高中数学1.2 一元线性回归方程巩固练习

课后素养落实(四十六)　一元线性回归

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下表是X和Y之间的一组数据，则Y关于X的回归直线必过点(　　)

A．(2，3)　　B．(1.5，4)　　C．(2.5，4)　　D．(2.5，5)

C　[线性回归方程必过样本点的中心(，)，即(2.5，4)，故选C．]

2．已知变量x和y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　　)

A．Y＝0.4X＋2.3 B．Y＝2X－2.4

C．Y＝－2X＋95 D．Y＝－0.3X＋4.4

A　[因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D．

因为样本点的中心在回归直线上，把点(3，3.5)的坐标分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B，故选A．]

3．已知线性回归方程Y＝4.4X＋0.5．则可估计x与y的增长速度之比约为(　　)

A．　　B．　　C．　　D．2

A　[x每增长1个单位，y增长4.4个单位，故增长的速度之比约为＝，

事实上所求的比值为回归直线方程斜率的倒数．]

4．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到回归直线方程Y＝bX＋a，那么下列说法中不正确的是(　　)

A．直线Y＝bX＋a必经过点(，)

B．直线Y＝bX＋a至少经过点(x1，y1)(x2，y2)，…，(xn，bn)中的一个点

C．直线Y＝bX＋a的斜率为

D．直线Y＝bX＋a的纵截距为－b

B　[回归直线可以不经过任何一个点．∴B错误；由a＝－b代入回归直线方程Y＝bX＋－b，即y＝b(X－)＋过点(，)，故A正确；由a，b计算公式可知，CD正确．]

5．一位母亲记录了儿子3岁～9岁的身高，由此建立的身高Y(单位：cm)与年龄X(单位：岁)的回归模型为Y＝7.19X＋73.93．用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则下列叙述正确的是(　　)

A．身高一定是145.83 cm

B．身高在145.83 cm以上

C．身高在145.83 cm以下

D．身高在145.83 cm左右

D　[x＝10时，y＝7.19×10＋73.93＝145.83，但这是预测值，而不是精确值，所以只能选D．]

二、填空题

6．从某大学随机选取8名女大学生，其身高X(cm)和体重Y(kg)的线性回归方程为Y＝0.849X－85.712，则身高172 cm的女大学生，由线性回归方程可以预测其体重约为________．

60.316 kg　[将x＝172代入线性回归方程，有y＝0.849×172－85.712＝60.316(kg)．]

7．在一次实验中，测得(x，y)的四组值分别是A(1，2)，B(2，3)，C(3，4)，D(4，5)，则y与x之间的线性回归方程为________．

Y＝X＋1　[通过检验A，B，C，D四点共线，都在直线y＝x＋1上．]

8．对具有线性相关关系的变量X和Y，由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2，3)点，则这条回归直线的方程为________．

Y＝－10＋6.5X　[由题意知＝2，＝3，b＝6.5，所以a＝－b＝3－6.5×2＝－10，即回归直线的方程为Y＝－10＋6.5X．]

三、解答题

9．某公司的生产部门调研发现，该公司第二，三季度的月用电量与月份线性相关，且数据统计如下：

但核对电费报表时发现一组数据统计有误．

(1)请指出哪组数据有误，并说明理由；

(2)在排除有误数据后，求月用电量与月份之间的回归方程Y＝bX＋a，并预测统计有误那个月份的用电量．(结果精确到0.1)

[解]　(1)作散点图如图所示．因为用电量与月份之间线性相关，所以散点图的样本点分布在回归直线附近比较窄的带状区域内，而点(7，55)离其他点所在区域较远，故(7，55)这组数据有误．

(2)排除(7，55)这一组有误数据后，计算得＝6.4，＝30.2．

因为＝≈9.98，＝－≈－33.67，

所以回归方程为Y＝9.98X－33.67，

当x＝7时，y≈36.2，即7月份的用电量大约为36.2千瓦时．

10．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

(1)求回归直线方程Y＝bX＋a，其中b＝－20，a＝－b；

(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)

[解]　(1)由于＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80．

所以a＝－b＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为Y＝－20X＋250．

(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得

L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)

＝－20x2＋330x－1 000

＝－20＋361.25．

当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．

故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．

11．根据如下样本数据

得到的回归方程为Y＝bX＋a，则(　　)

A．a>0，b>0 B．a>0，b<0

C．a<0，b>0 D．a<0，b<0

B　[由表中数据画出散点图，如图，

由散点图可知b<0，a>0．]

12．蟋蟀鸣叫是大自然优美、和谐的音乐，事实上蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系，某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x回归方程＝0.25x＋，

则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时气温的预报值为(　　)

A．33℃　　B．34℃　　C．35℃　　D．35.5℃

B　[＝＝40，＝＝30，又＝0.25＋，则＝20，

所以y＝0.25x＋20，所以当x＝56时，y＝34．]

13．(多选题)下列结论正确的是(　　)

A．函数关系是一种确定性关系

B．相关关系是一种非确定性关系

C．回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法

D．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法

ABD　[函数关系和相关关系的区别是前者是确定性关系，后者是非确定性关系，故AB正确；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，故C错误，D正确．]

14．以＝cekx拟合一组数据时，经z＝ln y代换后的线性回归方程为＝0.3x＋4，则c＝________，k＝________．

e4　0.3　[因为＝cekx，所以ln ＝ln(cekx)＝ln c＋ln ekx＝ln c＋kx，令z＝ln y，

则＝ln c＋kx，又＝0.3x＋4，所以ln c＝4，k＝0.3，则c＝e4，k＝0.3．]

15．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日每天的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：

该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．

(1)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出Y关于X的线性回归方程Y＝bX＋a；

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？

[解]　(1)由数据求得，＝12，＝27．

由公式求得，＝，＝－＝－3．

所以Y关于X的线性回归方程为Y＝X－3．

(2)当x＝10时，y＝×10－3＝22，|22－23|＜2；

当x＝8时，y＝×8－3＝17，|17－16|＜2．

所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的．