2020-2021学年1.1 条件概率的概念课时练习

章末综合测评(五)　概率

(满分：150分时间：120分钟)

一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)

1．一个袋中有5个白球和3个红球，从中任取3个，则下列叙述中是离散型随机变量的是(　　)

A．所取球的个数

B．其中所含白球的个数

C．所取白球和红球的总数

D．袋中球的总数

B　[A、C选项中所取球的个数是常数3；D选项中球的总数是常数8；只有B选项中所取3球中所含白球的个数是可以一一列举的变量，故应选B．]

2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则p1等于(　　)

A．0　　　　B．　　　　C．　　　　D．1

B　[由分布列性质得＋＋p1＝1，解得p1＝．]

3．投掷3枚质地均匀的硬币，至少有一枚正面向上的概率是(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

D　[至少有一枚正面向上的对立事件为“三枚均为反面向上”，其概率为＝，

∴所求概率为1－＝．]

4．在比赛中，如果运动员A胜运动员B的概率是，假设每次比赛互不影响，那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

B　[所求概率为C××＝．]

5．一个口袋装有2个白球和3个黑球，第一次摸出1个白球后放回，则再摸出1个白球的概率是(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

C　[由于是有放回摸球，所以第二次摸出1个白球，与第一次摸出白球无关，即相互独立，所以第二次摸出白球的概率为．]

6．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

D　[P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝×＝．]

7．某校高考数学成绩近似地服从正态分布N(100，102)，则该校数学成绩不低于120分的考生占总人数的百分比为(　　)

A．46%　　B．23%　　C．2.3%　　D．4.6%

C　[∵P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%，

∴P(80<X<120)＝95.4%，2P(X≥120)＝1－P(80<X<120)＝4.6%，

∴P(X≥120)＝2.3%．]

8．某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是(　　)

A．3　　B．　　C．2　　D．

B　[在一轮投篮中，甲通过的概率为p＝，不通过的概率为．

由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的取值分别为0，1，2，3，

则P(X＝0)＝＝；

P(X＝1)＝C××＝；

P(X＝2)＝C××＝；

P(X＝3)＝．

∴随机变量X的分布列为

数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝，或由二项分布的期望公式可得EX＝．]

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)

9．下列结论正确的是(　　)

A．若a是常数，则Ea＝a

B．若X～B(n，p)，则EX＝np

C．若X～H(N，M，n)，则EX＝

D．若X～N(μ，σ2)是常数，则EX＝μ

[答案]　ABCD

10．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X，已知EX＝3，下列结论正确的是(　　)

A．m＝2 B．E(2X＋1)＝7

C．DX＝ D．D(2X＋1)＝

ABC　[由题意，X～B，又EX＝＝3，∴m＝2，

则X～B，故DX＝5××＝．

所以E(2X＋1)＝2EX＋1＝7 ；D(2X＋1)＝4DX＝．]

11．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，三人各答一次，则下列结论正确的是(　　)

A．三人中都及格的概率为

B．三人中没有1人及格的概率为

C．三人中至少有1人及格的概率为

D．三人中只有1人及格的概率为

ABCD　[三人中都及格的概率为××＝；

三人中没有1人及格的概率为××＝；

三人中至少有1人及格的概率为1－＝；

三人中只有1人及格的概率为××＋××＋××＝．]

12．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是(　　)

A．P(B)＝

B．P(B|A1)＝

C．事件B与事件A1相互独立

D．A1，A2，A3是两两互斥的事件

BD　[由题意知P(B)的值是由A1，A2，A3中某一个事件发生所决定的，故AC错误；

∵P(B|A1)＝＝＝，故B正确；

由互斥事件的定义知D正确．]

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

13．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________．

2．376　[X的可能取值为3，2，1，0．

P(X＝3)＝0.6，P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24，P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096，P(X＝0)＝0.43＝0.064．

所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376．]

14．袋中有大小相同的4个红球，6个白球，每次从中摸取一球，每个球被取到的可能性相同，现不放回地取3个球，则在前两次取出的是白球的前提下，第三次取出红球的概率为________．

　[设第三次取出红球为事件A，前两次取出白球为事件B，

∵P(B)＝＝，P(AB)＝＝．∴P(A|B)＝＝＝．]

15．甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是_____________．

0.18　[甲队要以4∶1获胜，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2个客场，于是分两种情况：

C·0.6·0.4·0.52·0.6＋0.62·C·0.5·0.5·0.6＝0.18．]

16．10根大小形状完全相同的签中有3根彩签，若甲先抽一签，然后由乙再抽一签，则甲抽中彩签的概率为________；甲、乙都抽中彩签的概率为________；乙抽中彩签的概率为________．

　　　[设事件A为“甲抽中彩签”，事件B为“乙抽中彩签”，事件C为“甲、乙都抽中彩签”，且C＝AB，则P(A)＝，P(C)＝P(AB)＝×＝，P(B)＝P(AB＋B)＝P(AB)＋P(B)＝＋×＝．]

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60，100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．

(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？

(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？

[解]　设学生的得分情况为随机变量X，X～N(60，100)．则μ＝60，σ＝10．

(1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝0.997 4．

∴P(X＞90)＝[1－P(30＜X≤90)]＝0.001 3，

∴学生总数为：＝10 000(人)．

(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8．

设分数线为x．则P(X≥x0)＝0.022 8．

∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4．

又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4．

∴x0＝60＋2×10＝80(分)．

即受奖学生的分数线为80分．

18．(本小题满分12分)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．

(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；

(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

[解]　(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝＝．

所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为．

(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．

P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝．

所以随机变量X的分布列是

故随机变量X的数学期望EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝．

19．(本小题满分12分)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：

(1)5次预报中恰有2次准确的概率；

(2)5次预报中至少有2次准确的概率；

(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．

[解]　(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8，5次预报相当于5次独立重复试验，

2次准确的概率为P＝C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，

因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05．

(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，

其概率为P＝C×(0.2)5＋C×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01．

所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99．

所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99．

(3)说明第1，2，4，5次中恰有1次准确．

所以概率为P＝C×0.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02，

所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02．

20．(本小题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．

(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；

(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．

[解]　(1)由题设知，X的可能取值为10，5，2，－3，且

P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，

P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，

P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，

P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02．

由此得X的分布列为

(2)设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有(4－n)件．

由题设知4n－(4－n)≥10，解得n≥．

又n∈N，得n＝3，或n＝4．所以P＝C×0.83×0.2＋C×0.84＝0.819 2．

故所求概率为0.819 2．

21．(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

(1)将T表示为X的函数；

(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；

(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)．求T的数学期望．

[解]　(1)当X∈[100，130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000．

当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65 000．

所以T＝

(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150．

由直方图知需求量X∈[120， 150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7．

(3)依题意可得T的分布列为

所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400．

22．(本小题满分12分)某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能：10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5．假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱，现处理价格为每箱8 400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格期望作为决策依据．

(1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；

(2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．

①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X，求X的分布列和数学期望；

②若已发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，判断是否可以购买．

[解]　(1)在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望为100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8 500，

∵8 500＞8 400，∴在不开箱检验的情况下，可以购买．

(2)①X的可能取值为0，1，2，

P(X＝0)＝C×0.20×0.82＝0.64，

P(X＝1)＝C×0.21×0.81＝0.32，

P(X＝2)＝C×0.22×0.80＝0.04，

∴X的分布列为

EX＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4．

②设事件A：发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，

则P(A)＝C×0.2×0.8×0.5＋C×0.1×0.9×0.5＝0.25，

一箱产品中，设正品的价格期望为η元，则η＝8 000，9 000，

设事件B1：抽取废品率为20%的一箱，

则P(η＝8 000)＝P(B1|A)＝＝＝0.64，

设事件B2：抽取废品率为10%的一箱，

则P(η＝9 000)＝P(B2|A)＝＝＝0.36，

∴Eη＝8 000×0.64＋9 000×0.36＝8 360，

∵8 360＜8 400，

∴已发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，则不可以购买．