北师大版 (2019)必修 第二册3.2 半角公式复习练习题

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册3.2 半角公式复习练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．tan 15°等于( )
A．2－ eq \r(3) B．－ eq \f(1,3)
C．－ eq \f(2,3) D．2＋ eq \r(3)
A [tan 15°＝ eq \r(\f(1－cs 30°,1＋cs 30°))＝2－ eq \r(3).]
2．sin x cs x＋sin2x可化为( )
A． eq \f(\r(2),2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋ eq \f(1,2) B． eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))－ eq \f(1,2)
C．sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋ eq \f(1,2) D．2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,4)))＋1
A [原式＝ eq \f(1,2)sin 2x＋ eq \f(1－cs 2x,2)＝ eq \f(1,2)sin 2x－ eq \f(1,2)cs 2x＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(\r(2),2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin 2x－\f(\r(2),2)cs 2x))＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(\r(2),2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋ eq \f(1,2).故选A.]
3．若α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)，2π))，则 eq \r(\f(1＋cs 2α,2))－ eq \r(\f(1－cs 2α,2))等于( )
A．cs α－sin α B．cs α＋sin α
C．－cs α＋sin α D．－cs α－sin α
B [∵α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)，2π))，∴sin α<0，cs α>0，则 eq \r(\f(1＋cs 2α,2))－ eq \r(\f(1－cs 2α,2))＝ eq \r(cs2α)－ eq \r(sin2α)＝|csα|－|sin α|＝cs α－(－sin α)＝cs α＋sin α.]
4．已知sin α＋cs α＝ eq \f(1,3)，则2cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝( )
A． eq \f(8,9) B． eq \f(17,18)
C．－ eq \f(8,9) D．－ eq \f(2,3)
C [∵sin α＋cs α＝ eq \f(1,3)，平方可得1＋sin 2α＝ eq \f(1,9)，可得sin 2α＝－ eq \f(8,9).
2cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝sin 2α＝－ eq \f(8,9).]
5．函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期和最大值分别为( )
A．π，1 B．π， eq \r(2)
C．2π，1 D．2π， eq \r(2)
A [∵y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin 2x cs \f(π,6)＋cs 2x sin \f(π,6)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 2x cs \f(π,3)－sin 2x sin \f(π,3)))＝cs 2x，
∴该函数的最小正周期为π，最大值为1.]
二、填空题
6．设5π＜θ＜6π，cs eq \f(θ,2)＝a，则sin eq \f(θ,4)的值为________．
－ eq \r(\f(1－a,2)) [sin2 eq \f(θ,4)＝ eq \f(1－cs\f(θ,2),2)，∵θ∈(5π，6π)，
∴ eq \f(θ,4)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2))).
∴sin eq \f(θ,4)＝－ eq \r(\f(1－cs \f(θ,2),2))＝－ eq \r(\f(1－a,2)).]
7．若3sin x－ eq \r(3)cs x＝2 eq \r(3)sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
－ eq \f(π,6) [∵3sin x－ eq \r(3)cs x＝2 eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin x－\f(1,2)cs x))＝2 eq \r(3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，因φ∈(－π，π)，∴φ＝－ eq \f(π,6).]
8．函数y＝ eq \f(\r(3),2)sin 2x＋cs2x的最小正周期为________．
π [y＝ eq \f(\r(3),2)sin2x＋cs2x＝ eq \f(\r(3),2)sin2x＋ eq \f(cs 2x＋1,2)＝ eq \f(\r(3),2)sin 2x＋ eq \f(1,2)cs 2x＋ eq \f(1,2)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋ eq \f(1,2)，所以该函数的最小正周期为π.]
三、解答题
9．化简： eq \f(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))－tan \f(α,2)·（1＋cs α）,\r(1－cs α))(0<α<π).
[解] ∵tan eq \f(α,2)＝ eq \f(sin α,1＋cs α)，∴(1＋cs α)tan eq \f(α,2)＝sin α.
又∵cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sin α，且1－cs α＝2sin2 eq \f(α,2)，
∴原式＝ eq \f(－sinα－sin α,\r(2sin2\f(α,2)))＝ eq \f(－2sinα,\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))＝－ eq \f(2\r(2)sin \f(α,2)cs \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)))).
∵0<α<π，∴0< eq \f(α,2)< eq \f(π,2)，∴sin eq \f(α,2)>0.
∴原式＝－2 eq \r(2)cs eq \f(α,2).
10．已知函数f(x)＝2sin x·cs x＋1－2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最大值与最小值．
[解] (1)因为f(x)＝sin2x＋cs 2x＝ eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为－ eq \f(π,3)≤x≤ eq \f(π,4)，
所以－ eq \f(5π,12)≤2x＋ eq \f(π,4)≤ eq \f(3π,4).
当2x＋ eq \f(π,4)＝ eq \f(π,2)，即x＝ eq \f(π,8)时，f(x)取得最大值 eq \r(2)；
当2x＋ eq \f(π,4)＝－ eq \f(5π,12)，即x＝－ eq \f(π,3)时，
f(x)min＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))＝－ eq \f(\r(3)＋1,2)，
即f(x)的最小值为－ eq \f(\r(3)＋1,2).
11．(多选题)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同族函数”．给出下列函数，其中与函数f(x)＝ eq \r(3)sin x－cs x是“同族函数”的是( )
A．f(x)＝2sin x·cs x＋1
B．f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
C．f(x)＝sin x＋ eq \r(3)cs x
D．f(x)＝ eq \r(2)sin 2x＋1
BC [f(x)＝ eq \r(3)sin x－cs x＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，
A式化简为f(x)＝sin 2x＋1，
C式化简为f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，
显然A中的周期、D中的振幅和周期与已知函数不符，B、C符合．]
12. 设函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋θ))－ eq \r(3)cs ( eq \f(1,2)x＋θ)(|θ|< eq \f(π,2))的图象关于y轴对称，则θ＝( )
A．－ eq \f(π,6) B． eq \f(π,6)
C．－ eq \f(π,3) D． eq \f(π,3)
A [f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋θ))－ eq \r(3)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋θ))＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋θ－\f(π,3)))，
由题意可得f(0)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝±2，
即sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝±1，∴θ－ eq \f(π,3)＝ eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，
∴θ＝ eq \f(5π,6)＋kπ(k∈Z).
∵|θ|< eq \f(π,2)，
∴k＝－1时，θ＝－ eq \f(π,6).]
13. 函数f(x)＝sin2x＋ eq \r(3)csx－ eq \f(3,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))的最大值是________．
1 [由题意可得f(x)＝－cs2x＋ eq \r(3)csx＋ eq \f(1,4)
＝－(cs x－ eq \f(\r(3),2))2＋1.
∵x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs x∈[0，1]. ∴当cs x＝ eq \f(\r(3),2)，即x＝ eq \f(π,6)时，f(x)max＝1.]
14．已知A＋B＝ eq \f(2π,3)，那么cs2A＋cs2B的最大值是________，最小值是________．
eq \f(3,2) eq \f(1,2) [∵A＋B＝ eq \f(2π,3)，∴cs2A＋cs2B＝ eq \f(1,2)(1＋cs2A＋1＋cs 2B)＝1＋ eq \f(1,2)(cs 2A＋cs 2B)
＝1＋cs (A＋B)cs (A－B)＝1＋cs eq \f(2π,3)cs (A－B)＝1－ eq \f(1,2)cs (A－B)，
∴当cs (A－B)＝－1时，原式取得最大值 eq \f(3,2)；
当cs (A－B)＝1时，原式取得最小值 eq \f(1,2).]
15. 某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100 米，宽BC＝50 eq \r(3) 米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
(1)设∠CHE＝x(弧度)，试将三条路的全长(即△HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；
(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值： eq \r(3)取1.732， eq \r(2)取1.414).
[解] (1)∵在Rt△CHE中，CH＝50，∠C＝90°，
∠CHE＝x，∴HE＝ eq \f(50,cs x).
在Rt△HDF中，HD＝50，∠D＝90°，∠DFH＝x，
∴HF＝ eq \f(50,sin x).
又∠EHF＝90°，∴EF＝ eq \f(50,sin x cs x)，
∴三条路的全长(即△HEF的周长)L＝ eq \f(50（sin x＋cs x＋1）,sin x cs x).
当点F在A点时，这时角x最小，求得此时x＝ eq \f(π,6)；
当点E在B点时，这时角x最大，求得此时x＝ eq \f(π,3).
故此函数的定义域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))).
(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF的周长L的最小值即可．
由(1)得L＝ eq \f(50（sin x＋cs x＋1）,sin x cs x)，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，
设sin x＋cs x＝t，则sin x cs x＝ eq \f(t2－1,2)，∴L＝ eq \f(50（t＋1）,\f(t2－1,2))＝ eq \f(100,t－1).
由t＝sin x＋cs x＝ eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，得 eq \f(\r(3)＋1,2)≤t≤ eq \r(2)，
从而 eq \r(2)＋1≤ eq \f(1,t－1)≤ eq \r(3)＋1，
当x＝ eq \f(π,4)，即CE＝50时，Lmin＝100( eq \r(2)＋1)，
当CE＝DF＝50 米时，铺路总费用最低，最低总费用为96 560 元．