2022版高考人教版数学一轮练习：练案【41理】【40文】 基本不等式

这是一份2022版高考人教版数学一轮练习：练案【41理】【40文】 基本不等式，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
A组基础巩固
一、选择题
1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是( D )
A．a＋b≥2eq \r(ab) B．eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2
C．eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＋\f(b,a)))≤2 D．a2＋b2≥2ab
[解析] 因为eq \f(a,b)和eq \f(b,a)同号，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＋\f(b,a)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))≥2.∵(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，故选C、D．
2．(2020·北京东城区一模)已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)－2(x0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，
则12xy＋3xy≤30，即xy≤2，故xy的最大值为2.
4．若3x＋2y＝2，则8x＋4y的最小值为( A )
A．4 B．4eq \r(2)
C．2 D．2eq \r(2)
[解析] ∵3x＋2y＝2，∴8x＋4y＝23x＋22y≥2eq \r(23x·22y)＝2eq \r(23x＋2y)＝4，当且仅当3x＋2y＝2且3x＝2y，即x＝eq \f(1,3)，y＝eq \f(1,2)时等号成立，∴8x＋4y的最小值为4，故选A．
5．(理)下列命题中正确的是( D )
A．函数y＝sin x＋eq \f(4,sin x)(00)的最大值为2－4eq \r(3)
(文)(2020·沈阳模拟)在下列各函数中，最小值等于2的函数是( D )
A．y＝x＋eq \f(1,x)
B．y＝sin x＋eq \f(1,sin x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(00时，y＝x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2；当x0，y>0，x＋2y＝3，
∴eq \f(x2＋y,xy)＝eq \f(x,y)＋eq \f(1,x)＝eq \f(x,y)＋eq \f(x＋2y,3x)＝eq \f(x,y)＋eq \f(2y,3x)＋eq \f(1,3)≥2eq \r(\f(2,3))＋eq \f(1,3)＝eq \f(2\r(6)＋1,3)，
当且仅当eq \f(x,y)＝eq \f(2y,3x)＝eq \r(\f(2,3))，
即x＝eq \f(\r(6),3)y时，等号成立．故答案为：eq \f(2\r(6)＋1,3).
14．(2021·湖北部分重点中学联考)已知x>0，y>0，若eq \f(2y,x)＋eq \f(8x,y)>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是__(－4,2)__．
[解析] ∵x>0，y>0，
∴eq \f(2y,x)＋eq \f(8x,y)≥2eq \r(\f(2y,x)·\f(8x,y))＝8
(当且仅当y＝2x时取等号)
∴eq \f(2y,x)＋eq \f(8x,y)的最小值为8，
由题意可知m2＋2m－80，b>0，并且eq \f(1,a)，eq \f(1,2)，eq \f(1,b)成等差数列，则a＋9b的最小值为( A )
A．16 B．9
C．5 D．4
[解析] (理)解法一：由于a＋b＝ab≤eq \f(a＋b2,4)，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号．故选B．
解法二：由题意，得eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B．
(文)∵eq \f(1,a)，eq \f(1,2)，eq \f(1,b)成等差数列，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，∴a＋9b＝(a＋9b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝10＋eq \f(a,b)＋eq \f(9b,a)≥10＋2eq \r(\f(a,b)·\f(9b,a))＝16，当且仅当eq \f(a,b)＝eq \f(9b,a)且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，即a＝4，b＝eq \f(4,3)时等号成立，故选A．
2．(2021·山东新泰一中质检)已知△ABC的面积是9eq \r(3)，角A，B，C成等差数列，其对应边分别是a，b，c，则a＋c的最小值是( A )
A．12 B．12eq \r(2)
C．10 D．10eq \r(2)
[解析] 由题意知B＝eq \f(π,3)，∴eq \f(1,2)acsin B＝9eq \r(3)，
∴ac＝36，∴a＋c≥2eq \r(ac)＝12，
(当且仅当a＝c＝6时取等号)
∴a＋c的最小值为12，故选A．
3．(2020·山东济宁期末)已知函数f(x)＝lga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋4＝0上，其中mn>0，则eq \f(1,m＋1)＋eq \f(2,n)的最小值为( B )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(4,3)
C．2 D．4
[解析] 由题意知A(－2，－1)，∴2m＋n＝4，
∴2(m＋1)＋n＝6，
∴eq \f(1,m＋1)＋eq \f(2,n)＝eq \f(1,6)[2(m＋1)＋n]eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m＋1)＋\f(2,n)))
＝eq \f(1,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(n,m＋1)＋\f(4m＋1,n)))
≥eq \f(1,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋2\r(\f(n,m＋1)·\f(4m＋1,n))))＝eq \f(4,3)，
当且仅当n＝2(m＋1)，即m＝eq \f(1,2)，n＝3时取等号，
∴eq \f(1,m＋1)＋eq \f(2,n)的最小值为eq \f(4,3)，故选B．
4．已知a>0，b>0，若不等式eq \f(3,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,a＋3b)恒成立，则m的取值范围为__(－∞，12]__．
[解析] 因为a>0，b>0，所以m≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,a)＋\f(1,b)))a＋3b))min.又因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,a)＋\f(1,b)))(a＋3b)＝6＋eq \f(9b,a)＋eq \f(a,b)≥6＋2eq \r(\f(9b,a)·\f(a,b))＝12，当且仅当eq \f(9b,a)＝eq \f(a,b)，即a＝3b时，等号成立，所以m≤12，所以m的取值范围为(－∞，12]．
5．(2021·河南九师联盟联考)2018年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3 000万元，生产x(百辆)，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10x2＋200x，0