数学苏教版 (2019)7.2 三角函数概念课时练习

课后素养落实(三十五)　三角函数的周期性

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(多选题)下列函数中，周期为的是(　　)

A．y＝sin 2x   B．y＝cos 4x

C．y＝tan 2x   D．y＝|sin 2x|

BCD　[A中周期为T＝＝π，B、C、D周期均为.]

2．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为2.则f 的值为(　　)

A．   B． 

C．－   D．－

D　[函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为2，则＝2，解得ω＝π.

所以f ＝sin＝sin ＝－sin＝－.]

3．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝(　　)

A．1   B．－1

C．3   D．－3

B　[∵f(x＋5)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，

∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，

f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，

∴f(3)－f(4)＝－2＋1＝－1.]

4．函数y＝sin的周期不大于4，则正整数k的最小值为(　　)

A．2   B．3

C．4   D．5

C　[由T＝得T＝＝.

∵T≤4，∴≤4，∴k≥π，

∴正整数k的最小值为4.]

5．设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈时，f(x)＝sin x；当x∈时，f(x)＝cos x，则f ＝(　　)

A．－   B．

C．   D．－

A　[∵T＝π，x∈时，f(x)＝cos x，

∴f ＝f ＝f ＝cos

＝cos＝－cos ＝－.]

二、填空题

6．若f(x)＝2sin (ω>0)的最小正周期为，则g(x)＝tan(ω>0)的最小正周期为________．

　[由正弦函数的周期定义可得＝，解得ω＝8.

所以正切函数的最小正周期为＝.]

7．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．

6　[T＝，又T∈(1,3)，∴1<<3，又ω∈N*，则ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为6.]

8．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(x)的周期为________，f(2 020)＝________.

6　2　[∵f(x＋3)＝，

∴f(x＋6)＝＝f(x)，∴f(x)的周期T＝6，

∴f(2 020)＝f(336×6＋4)＝f(4)．

又f(4)＝f(1＋3)＝＝2，

∴f(2 020)＝2.]

三、解答题

9．已知函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数．

(1)求f(4)的值；

(2)若－2≤x≤－1时，f(x)＝sin＋1，求2≤x≤3时，f(x)的解析式．

[解]　(1)∵函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0.

(2)设2≤x≤3，则－2≤－4＋x≤－1，

∴f(－4＋x)＝sin＋1＝sinx＋1，

∴f(x)＝f(－4＋x)＝sinx＋1.

10．若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：

(1)单摆运动的周期是多少？

(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？

(3)当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？

[解]　(1)从题图可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.

(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动．

(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm.

1．(多选题)下列是定义在R上的四个函数的图象的一部分，其中是周期函数的是(　　)

ABC　[根据周期函数图象特征可知A、B、C都是周期函数，D不是周期函数．]

2．已知函数f(x)＝sin ，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝(　　)

A．   B．－

C. －   D．0

D　[f(x)的周期T＝＝6，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝sin ＋sin ＋sin π＋sin ＋sin ＋sin 2π＝0.

原式＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(1)＋f(2) ＋f(3)＋f(4) ＋f(5)＝0.故选D.]

3．设函数f(x)＝3sin，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f ＝，则sin α的值为________．

±　[∵f(x)的最小正周期为，ω>0，

∴ω＝＝4.

∴f(x)＝3sin.

由f＝3sin＝3cos α＝，

∴cos α＝.

∴sin α＝±＝±.]

4．定义在R上的函数f(x)(x∈R)既是奇函数又是周期函数，若f(x)(x∈R)的最小正周期是π，且x∈时f(x)＝sin x，则f ＝________，方程f(x)＝0的解集为________．

－　.　[定义在R上的函数f(x)(x∈R)既是奇函数又是周期函数，最小正周期是π，

且x∈时f(x)＝sin x，

故x∈时，f(x)＝sin x.

则f ＝f ＝f ＝－f ＝－sin＝－.

∵f ＝f ＝f ＝－f ，

∴f ＝0，∴f ＝0，k∈Z.

故f(x)＝，如图，

故f(x)＝0的解集为.]

已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．

(1)求证：函数f(x)是周期函数；

(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．

[解]　(1)证明：∵f(x＋2)＝－，

∴f(x＋4)＝－

＝－＝f(x)，

∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．

(2)∵4是f(x)的一个周期，

∴f(5)＝f(1)＝－5，

∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)

＝－＝－＝.