高中数学北师大版必修53.1等比数列第1课时同步测试题

这是一份高中数学北师大版必修53.1等比数列第1课时同步测试题，共10页。试卷主要包含了1　等比数列，故选D．]，故选B．]，29．等内容，欢迎下载使用。

第1课时 等比数列的概念及其通项公式
1．等比数列的定义
阅读教材P21～P22“例1”以上部分，完成下列问题．
思考：(1)如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数，这个数列一定是等比数列吗？
[提示] 不一定，只有比值是同一个常数才是等比数列，如数列：2,2,3,3,4,4，就不是等比数列．
(2)0可以作为等比数列中的一项吗？
[提示] 不可以，由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比q也不能为0.
2．等比数列的通项公式
阅读教材P22“例1”以下至P23“例2”以上部分，完成下列问题．
(1)等比数列通项公式
首项为a1，公比是q的等比数列的通项公式是an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)．
(2)用函数的观点看等比数列的通项
等比数列{an}的图像是函数y＝eq \f(a1,q)·qx的图像上的一群孤立的点．
思考：(1)等比数列的通项公式一定是指数函数吗？
[提示] 不一定．只有当a1＝1，q＞0且q≠1时，其通项公式才是指数函数．
(2)若数列{an}的通项公式为an＝2n，那么{an}是等比数列吗？
[提示] 因为eq \f(an,an－1)＝eq \f(2n,2n－1)＝2，所以数列{an}是等比数列．
1．下面各数列成等比数列的是( )
①－1，－2，－4，－8，…；②1，－eq \r(3)，3，－3eq \r(3)，…；③x，x，x，x，…；④eq \f(1,a)，eq \f(1,a2)，eq \f(1,a3)，eq \f(1,a4)，….
A．①②③ B．①②
C．①②④D．①②③④
C [由等比数列的定义可知，对于③中的x，若x＝0，则不是等比数列．]
2．已知数列{an}为等比数列，若a1＝3，a5＝12，则公比q＝( )
A．eq \f(\r(2),2)B．±eq \f(\r(2),2)
C．eq \r(2)D．±eq \r(2)
D [由{an}为等比数列得a5＝a1·q4＝12，∴3×q4＝12，∴q＝±eq \r(2).故选D．]
3．已知{an}为等比数列，a1＝12，a2＝24，则a3＝( )
A．36B．48
C．60D．72
B [由a1＝12，a2＝24得q＝eq \f(a2,a1)＝2.
∴a3＝a2q＝24×2＝48.故选B．]
4．等比数列{an}的首项为2，公比为5，则数列{an}的通项公式为________．
an＝2×5n－1(n∈N＋) [数列{an}的通项公式为an＝2×5n－1
(n∈N＋)．]
【例1】 在等比数列{an}中．
(1)已知a2＝4，a5＝－eq \f(1,2)，求an；
(2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝eq \f(1,2)，求n.
[解] (1)法一：设等比数列的公比为q，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q＝4，,a1q4＝－\f(1,2).))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－8，,q＝－\f(1,2).))
∴an＝a1qn－1＝(－8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－4.
法二：设等比数列的公比为q，则eq \f(a5,a2)＝q3，
即q3＝－eq \f(1,8)，q＝－eq \f(1,2).
∴an＝a5qn－5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－4.
(2)法一：设等比数列的公比为q，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a31＋q3＝36，,a41＋q3＝18，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝32，,q＝\f(1,2).))从而a1＝eq \f(a3,q2)＝128.
由a1qn－1＝eq \f(1,2)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))8，得n＝9.
法二：设等比数列{an}的公比为q.
∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，∴q＝eq \f(18,36)＝eq \f(1,2).
∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18.
∴a4＝16，an＝a4·qn－4＝16·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－4.
由16·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－4＝eq \f(1,2)，得n－4＝5，∴n＝9.
等比数列通项公式的应用技巧
(1)a1和q是等比数列的基本元素，只要求出这两个基本元素，其余的元素便可求出．
(2)等比数列的通项公式涉及四个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个．
(3)在等比数列的计算问题中，经常使用方程的思想和整体代换的思想．
1．在等比数列{an}中．
(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；
(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an.
[解] (1)因为a3＝2，a5＝8，所以q2＝eq \f(a5,a3)＝eq \f(8,2)＝4，
所以a7＝a5·q2＝8×4＝32.
(2)由a3＋a1＝5，a5－a1＝15，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q2＋a1＝5， ①,a1q4－a1＝15， ②))
②÷①得q2－1＝3，q2＝4，a1＝1，
所以q＝2或－2，
当q＝2时，an＝2n－1，
当q＝－2时，an＝(－2)n－1.
【例2】 某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值；
(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
[解] (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，
a3＝10(1－10%)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9，
所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1.
所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1万元．
(2)当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1
＝7.29(万元)．
所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元．
1．等比数列应用题的两种常见类型
(1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立数学模型，如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．
(2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利用等比数列的通项公式解决．
2．解决应用题的步骤是：
eq \x(\a\al(构造,数列))→eq \x(\a\al(判断,数列))→eq \x(\a\al(寻找,条件))→eq \x(\a\al(建立,方程))→eq \x(\a\al(求解,方程))→eq \x(\a\al(正确,解答))
2．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)．
45 [由题意可得每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45分钟．]
[探究问题]
1．数列{an}的前n项和Sn，an，Sn－1有何关系？
[提示] 当n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
2．若数列{an}满足an＋2－1＝2(an＋1－1)，能够证明数列{an－1}是等比数列吗？
[提示] 不能，首先an＋2－1＝2(an＋1－1)只能说明a3－1＝2(a2－1)，a4－1＝2(a3－1)，…，即从第3项起，每一项与它前一项的比是同一个常数，所以还要看是不是有a2－1＝2(a1－1)成立；其次，a1－1≠0，a2－1≠0，即a1≠1，a2≠1，{an－1}才可能是等比数列．
【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn＋2＝
2an＋1.
(1)求a2，a3的值；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
思路探究：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去Sn，得到关于an的递推式，证明eq \f(an＋1,an)为常数即可．
[解] (1)因为a1＝1，且Sn＋2＝2an＋1，
所以a2＝eq \f(3,2)，S2＝eq \f(5,2)，a3＝eq \f(9,4).
(2)证明：当n≥2时，Sn－1＋2＝2an，
所以an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，
所以eq \f(an＋1,an)＝eq \f(3,2)(n≥2)，
又eq \f(a2,a1)＝eq \f(3,2)，所以eq \f(an＋1,an)＝eq \f(3,2)，
故数列{an}是以1为首项，eq \f(3,2)为公比的等比数列．
1．(变条件)把例3中的条件“a1＝1，且Sn＋2＝2an＋1”换为“Sn＝2n－1”，证明数列{an}是等比数列．
[证明] 因为数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，
所以，当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，综上所述，an＝2n－1.
所以an＋1＝2n，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2n,2n－1)＝2(常数)，
所以{an}是首项为1，公比为2的等比数列．
2．(变结论)在例3的条件下，证明数列{Sn＋2}为等比数列．
[证明] 因为an＋1＝Sn＋1－Sn，Sn＋2＝2an＋1，所以Sn＋2＝
2(Sn＋1－Sn)，即Sn＋1＝eq \f(3,2)Sn＋1，
所以eq \f(Sn＋1＋2,Sn＋2)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)Sn＋1))＋2,Sn＋2)＝eq \f(\f(3,2)Sn＋2,Sn＋2)＝eq \f(3,2)，
又S1＋2＝a1＋2＝3，
所以数列{Sn＋2}是首项为3，公比为eq \f(3,2)的等比数列．

判断一个数列{an}是等比数列的方法
(1)定义法：若数列{an}满足eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数且不为零)或eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(3)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．
[提醒] 应用定义法判断或证明一个数列是等比数列，应特别注意应用eq \f(an＋1,an)＝q与eq \f(an,an－1)＝q对n的取值要求不同．
1．等比数列定义的理解
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．
(2)eq \f(an＋1,an)均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒．
(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列．
2．由等比数列的概念可知，要判定一个数列是否为等比数列，只需看eq \f(an＋1,an)的值是否为不为零的常数即可．
3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列a，a2，a3，…，an，…是等比数列．( )
(2)常数列既是等差数列，又是等比数列．( )
(3)若数列{an}是等比数列，则{2an}也是等比数列．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)不正确，当a＝0时不是等比数列；(2)不正确，常数列0,0,0,0，…是等差数列，但不是等比数列；(3)正确．
2．若等比数列的首项为eq \f(9,8)，末项为eq \f(1,3)，公比为eq \f(2,3)，则这个数列的项数为( )
A．3 B．4
C．5D．6
B [因为eq \f(9,8)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n－1＝eq \f(1,3)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n－1＝eq \f(8,27)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3，所以n＝4.]
3．等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，则a1＝________.
eq \f(1,3) [由a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，得a1(1＋q)＝1，a1q(1＋q)＝2，解得a1＝eq \f(1,3).]
4．已知等比数列{an}中，a1＝eq \f(1,27)，a7＝27，求an.
[解] 由a7＝a1q6，得27＝eq \f(1,27)·q6，
所以q6＝272＝36，
所以q＝±3.
当q＝3时，an＝a1qn－1＝eq \f(1,27)×3n－1＝3n－4；
当q＝－3时，an＝a1qn－1＝eq \f(1,27)×(－3)n－1＝－(－3)－3·(－3)n－1＝－(－3)n－4.
故an＝3n－4或an＝－(－3)n－4.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解等比数列的定义．(重点)
2．掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)
3．熟练掌握等比数列的判定方法．(重点)
1.通过等比数列概念的学习培养学生的抽象素养．
2．借助于等比数列通项公式的学习提升学生的数学运算素养.
文字语言
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，公比常用字母q表示(q≠0)
符号语言
若eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q≠0)，则数列{an}为等比数列
等比数列的通项公式及应用
等比数列的实际应用
等比数列的判定与证明