河南省2021—2022年九年级数学上册第一次月考模拟试卷（卷五）

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
【解析】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；
C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．
答案：D．
2．下列数中，能与6，9，10组成比例的数是（ ）
A．1B．74C．5.4D．1.5
【解析】解：A、10×1≠6×9，1不能与6，9，10组成比例，故错误；
B、6×74≠9×10，74不能与6，9，10组成比例，故错误；
C、5.4×10＝6×9，5.4能与6，9，10组成比例；故正确；
D、1.5×10≠6×9，1.5不能与6，9，10组成比例，故错误．
答案：C．
3．若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（ ）
A．8B．7C．8或7D．9或8
【解析】解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，
∴a＝b，或a、b中有一个数为4．
当a＝b时，有b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4（n+1）＝0，
解得：n＝8；
当a、b中有一个数为4时，有42﹣6×4+n+1＝0，
解得：n＝7，
答案：C．
4．如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（ ）
A．30°B．25°C．20°D．15°
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°，
∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠1＝15°；
答案：D．
5．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1有一个根是0，则m的值为（ ）
A．±1B．1C．﹣1D．1或0
【解析】解：把x＝0代入方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1，得m2＝1，
解得m＝±1；
∵mx2﹣3x＝x2﹣m2+1整理得（m﹣1）x2﹣3x+m2﹣1＝0，
∴m﹣1≠0即m≠1，
∴m＝﹣1．
答案：C．
6．线段MN长为1cm，点P是MN的黄金分割点，则MP的长是（ ）
A．B．C．或D．不能确定
【解析】解：设MP＝x，则PN＝1﹣x，根据题意得，
解得x＝或＞1（不合题意，舍去），
又因为题中没强调MP是长的一段还是短的一段，所以MP的长也可以为1﹣＝．
答案：C．
7．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（ ）
A．24B．25C．26D．27
【解析】解：依题意，得：1+m+m（m+1）＝625，
解得：m1＝24，m2＝﹣26（不合题意，舍去）．
答案：A．
8．如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：根据题意画图如下：
∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两盏灯泡同时发光的概率为：P==．
答案：C．
9．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过（ ）小时它就会进入台风影响区．
A．10B．7C．6D．12
【解析】解：如图所示：设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：
CE＝40x千米，BB′＝20x千米，
∵BC＝500km，AB＝300km，
∴AC＝400（km），
∴AE＝400﹣40x，AB′＝300﹣20x，
∴AE2+AB′2＝EB′2，
即（400﹣40x）2+（300﹣20x）2＝2002，
解得：x1＝15，x2＝7，
∴轮船经7小时就进入台风影响区．
答案：B．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是（ ）
A．6B．12C．9D．6
【解析】解：连接AD，过D点作DM⊥AC、DN⊥AB．
∵D为AB中点，DM∥AB，DN∥AC，
∴DM＝AB＝，DN＝AC＝．
∴△ADF面积＝AF×DM＝AF2，
∴△ADH面积＝×DN＝AH2，
在Rt△ABC中，
∵BC＝6
∴AB2+AC2＝BC2＝36，
∴阴影部分面积＝△ADF面积+△ADH面积＝AF2+AH2＝AB2+AC2＝×36＝9．
答案：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知＝，则＝ ．
【解析】解：∵＝，
∴可设a＝2k，b＝3k（k≠0），
∴＝＝．
故答案为．
12．不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是 ．
【解析】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中两次都摸到相同颜色的小球的结果数为2，
所以两次都摸到相同颜色的小球的概率＝＝．
故答案为．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（3，3），C（﹣1，﹣1）．对角线BD交AC于点M．交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是 （﹣2，4） ．
【解析】解：作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，MP⊥轴于P，如图所示：
则MP∥BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴MA＝MC，MB＝MD，AC⊥BD，
∵点A（3，3），C（﹣1，﹣1），
∴M（1，1），
∴OP＝MP＝1，△OPM是等腰直角三角形，
∴∠MOP＝45°，
∵AC⊥BD，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴MN＝MO，
∴NP＝OP＝1，
∵BN＝2ND，
∴BM＝3MN，BN＝4MN，
∵MP∥BF，
∴＝＝＝，
∴NF＝4NP＝4，BF＝4MP＝4，
∴OF＝NF﹣ON＝2，
∴点B（﹣2，4），
故答案为：（﹣2，4）．
14．你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如图左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在如图右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是 ② ．（只填序号）
【解析】解：∵x2﹣4x﹣12＝0即x（x﹣4）＝12，
∴构造如图②中大正方形的面积是（x+x﹣4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12+42，
据此易得x＝6．
故答案为：②．
15．矩形纸片ABCD，AB＝9，BC＝6，在矩形边上有一点P，且DP＝3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为 6或2 ．
【解析】解：如图1，当点P在CD上时，
∵PD＝3，CD＝AB＝9，
∴CP＝6，∵EF垂直平分PB，
∴四边形PFBE是正方形，EF过点C，
∴EF＝6，
如图2，当点P在AD上时，
过E作EQ⊥AB于Q，
∵PD＝3，AD＝6，
∴AP＝3，
∴PB＝＝＝3，
∵EF垂直平分PB，
∴∠1＝∠2，
∵∠A＝∠EQF，
∴△ABP∽△EFQ，
∴，
∴，
∴EF＝2，
综上所述：EF长为6或2．
故答案为：6或2．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（8分）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
【解析】（1）证明：四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC，AD∥BC
∴∠A＝∠CBF
∵BE⊥AD、CF⊥AB
∴∠AEB＝∠BFC＝90°
∴△AEB≌△BFC（AAS）
∴AE＝BF
（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD
∴直线BE为AD的垂直平分线
∴BD＝AB＝2
17．（9分）“一方有难，八方支援”是中华民族的传统美德．在抗击新冠病毒战役中，我省支援湖北医疗队共1460人奔赴武汉．其中小丽、小王和三个同事共五人直接派往一线某医院，根据该医院人事安排需要先抽出一人去急诊科，再派两人到发热门诊，请你利用所学知识完成下列问题．
（1）小丽被派往急诊科的概率是 ；
（2）若正好抽出她们一位同事去往急诊科，请你利用画树状图或列表的方法，求出小丽和小王同时被派往发热门诊的概率．
【解析】解：（1）小丽被派往发热门诊的概率；
故答案为：；
（2）小丽、小王和两个同事分别用A，B，C1，C2表示，根据题意画图如下：
由上可知；一共出现了12种等可能的结果，小丽和小王同时出现的有2种情况，
则小丽和小王同时被派往发热门诊的概率是＝．
18．（9分）如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为 1.5 时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为 3 时，四边形AMDN是菱形．
【解析】（1）证明：∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，
∴∠DNE＝∠AME，
在△DNE和△AME中
，
∴△DNE≌△AME（AAS），
∴NE＝ME，
∵AE＝DE，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）解：①当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形，
理由是：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝3，
∵∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴AD＝BD＝3，
∵AM＝1.5，AB＝3，
∴AM＝BM，
∴DM⊥AB，
即∠DMA＝90°，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是矩形，
即当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形，
故答案为：1.5；
②当AM＝3时，四边形AMDN是菱形，
理由是，此时AM＝AB＝3，
即M和B重合，
∵由①知：△ABD是等边三角形，
∴AM＝MD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是菱形，
故答案为：3．
19．（9分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为正整数时，取一个合适的值代入求出方程的解．
【解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝4﹣4m+8＝12﹣4m．
∵12﹣4m≥0，
∴m≤3，m≠2．
（2）∵m≤3且m≠2，
∴m＝1或3，
∴当m＝1时，原方程为﹣x2﹣2x+1＝0．x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+．
当m＝3时，原方程为x2﹣2x+1＝0．x1＝x2＝1．
20．（10分）[关注数学文化]数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）
（1）请根据如图1完成这个推论的证明过程，
证明：S矩形NFGD＝S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），
S矩形EBMF＝S△ABC﹣（ S△AEF + S△FMC ）．
易知，S△ADC＝S△ABC， S△ANF ＝ S△AEF ， S△FMC ＝ S△FGC ．
可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF
（2）如图2，点P是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点P作EF∥BC分别交AB，CD于点E、F，连接PA，PC．若PE＝5，DF＝4，求图中阴影部分的面积．
【解析】（1）解：S矩形NFGD＝S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），
S矩形EBMF＝S△ABC﹣（S△AEF+S△FMC）．
易知，S△ADC＝S△ABC，S△ANF＝S△AEF，S△FMC＝S△FGC．
可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF；
故答案为：S△AEF，S△FMC；S△ANF，S△AEF，S△FMC，S△FGC；
（2）解：作PM⊥AD于M，交BC于N．如图2：
则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴PM＝DF＝4，
同（1）得：S矩形AEPM＝S矩形CFPN，
∴S△AEP＝S△AMP，S△CFP＝S△CNP，
∴S△AEP＝S△CFP＝×PE×PM＝×5×4＝10，
∴图中阴影部分的面积S阴＝10+10＝20．
21．（10分）随着生活水平的不断提高，越来越多的人选择到电影院观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过网上平台购票，既快捷又能享受更多优惠．某电影城2021年从网上购买3张电影票的费用比现场购买2张电影票的费用少10元；从网上购买5张电影票的费用和现场购买1张电影票的费用共200元．
（1）求该电影城2021年在网上购票和现场购票每张电影票的价格为多少元？
（2）2021年五一当天，该电影城按照2021年网上购票和现场购票的价格销售电影票，当天售出的总票数为500张．五一假期过后，观影人数出现下降，于是电影城决定从5月5日开始调整票价：现场购票价格下调，网上购票价格不变．结果发现，现场购票每张电影票的价格每降低2元，售出总票数就比五一当天增加4张．经统计，5月5日售出的总票数中有60%的电影票通过网上售出，其余通过现场售出，且当天票房总收入为17680元，试求出5月5日当天现场购票每张电影票的价格为多少元？
【解析】解：（1）设该电影城2021年在网上购票每张电影票的价格为x元，现场购票每张电影票的价格为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：该电影城2021年在网上购票每张电影票的价格为30元，现场购票每张电影票的价格为50元．
（2）设5月5日当天现场购票每张电影票的价格为m元，则当天售出的总票数为[500+×（50﹣m）]张，
依题意，得：（1﹣60%）m[500+×（50﹣m）]+30×60%×[500+×（50﹣m）]＝17680，
整理，得：m2﹣255m+8600＝0，
解得：m1＝40，m2＝215（舍去）．
答：5月5日当天现场购票每张电影票的价格为40元．
22．（20分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为： BC⊥CF ；
②BC，CD，CF之间的数量关系为： BC＝CF+CD ．（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明，
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若AB＝2，CD＝1，请求出GE的长．
【解析】解：（1）①∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠B＝∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF＝90°，
即BC⊥CF；
故答案为：BC⊥CF；
②由①得：△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CF+CD；
故答案为：BC＝CF+CD；
（2）BC⊥CF成立；BC＝CD+CF不成立，CD＝CF+BC．理由如下：
∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°．
∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，
∴BC⊥CF，
∵CD＝DB+BC，DB＝CF，
∴CD＝CF+BC；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示：
∵∠BAC＝90°，AC＝AB＝2，
∴BC＝AB＝4，
∵AH⊥BC，
AH＝BC＝BH＝CH＝2，
∴DH＝CH+CD＝3，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE＝CM，EM＝CN，
∵∠AHD＝∠ADC＝∠EMD＝90°，
∴∠ADH+∠EDM＝∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠ADH＝∠DEM，
∴△ADH≌△DEM（AAS），
∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，
∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BGC＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG＝BC＝4，
∴GN＝1，
在Rt△EGN中，由勾股定理得：EG＝＝．