高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试一课一练

单元素养评价(三)(第三章)

(120分钟　150分)

一、单选题(每小题5分，共40分)

1．若点P到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是(　　)

A．y2＝－16x　    B．y2＝－32x

C．y2＝16x　    D．y2＝32

【解析】选C.因为点P到点(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，所以将直线x＋5＝0右移1个单位，得直线x＋4＝0，即x＝－4，易知点P到直线x＝－4的距离等于它到点(4，0)的距离．

根据抛物线的定义，可知P的轨迹是以点(4，0)为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线．

设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，可得＝4，得2p＝16，所以抛物线的标准方程为y2＝16x，

即P点的轨迹方程为y2＝16x.

2．(2020·合肥高二检测)双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于(　　)

A．17    B．15    C．9    D．7

【解析】选A.因为4x2－y2＋64＝0，所以－＝1，

所以双曲线上一点P到两个焦点距离之差的绝对值为2×8＝16，

因为点P到双曲线的一个焦点的距离等于1，所以点P到另一个焦点的距离等于17.

3．(2020·北京高二检测)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2π，且短轴长为2，则C的标准方程为(　　)

A．＋y2＝1    B．＋＝1

C．＋＝1    D．＋＝1

【解析】选B.由题意可得

解得a＝2，b＝，因为椭圆C的焦点在x轴上，

所以C的标准方程为＋＝1.

4．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(　　)

A．x2＝2y－1　    B．x2＝2y－

C．x2＝y－　    D．x2＝2y－2

【解析】选A.设P(x0，y0)，PF的中点为(x，y)，

则y0＝x，又F(0，1)，

所以

所以代入y0＝x得2y－1＝(2x)2，

化简得x2＝2y－1.

5．已知双曲线C：－＝1的上、下焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若＝14，则＝(　　)

A．38    B．24    C．38或10    D．24或4

【解析】选B.由题意可得a＝5，b＝12，c＝13，

因为＝14<a＋c＝18，所以点P在双曲线C的下支上，

则－＝2a＝10，故＝24.

6．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且＝2，则椭圆C的离心率为(　　)

A．    B．    C．    D．3

【解析】选A.

如图，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，B(0，b)为上顶点，F(c，0)为右焦点，设D(x，y)，由＝2，

得(c，－b)＝2(x－c，y)，即

解得所以D.

因为点D在椭圆上，所以＋＝1，

解得a2＝3c2，即e2＝，所以e＝.

7．(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)

A．4    B．8    C．16    D．32

【命题意图】本题考查双曲线的焦距、双曲线渐近线、基本不等式等知识，意在考查学生的运算求解能力．

【解析】选B. 双曲线C：－＝1的两条渐近线方程为y＝±x，

将x＝a与双曲线渐近线方程联立，令D和E坐标分别为D(a，b)，E(a，－b)，

所以△ODE的面积为ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，

当且仅当a＝b＝2时，等号成立，

所以c≥4，则焦距2c的最小值为8.

8．已知点E是抛物线C：y2＝2px(p＞0)的对称轴与准线的交点，点F为抛物线C的焦点，点P在抛物线C上，在△EFP中，若sin ∠EFP＝μ·sin ∠FEP，则μ的最大值为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选C.过P(x轴上方)作准线的垂线，垂足为H，

则由抛物线的定义可得|PF|＝|PH|，

由sin ∠EFP＝μ·sin ∠FEP，则在△PFE中由正弦定理可知：|PE|＝μ|PF|，所以|PE|＝μ|PH|，

设PE的倾斜角为α，

则cos α＝＝，

当μ取得最大值时，cos α最小，此时直线PE与抛物线相切，设直线PE的方程为x＝ty－，

则联立直线与抛物线

即y2－2pty＋p2＝0，

所以Δ＝4p2t2－4p2＝0，所以t＝1，

即tan α＝1，则cos α＝，则μ的最大值为.

二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程可以为(　　)

A．＋＝1    B．＋＝1

C．＋＝1    D．＋＝1

【解析】选BD.2c＝6，所以c＝3，2a＋2b＝18，a2＝b2＋c2，所以所以椭圆方程为＋＝1或＋＝1.

10．在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的斜率之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则(　　)

A．曲线E经过坐标原点

B．曲线E关于x轴对称

C．曲线E关于y轴对称

D．若点(x，y)在曲线E上，则－1≤x≤1

【解析】选BC.设P，则kPF1·kPF2＝·＝＝8，则x2－＝1(y≠0).

故轨迹为焦点在x轴上的双曲线去除顶点．

故曲线E不经过原点，A错误；曲线E关于x轴对称，关于y轴对称，BC正确；

若点(x，y)在曲线E上，则1<x或x<－1，D错误．

11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3，1)射入，经过抛物线上的点P(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点Q(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是(　　)

A．x1x2＝1     B．kPQ＝－

C．|PQ|＝    D．l1与l2之间的距离为4

【解析】选ABC.如图所示，由抛物线的光学性质可知，直线PQ过焦点F(1，0)，所以x1x2＝＝1，即选项A正确；

由题意可得，点P的坐标为，点Q的坐标为(4，－4)，

所以kPQ＝＝－，即选项B正确；

由抛物线的定义可知，|PQ|＝x1＋x2＋p＝＋4＋2＝，即选项C正确；因为l1与l2平行，所以l1与l2之间的距离d＝|y1－y2|＝5，即选项D错误．

12．(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知曲线C：mx2＋ny2＝1(　　)

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x

D．若m＝0，n>0，则C是两条直线

【命题意图】本题考查椭圆、双曲线和圆的方程，考查分类讨论思想，体现了数学抽象和逻辑推理等核心素养．

【解析】选ACD. 因为m>n>0，则>>0，所以＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，故A项正确；当m＝n>0时，x2＋y2＝表示半径为的圆，故B项错误；当mn<0时，曲线mx2＋ny2＝1表示双曲线，由mx2＋ny2＝0得＝－，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，故C项正确；

当m＝0，n>0时，由y2＝，得y＝±，

所以曲线表示两条直线，故D项正确．

三、填空题(每小题5分，共20分)

13．(2020·北京高考)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．

【解析】在双曲线C中，a＝，b＝，则c＝＝3，则双曲线C的右焦点坐标为，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为＝.

答案：　

14．已知抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，A，B为抛物线上的点，若△OAB为等边三角形，且面积为48，则p的值为________．

【解析】设B(x1，y1)，A(x2，y2)，

因为|OB|＝|OA|，所以x＋y＝x＋y.

又y＝2px1，y＝2px2，

所以x－x＋2p(x2－x1)＝0，

即(x2－x1)(x1＋x2＋2p)＝0.

又x1，x2与p同号，

所以x1＋x2＝2p≠0.所以x2－x1＝0，即x1＝x2.

根据抛物线对称性可知点B，A关于x轴对称，

由△OAB为等边三角形，不妨设直线OB的方程为y＝x，

由，解得B(6p，2p)，

所以＝＝4p.

因为△OAB的面积为48，所以×(4p)2＝48，

解得p2＝4，所以p＝2.

答案：2

15．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________.

【解析】设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，F2的坐标为(c，0)，P点坐标为(不妨取第一象限内点P)，

由题意知|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c，a2－c2＝2ac，

＋2－1＝0，解得＝±－1，负值舍去，

所以e＝＝－1.

答案：－1

16．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为________．

【解析】根据题意，得a2＝9，b2＝16，

所以c＝＝5，且A(3，0)，F(5，0).

因为双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.

所以直线BF的方程为y＝±(x－5).

①若直线BF的方程为y＝(x－5)，

与渐近线y＝－x交于点B，

此时S△AFB＝|AF|·|yB|＝×2×＝；

②若直线BF的方程为y＝－(x－5)，与渐近线y＝x交于点B.

此时S△AFB＝|AF|·|yB|＝×2×＝.

因此，△AFB的面积为.

答案：

四、解答题(共70分)

17．(10分)给定抛物线C：y2＝4x，F是抛物线C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．若|FA|＝2|BF|，求直线l的方程．

【解析】显然直线l的斜率存在，故可设直线l：y＝k(x－1)，

联立消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，故x1＝，①

又|FA|＝2|BF|，所以＝2，

则x1－1＝2(1－x2)②

由①②得x2＝(x2＝1舍去)，

所以B，得直线l的斜率为k＝kBF＝±2，

所以直线l的方程为y＝±2(x－1).

18．(12分)(2020·天津高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点．

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点C满足3＝，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．

【解析】(1)因为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，－3)，

所以b＝3，由|OA|＝|OF|，得c＝b＝3，又由a2＝b2＋c2，得a2＝32＋32＝18，所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，

所以CP⊥AB，

根据题意可知，直线AB和直线CP的斜率均存在，

设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＋3＝kx，即y＝kx－3，

联立得方程组

消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，解得x＝0或x＝.

将x＝代入y＝kx－3，得y＝k·－3＝，

所以，点B的坐标为，因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，所以点P的坐标为，由3＝，得点C的坐标为(1，0)，所以，直线CP的斜率为kCP＝＝，

又因为CP⊥AB，所以k·＝－1，

整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝或k＝1.

所以，直线AB的方程为y＝x－3或y＝x－3.

19．(12分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．

【解析】①焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，且c＝.

设双曲线为－＝1(m>0，n>0)，m＝a－4.

因为＝，所以＝，解得a＝7，m＝3.

因为椭圆和双曲线的半焦距为，

所以b2＝36，n2＝4.所以椭圆方程为＋＝1，

双曲线方程为－＝1.

②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.

20．(12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0).

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．

【解析】(1)由题设知

解得a＝2，b＝，c＝1，

所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，

所以圆心到直线l的距离d＝，

由d<1得|m|<.　(*)

所以|CD|＝2＝2

＝.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得x2－mx＋m2－3＝0，

由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.

所以|AB|＝

＝.

由＝，得＝1，

解得m＝±，满足(*).

所以直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.

21．(12分)已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F.

(1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P，Q两点，若|PQ|＝，求抛物线C的方程．

(2)过点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线x＝－p相交于M，N两点，试判断△ABO与△MNO的面积之比是否为定值，并说明理由．

【解析】(1)设直线PQ的倾斜角为α，

由题意得tan α＝，α＝60°，

由抛物线的焦点弦公式得

|PQ|＝＝＝＝⇒p＝2，

所以C的方程为y2＝4x.

(2)△ABO与△MNO的面积之比为，理由如下：

设AB的方程为x＝ty＋，

代入y2＝2px得y2－2pty－p2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1y2＝－p2，x1x2＝·＝＝.

因为∠AOB＝∠MON，

所以＝

＝·＝·＝＝.

22．(12分)(2020·全国Ⅲ卷)已知椭圆＋＝1(0＜m＜5)的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．

(1)求C的方程；

(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且＝，BP⊥BQ，求△APQ的面积．

【解析】(1)因为C：＋＝1(0＜m＜5)，

所以a＝5，b＝m，

根据离心率e＝＝＝

＝，解得m＝或m＝－(舍)，

所以C的方程为：＋＝1，即＋＝1.

(2)不妨设P，Q在x轴上方，因为点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，过点P作x轴垂线，交点为M，设x＝6与x轴交点为N，根据题意画出图形，如图

因为|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，∠PMB＝∠QNB＝90°，

又因为∠PBM＋∠QBN＝90°，∠BQN＋∠QBN＝90°，

所以∠PBM＝∠BQN，所以△PMB≌△BNQ，

因为＋＝1，所以B(5，0)，

所以＝＝6－5＝1，

设P点为(xP，yP)，可得P点纵坐标为yP＝1，将其代入＋＝1，

可得＋＝1，解得：xP＝3或xP＝－3，

所以P点为(3，1)或(－3，1)，

①当P点为(3，1)时，故＝5－3＝2，

因为△PMB≌△BNQ，所以|MB|＝|NQ|＝2，

可得：Q点为(6，2)，画出图象，如图

因为A(－5，0)，Q(6，2)，可求得直线AQ的直线方程为：2x－11y＋10＝0，

根据点到直线的距离公式可得P到直线AQ的距离为：

d＝＝＝，

根据两点间距离公式可得：

＝＝5，

所以△APQ面积为：×5×＝；

②当P点为(－3，1)时，故＝5＋3＝8，

因为△PMB≌△BNQ，所以|MB|＝|NQ|＝8，

可得：Q点为(6，8)，画出图象，如图

因为A(－5，0)，Q(6，8)，可求得直线AQ的直线方程为：8x－11y＋40＝0，

根据点到直线的距离公式可得P到直线AQ的距离为：

d＝＝＝，

根据两点间距离公式可得：

＝＝，

所以△APQ面积为：××＝，

综上所述，△APQ面积为.