数学必修 第二册6.2 平面向量的运算一课一练

这是一份数学必修 第二册6.2 平面向量的运算一课一练，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BA,\s\up7(→))＝0；
③eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(DC,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BD,\s\up7(→))．
A．②③ B．② C．① D．③
B [②错误，eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BA,\s\up7(→))＝0，①③正确．]
2．在四边形ABCD中，eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))，则一定有( )
A．四边形ABCD是矩形
B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是正方形
D．四边形ABCD是平行四边形
D [由eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))得eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故四边形ABCD为平行四边形．]
3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行eq \r(,3) km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋eq \r(,3))km
B [eq \(AB,\s\up7(→))＝a表示“向东航行1 km，eq \(BC,\s\up7(→))＝b表示“向北航行eq \r(,3) km”，根据三角形法则，
∴eq \(AC,\s\up7(→))＝a＋b，∵tan A＝eq \r(,3)，∴A＝60°，且eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \r(,\r(,3)2＋12)＝2(km)，
∴a＋b表示向北偏东30°方向航行2 km．]
4．已知向量，a，b均为非零向量，则下列说法不正确的个数是( )
①向量a与b反向，且|a|＞|b|，则向量a＋b与a的方向相同；
②向量a与b反向，且|a|＜|b|，则向量a＋b与a的方向相同；
③向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同．
A．0 B．1 C．2 D．3
B [对于②，向量a＋b与b的方向相同，故②说法不正确．分析知①③说法正确．]
5．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是共线向量且方向相反
C．a＝b
D．a，b无论什么关系均可
A [根据三角形法则可知，若非零向量a，b满足|a＋b|＝|a|＋|b|，则a∥b，且a与b方向相同．]
二、填空题
6．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是________．(填序号)
①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0．
③ [单位向量不一定相等或相反，也不一定共线，但其模为1，故只有③正确．]
7．如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N．绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N，则F1与F2的合力大小为________ N，方向为________．
12eq \r(3) 竖直向上 [以OA，OB为邻边作平行四边形BOAC，则F1＋F2＝F，
即eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))，
则∠OAC＝60°，
|eq \(OA,\s\up7(→))|＝24，|eq \(AC,\s\up7(→))|＝|eq \(OB,\s\up7(→))|＝12，
∴∠ACO＝90°，∴|eq \(OC,\s\up7(→))|＝12eq \r(3)．
∴F1与F2的合力大小为12eq \r(3) N，方向为竖直向上．]
8．如图所示，已知在矩形ABCD中，|eq \(AD,\s\up7(→))|＝4eq \r(3)，设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(BC,\s\up7(→))＝b，eq \(BD,\s\up7(→))＝c，则|a＋b＋c|＝________．
8eq \r(3) [a＋b＋c＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(BD,\s\up7(→))．
如图，延长BC至E，使CE＝BC，连接DE，
∵eq \(CE,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))，∴CEAD，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(DE,\s\up7(→))，∴eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(DE,\s\up7(→))＋eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(BE,\s\up7(→))，
∴|a＋b＋c|＝|eq \(BE,\s\up7(→))|＝2|eq \(BC,\s\up7(→))|＝2|eq \(AD,\s\up7(→))|＝8eq \r(3)．]
三、解答题
9．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且eq \(BP,\s\up7(→))＋eq \(CQ,\s\up7(→))＝0．
求证：eq \(AP,\s\up7(→))＋eq \(AQ,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))．
[证明] ∵eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BP,\s\up7(→))，
eq \(AQ,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CQ,\s\up7(→))，
∴eq \(AP,\s\up7(→))＋eq \(AQ,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(BP,\s\up7(→))＋eq \(CQ,\s\up7(→))．
又∵eq \(BP,\s\up7(→))＋eq \(CQ,\s\up7(→))＝0，∴eq \(AP,\s\up7(→))＋eq \(AQ,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))．
1．(多选题)若a＝(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→)))＋(eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(DA,\s\up7(→)))，b是任一非零向量，则下列结论正确的是( )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|
AC [∵a＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(DA,\s\up7(→))＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即A对；0＋b＝b，即B错，C对；D中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即D错．故选AC．]
2．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))|＝eq \r(2)，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
D [设线段BC的中点为O(图略)，由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知
|eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))|＝2|eq \(AO,\s\up7(→))|，又|eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))|＝eq \r(2)，
故|eq \(AO,\s\up7(→))|＝eq \f(\r(2),2)，又BO＝CO＝eq \f(\r(2),2)，
所以△ABO和△ACO都是等腰直角三角形，
所以△ABC是等腰直角三角形．]
3．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，则：
(1)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝________；
(2)eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(FE,\s\up7(→))＝________．
(1)eq \(OB,\s\up7(→)) (2)eq \(AD,\s\up7(→)) [(1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))．
(2)由题图可知，eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(FE,\s\up7(→))＝eq \(OD,\s\up7(→))＝eq \(AO,\s\up7(→))，
∴eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(FE,\s\up7(→))＝eq \(AO,\s\up7(→))＋eq \(OD,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))．]
4．若P为△ABC的外心，且eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(PB,\s\up7(→))＝eq \(PC,\s\up7(→))，则∠ACB＝________．
120° [因为eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(PB,\s\up7(→))＝eq \(PC,\s\up7(→))，则四边形APBC是平行四边形．
又P为△ABC的外心，
所以|eq \(PA,\s\up7(→))|＝|eq \(PB,\s\up7(→))|＝|eq \(PC,\s\up7(→))|．
因此∠ACB＝120°．]
在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O且|eq \(AB,\s\up7(→))|＝|eq \(AD,\s\up7(→))|＝1，eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OD,\s\up7(→))＝0，cs∠DAB＝eq \f(1,2)．求|eq \(DC,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))|与|eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))|．
[解] ∵eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OD,\s\up7(→))＝0，∴eq \(OA,\s\up7(→))＝eq \(CO,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(DO,\s\up7(→))．
∴四边形ABCD是平行四边形．
又|eq \(AB,\s\up7(→))|＝|eq \(AD,\s\up7(→))|＝1，知四边形ABCD为菱形．
又cs∠DAB＝eq \f(1,2)，∠DAB∈(0°，180°)，∴∠DAB＝60°，
∴△ABD为正三角形．
∴|eq \(DC,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))|＝|eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))|＝|eq \(AC,\s\up7(→))|＝2|eq \(AO,\s\up7(→))|＝eq \r(3)，|eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))|＝|eq \(BD,\s\up7(→))|＝|eq \(AB,\s\up7(→))|＝1.