在菱形ABCD中，∵∠BAD＝60°，AB＝4，
∴AC＝4，
①当CA'＝BC＝4时，AA'＝AC﹣CA'＝4﹣4，
∵将△AEF沿EF折叠，点A落在点A'处，
∴AP＝AA'＝2﹣2．
②当A'C＝A'B时，
∵∠BAC＝∠ACB＝30°，
∴∠A'CB＝∠A'BC＝30°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABA'＝90°，
∴AA'＝，
∴AP＝AA'＝．
故答案为：2﹣2或．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（8分）解下列方程：
（1）4x2﹣（3x+1）2＝0；
（2）2x2﹣x﹣1＝0．
【解析】解：（1）4x2﹣（3x+1）2＝0，
因式分解得：（2x+3x+1）（2x﹣3x﹣1）＝0，
5x+1＝0或﹣x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣1；
（2）2x2﹣x﹣1＝0，
因式分解得：（2x+1）（x﹣1）＝0，
2x+1＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝1．
17．（9分）“停课不停学，一中在护航”，疫情期间，老师们利用各种直播软件为孩子们进行答疑解惑，给孩子们提供了全方位的帮助和指导，网课的展开也让各种直播软件逐渐进入了大家的视野，初二年级学生会就同学们对各种直播软件的喜爱度展开了调查，随机抽取了部分师生和家长的问卷，并将结果绘制成了不完整的统计图1，图2，请结合图中的信息解析下列问题：
（1）这次调查中，一共抽取了 200 人的问卷；
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，表示喜欢钉钉直播方式的扇形圆心角的度数为 144° ；
（3）某班被抽的部分问卷中，学生有5人，3名男生，2名女生，现打算从这5名学生中任意抽取2名学生进行电话采访，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到男女生各一名的概率．
【解析】解：（1）20÷10%＝200（人），
答：这次调查中，一共抽取了200人的问卷；
故答案为：200；
（2）钉钉直播的人数为200﹣（40+60+20）＝80（人），
补全条形图如下：
扇形统计图中，表示喜欢钉钉直播方式的扇形圆心角的度数为360°×＝144°，
故答案为：144°；
（3）根据题意画图如下：
由图可知总有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有12种，
所以抽到一男一女的概率为＝．
18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
【解析】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，
∴∠FDC＝36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．
19．（8分）如图，王大爷要利用一面墙（墙长25米）建一个羊圈，用80米的围栏圈成三个矩形羊圈．
（1）羊圈的面积能达到300m2吗？为什么？
（2）羊圈的面积能达到500m2吗？为什么？
【解析】解：（1）能．
设AB的长度为x米，则BC的长度为（80﹣4x）米．
根据题意得 x（80﹣4x）＝300，
解得 x1＝15，x2＝5．
则80﹣4x＝20或80﹣4x＝60．
∵60＞25，
∴x2＝5舍去，
即AB＝15，BC＝20．
故羊圈的面积能达到300m2；
（2）不能．
依题意有x（80﹣4x）＝500，
整理得x2﹣20x+125＝0．
因为Δ＝（﹣20）2﹣4×1×125＝﹣100＜0．
所以该方程无实数根，
所以羊圈的面积不能达到500m2．
20．（9分）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．
【解析】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB＝GD；
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2，
∴AE＝，BP＝AB＝1，
∴AP＝，
∴EP＝，
∴EB＝，
∴GD＝．
21．（8分）如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝32cm，BC＝12cm，动点P从点A出发，以6cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q同时从点C出发，以4cm/s的速度向点D运动，何时点P和点Q之间的距离是20cm？
【解析】解：设当时间为ts时，点P和点Q之间的距离是20cm，
过点Q作ON⊥AB于点N，
则QC＝2tcm，PN＝（32﹣10t）cm，
故122+（32﹣10t）2＝400，
解得：t1＝，t2＝．
故当时间为s或s时，点P和点Q之间的距离是20cm．
22．（11分）如图，分别以△ABC的AB、AC为一边，向外作正方形ABEF和正方形AGHC．
（1）如图1，连接BG、CF相交于点P，则BG、CF数量关系： BG＝CF ，位置关系： BG⊥CF ；
（2）如图2，点D是BC的中点，点O1、O2，分别是正方形ABEF和正方形AGHC对角线的交点，连接O1D、O2D、O1O2，判断△O1O2D的形状，并说明理由；
（3）如图2，若AB＝6，AC＝，∠BAC＝60°，请直接写出O1O2的长．
【解析】解：（1）如图1，∵四边形ABEF和四边形AGHC是正方形，
∴AF＝AB，AC＝AG，∠FAB＝∠CAG＝90°，
∴∠FAB+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠FAC＝∠BAG，
在△FAC和△BAG中，
，
∴△FAC≌△BAG（SAS），
∴BG＝CF，∠AFC＝∠ABG，
∵∠AQF＝∠BQP，
∴∠FPG＝∠ABG+∠BQP＝∠AFC+∠AQF＝90°，
∴BG⊥CF，
故答案为：BG＝CF，BG⊥CF；
（2）△DO1O2是等腰直角三角形，理由如下：
连接FC、BG、FB、GC，如图2所示，
由（1）得：FC＝BG，FC⊥BG，
∵O1是正方形ABEF的中心，
∴O1是BF的中点，
∵D是BC的中点，
∴O1D是△BCF的中位线，
∴O1D＝FC，O1D∥FC，
同理可得：O2D是△CBG的中位线，
∴O2D＝BG，O2D∥BG，
∴O1D＝O2D，O1D⊥O2D，
∴△DO1O2为等腰直角三角形；
（3）作FM⊥CA交其延长线于点M，如图3所示，
∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝6，∠FAB＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠FAM＝180°﹣∠FAB﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴MF＝AF＝3，AM＝cs30°×AF＝＝，
∴MC＝MA+AC＝，
∴FC＝＝＝，
∴O1D＝FC＝，
∴O1O2＝O1D＝．
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09

男1
男2
男3
女1
女2
男1

男1男2
男1男3
女1男1
女2男1
男2
男1男2

男3男2
女1男1
女2男2
男3
男1男3
男2男3

女1男3
女2男3
女1
男1女1
男2女1
男3女1

女2女1
女2
男1女2
男2女2
男3女2
女1女2