2022版高考人教版数学一轮练习：练案【76理】【66文】 坐标系

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第一讲 坐标系
1．(2018·江苏高考)在极坐标中，直线l的方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝2，曲线C的方程为ρ＝4csθ，求直线l被曲线C截得的弦长．
[解析] 因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4csθ，
所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆，
因为直线l的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝2，
所以直线l过点(4,0)，倾斜角为eq \f(π,6)，
设A(4,0)，则A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB＝eq \f(π,6).
连接OB，因为OA为直径，所以∠OBA＝eq \f(π,2)，
所以AB＝4cseq \f(π,6)＝2eq \r(3).
因此，直线l被曲线C截得的弦长为2eq \r(3).
2．(2020·河南洛阳统考)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2eq \r(2)ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝2.
(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
[解析] (1)由ρ＝2知，ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.
因为ρ2－2eq \r(2)ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝2，
所以ρ2－2eq \r(2)ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csθcs\f(π,4)＋sinθsin\f(π,4)))＝2，
所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得
经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.
化为极坐标方程为ρcsθ＋ρsinθ＝1，
即ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2).
3．(2020·新课标Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cskt，,y＝sinkt))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcs θ－16ρsin θ＋3＝0.
(1)当k＝1时，C1是什么曲线？
(2)当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．
[解析] (1)当k＝1时，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs t,y＝sin t))(t为参数)，两式平方相加得x2＋y2＝1，
所以曲线C1表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆．
(2)当k＝4时，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs4 t,y＝sin4 t))(t为参数)，
所以x≥0，y≥0，曲线C1的参数方程化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x)＝cs2 t,\r(y)＝sin2 t))(t为参数)，
两式相加得曲线C1方程为eq \r(x)＋eq \r(y)＝1，
得eq \r(y)＝1－eq \r(x)，平方得
y＝x－2eq \r(x)＋1,0≤x≤1,0≤y≤1，
曲线C2的极坐标方程为4ρcs θ－16ρsin θ＋3＝0，
曲线C2直角坐标方程为4x－16y＋3＝0，
联立C1，C2方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－2\r(x)＋1,4x－16y＋3＝0))，整理得12x－32eq \r(x)＋13＝0，
解得eq \r(x)＝eq \f(1,2)或eq \r(x)＝eq \f(13,6)(舍去)，
∴x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(1,4)，
∴C1，C2公共点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,4))).
4．(2020·银川模拟)已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋\r(5)csα，,y＝1＋\r(5)sinα))(α为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)设l1：θ＝eq \f(π,6)，l2：θ＝eq \f(π,3)，若l1，l2与曲线C相交于异于原点的两点A，B，求△AOB的面积．
[解析] (1)∵曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋\r(5)csα，,y＝1＋\r(5)sinα))(α为参数)，
∴曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcsθ，,y＝ρsinθ))代入并化简得ρ＝4csθ＋2sinθ，
∴曲线C的极坐标方程为ρ＝4csθ＋2sinθ.
(2)在极坐标系中，曲线C：ρ＝4csθ＋2sinθ，
∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(θ＝\f(π,6)，,ρ＝4csθ＋2sinθ，))
得|OA|＝2eq \r(3)＋1.
同理可得|OB|＝2＋eq \r(3).
又∠AOB＝eq \f(π,6)，
∴S△AOB＝eq \f(1,2)|OA|·|OB|sin∠AOB＝eq \f(8＋5\r(3),4).
∴△AOB的面积为eq \f(8＋5\r(3),4).
5．(2020·辽宁模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋2t，,y＝a－t))(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2csθ.
(1)若曲线C关于直线l对称，求a的值；
(2)若A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝eq \f(π,3)，求|OA|＋|OB|的最大值．
[解析] (1)由直线l的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋2t，,y＝a－t))(t为参数)，消去参数t得直线l的普通方程为x＋2y－2a－1＝0.
由ρ2＝x2＋y2，ρcsθ＝x，得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，
即(x－1)2＋y2＝1，是一个圆，
因为曲线C关于直线l对称，所以圆心(1,0)在直线x＋2y－2a－1＝0上，
所以a＝0.
(2)由点A，B在曲线ρ＝2csθ上，且∠AOB＝eq \f(π,3)，
不妨设A(ρ1，α)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2，α－\f(π,3)))，
则|OA|＋|OB|＝2csα＋2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝3csα＋eq \r(3)sinα＝2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))≤2eq \r(3)，当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝1，即α＝eq \f(π,6)时取等号，
所以|OA|＋|OB|的最大值为2eq \r(3).
6．(2021·湖南模拟)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋cst，,y＝sint))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是2ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝2eq \r(2)，曲线C1的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若曲线C1与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
[解析] (1)圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，
将x＝ρcsθ，x2＋y2＝ρ2代入并化简得圆C的极坐标方程为ρ＝2csθ.
(2)设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ1＝2csθ1，,tanθ1＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ1＝\f(2\r(5),5)，,tanθ1＝2.))
设点Q的极坐标为(ρ2，θ2)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2ρ2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinθ2cs\f(π,4)＋csθ2sin\f(π,4)))＝2\r(2)，,tanθ2＝2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2＝\f(2\r(5),3)，,tanθ2＝2.))
由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝eq \f(4\r(5),15)，所以线段PQ的长为eq \f(4\r(5),15).
7．(2021·江西鹰潭模拟)已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋2cs α,y＝1－2sin α))(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)若直线l的极坐标方程为sin θ－2cs θ＝eq \f(1,ρ)，求曲线C上的点到直线l的最大距离．
[解析] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋2cs α,y＝1－2sin α))，消去α，
得(x－3)2＋(y－1)2＝4，①
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ,y＝ρsinθ))代入①得(ρcs θ－3)2＋(ρsin θ－1)2＝4，
化简得ρ2－6ρcs θ－2ρsin θ＋6＝0.
(2)由sin θ－2cs θ＝eq \f(1,ρ)，得ρsin θ－2ρcs θ＝1，
即2x－y＋1＝0，
圆心C(3,1)到直线2x－y＋1＝0的距离
d＝eq \f(|2×3－1＋1|,\r(5))＝eq \f(6,5)eq \r(5)，
所以C上点到直线的最大距离为d＋r＝eq \f(6,5)eq \r(5)＋2.
8．(2020·山西太原阶段测评)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ＝3sin θ，曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－t,y＝1＋t))(t∈R)．
(1)写出曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；
(2)若射线θ＝α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))与曲线C1，C2分别交于A，B两点(不是原点)，求eq \f(|OA|,|OB|)的最大值．
[解析] (1)C1：ρ2＝3ρsin θ⇒x2＋y2－3y＝0，
C2：x＋y－2＝0.
(2)C2的极坐标方程为ρ＝eq \f(2,sin θ＋cs θ)，
∴|OA|＝3sin α，|OB|＝eq \f(2,sin α＋cs α)，
eq \f(|OA|,|OB|)＝eq \f(3,2)(sin2α＋sin αcs α)
＝eq \f(3,4)(sin 2α－cs 2α＋1)
＝eq \f(3\r(2),4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4)))＋eq \f(3,4)，
当2α－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即α＝eq \f(3π,8)时，
eq \f(|OA|,|OB|)取得最大值eq \f(3\r(2)＋1,4).