高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第一节函数及其表示课时规范练理含解析新人教版

第一节 函数及其表示

[A组　基础对点练]

1．函数f(x)＝＋lg (3－x)的定义域是(　　)

A．(3，＋∞)     B．(2，3)

C．[2，3)     D．(2，＋∞)

解析：由题意得解得2＜x＜3.

答案：B

2．若函数y＝f(x)的定义域是[0，3]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)

A．[0，1)     B．[0，1]

C．[0，1)∪(1，9]     D．(0，1)

解析：依题意得即0≤x＜1，因此函数g(x)的定义域是[0，1).

答案：A

3．下面四组函数中，表示同一个函数的是(　　)

A．y＝与y＝x

B．y＝()2与y＝|x|

C．y＝·与y＝

D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1

解析：在选项A中，前者的y属于非负数，后者的y≤0，两个函数的值域不同；在选项B中，前者的x≥0，后者的x∈R，定义域不同；在选项C中，前者的定义域为x≥1，后者的定义域为x≥1或x≤－1，定义域不同；在选项D中，两个函数是同一个函数．

答案：D

4．已知f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)等于(　　)

A．2x＋1     B．2x－1

C．2x－3     D．2x＋7

解析：因为f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，

所以g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，

所以g(x)＝2x－1.

答案：B

5．(2020·河北唐山模拟)若函数f(x)＝则f(f(2))等于(　　)

A．1               B．4 C．0                D．5－e2

解析：由题意知f(x)＝

则f(2)＝5－4＝1，f(1)＝e0＝1，

所以f(f(2))＝1.

答案：A

6．(2021·山西太原模拟)若函数f(x)满足f(1－ln x)＝，则f(2)等于(　　)

A．     B．e

C．     D．－1

解析：法一：令1－ln x＝t，则x＝e1－t，于是f(t)＝，即f(x)＝，故f(2)＝e.

法二：由1－ln x＝2，得x＝，这时＝＝e，

即f(2)＝e.

答案：B

7．(2021·浙江宁波模拟)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)

A．f(x)＝|x|     B．f(x)＝x－|x|

C．f(x)＝x＋1     D．f(x)＝－x

解析：对于选项A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；对于选项B，f(x)＝x－|x|＝

当x≥0时，f(2x)＝0＝2f(x)，当x＜0时，f(2x)＝4x＝2·2x＝2f(x)，恒有f(2x)＝2f(x)；

对于选项D，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)；对于选项C，f(2x)＝2x＋1＝2f(x)－1.

答案：C

8．已知函数f(x)＝若f(2 019)＝0，则a＝(　　)

A．0     B．－1

C．1     D．－2

解析：由于f(2 019)＝f(－2 019)＝f(－404×5＋1)＝f(1)＝a＋1＝0，故a＝－1.

答案：B

9．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)

A．y＝     B．y＝

C．y＝     D．y＝

解析：取特殊值法，若x＝56，则y＝5，排除选项CD；若x＝57，则y＝6，排除选项A.

答案：B

10．已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：

①y＝x－；②y＝x＋；③y＝

其中满足“倒负”变换的函数是(　　)

A．①②     B．①③

C．②③     D．①

解析：对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足；对于③，f＝即f＝

故f＝－f(x)，满足．

综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.

答案：B

11．(2021·甘肃兰州质检)已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则函数的定义域为(　　)

A．{x|x∈R}     B．{x|x＞0}

C．{x|0＜x＜5}     D．

解析：由题意知解得＜x＜5.

答案：D

12．设函数f(x)＝若f＝4，则b＝(　　)

A．1     B．

C．     D．

解析：f＝3×－b＝－b，

当－b≥1，即b≤时，f＝2－b，

即2－b＝4＝22，得到－b＝2，即b＝；

当－b＜1，即b＞时，f＝－3b－b＝－4b，

即－4b＝4，得到b＝＜，舍去．

综上，b＝.

答案：D

13．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，则f(x)的解析式为________________．

解析：由题意设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，∴解得或故所求解析式为f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1.

答案：f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1

14．(2020·青岛模拟)函数f(x)＝＋ln (x＋2)的定义域为________．

解析：由解得－2＜x＜3，

所以函数f(x)＝＋ln (x＋2)的定义域为(－2，3).

答案：(－2，3)

15．已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝________，f(x)的值域为________．

解析：f(－1)＝2－1＝，f＝1－＝，

故f(f(－1))＝，

当x＞0时，f(x)＝1－x3为减函数，所以f(x)＜f(0)＝1，

当x≤0时，函数f(x)＝2x为增函数，所以0＜f(x)≤1，

综上，函数f(x)的值域为(－∞，1].

答案：　(－∞，1]

16．已知函数f(x)＝若f(1)＝，则f(3)＝________．

解析：由f(1)＝，可得a＝，所以f(3)＝＝.

答案：

[B组　素养提升练]

1．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为(　　)

A．－     B．－

C．－或－     D．或－

解析：当a＞0时，1－a＜1，1＋a＞1.

由f(1－a)＝f(1＋a)得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－，不合题意；当a＜0时，1－a＞1，1＋a＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－，所以a的值为－.

答案：B

2．已知函数f(x)＝的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3]     B．[－3，0)

C．[－3，－1]     D．{－3}

解析：当0≤x≤4时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴f(x)∈[－8，1]；当a≤x＜0时，

f(x)＝－为增函数，

f(x)∈，

∴⊆[－8，1]，－8≤－＜－1，

∴≤2a＜1.

即－3≤a＜0.

答案：B

3．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．

解析：因为函数y＝的定义域为R，

所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，

即函数y＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点，

当a＝0时，函数y＝3的图象与x轴无交点；

当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a＜0，解得0＜a＜3.

综上，实数a的取值范围是[0，3).

答案：[0，3)

4．设函数f(x)的定义域为D.若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的五个函数：

①f(x)＝x2；②f(x)＝；③f(x)＝ln (2x＋3)；

④f(x)＝2x－2－x；⑤f(x)＝2sin x－1，

其中是“美丽函数”的序号有________．

解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x).故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．

①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；

②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；

③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；

④中函数的值域为R，值域关于原点对称，故④符合题意；

⑤中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故⑤不符合题意．

答案：②③④