高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六节对数函数课时规范练理含解析新人教版

第六节 对数函数

[A组　基础对点练]

1．函数y＝的定义域是(　　)

A．(－∞，2)     B．(2，＋∞)

C．(2，3)∪(3，＋∞)     D．(2，4)∪(4，＋∞)

解析：要使函数有意义，应满足

即解得x＞2且x≠3.

答案：C

2．设a＝，b＝log2，c＝log3，则(　　)

A．a＞b＞c     B．a＞c＞b

C．b＞c＞a     D．c＞a＞b

解析：∵b＝－log32∈(－1，0)，c＝－log23＜－1，a＝＞0，∴a＞b＞c.

答案：A

3．(2020·河南焦作模拟)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)

解析：若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y＝loga|x|的大致图象如图所示．

答案：B

4．设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则(　　)

A．a＞b＞c     B．a＞c＞b

C．b＞a＞c     D．b＞c＞a

解析：因为a＝log3π＞log33＝1，b＝log2＜log22＝1，所以a＞b，又＝＝(log23)2＞1，b＞0，c>0，所以b＞c，故a＞b＞c.

答案：A

5．已知a＝log29－log2，b＝1＋log2，c＝＋log2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＞b＞c     B．b＞a＞c

C．c＞a＞b     D．c＞b＞a

解析：a＝log29－log2＝log2(3)，

b＝1＋log2＝log2(2)，c＝＋log2＝log2，

因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2＞3＞，所以b＞a＞c.

答案：B

6．已知函数f(x)＝lg .若f(a)＝，则f(－a)＝(　　)

A．2    B．－2

C．    D．－

解析：∵f(x)＝lg 的定义域为{x|－1<x<1}，

∴f(－x)＝lg ＝－lg ＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)＝－.

答案：D

7．设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是(　　)

A．f(a＋1)＞f(2)     B．f(a＋1)＜f(2)

C．f(a＋1)＝f(2)     D．不能确定

解析：因为f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，所以0＜a＜1，所以1＜a＋1＜2，而f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以有f(a＋1)＞f(2).

答案：A

8．(2021·福建福州模拟)函数y＝lg |x－1|的图象是(　　)

解析：因为y＝lg |x－1|＝

当x＝1时，函数无意义，故排除选项BD.

又当x＝2或0时，y＝0，所以选项A符合题意．

答案：A

9．若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则a的取值范围是(　　)

A．(0，1)     B．

C．     D．(0，1)∪(1，＋∞)

解析：由题意得a＞0，故必有a2＋1＞2a，

又loga(a2＋1)＜loga2a＜0，∴0＜a＜1，

同时2a＞1，∴a＞.

综上，a∈.

答案：C

10．(2021·河南洛阳尖子生联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(31)＝(　　)

A．0     B．1

C．－1     D．2

解析：由f(x＋1)＝f(1－x)及f(－x)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(31)＝f(4×8－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.

答案：C

11．已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则(　　)

A．f(x)在(0，2)单调递增

B．f(x)在(0，2)单调递减

C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称

D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称

解析：由题意知，f(x)＝ln x＋ln (2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln [x(2－x)]＝ln [－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除选项AB；又f＝ln ＋ln ＝ln ，f＝ln ＋ln ＝ln ，所以f＝f＝ln ，其不关于点(1，0)对称，所以排除选项D.

答案：C

12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　)

A．[1，2]     B．

C．     D．(0，2]

解析：因为loga＝－log2a，且f(x)是偶函数，所以f(log2a)＋f(loga)＝2f(log2a)＝2f(|log2a|)≤2f(1)，

即f(|log2a|)≤f(1)，又函数在[0，＋∞)上单调递增，所以0≤|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2.

答案：C

13．lg ＋lg ＝________．

答案：1

14．已知a＞b＞1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________．

解析：令logab＝t，∵a＞b＞1，∴0＜t＜1，由logab＋logba＝得，t＋＝，解得t＝或t＝2(舍去)，即logab＝，∴b＝，又ab＝ba，∴a＝()a，即a＝a，即＝，解得a＝4，∴b＝2.

答案：4　2

15．函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为________．

解析：由题意知0＜－x2＋2≤2＝2，结合对数函数图象(图略)，知f(x)∈，故答案为.

答案：

[B组　素养提升练]

1．(2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝ lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)

A．1010.1     B．10.1

C．lg 10.1     D．10－10.1

解析：由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg ，所以lg ＝10.1，所以＝1010.1.

答案：A

2．已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则(　　)

A．πe＜3e     B．3e－2π＜3πe－2

C．logπe＞log3e     D．πlog3e＞3logπe

解析：对于选项A，函数y＝xe在(0，＋∞)上单调递增，所以πe＞3e，故选项A错误．对于选项B，3e－2π＜3πe－2，两边同时除以3π可得3e－3＜πe－3，由函数y＝xe－3在(0，＋∞)上单调递减可得选项B错误．对于选项C，由logπe＞log3e可得＞，所以ln π＜ln 3，而函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，故选项C错误．对于选项D，由πlog3 e＞3logπ e可得＞，所以πln π＞3ln 3，所以ππ＞33，故选项D正确．

答案：D

3．若函数f(x)＝loga(x2－2x＋a)有最小值，则实数a的值等于________．

解析：令g(x)＝x2－2x＋a，则f(x)＝loga[g(x)].

①若a＞1，由于函数f(x)有最小值，则g(x)应有最小值，而g(x)＝x2－2x＋a＝(x－)2＋a－6，

当x＝时，取最小值a－6，

因此有解得a＝9或a＝4(舍).

②若0＜a＜1，由于函数f(x)有最小值，

则g(x)应有最大值，

而g(x)不存在最大值，不符合题意．综上，实数a＝9.

答案：9

4．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间上的最大值．

解析：(1)∵f(1)＝2，

∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)，

∴a＝2.

由得x∈(－1，3)，

∴函数f(x)的定义域为(－1，3).

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)

＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，

∴当x∈时，f(x)是增函数；

当x∈时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.

5．已知函数f(x)＝log(x2－2mx＋5).

(1)若f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；

(2)若f(x)在(－∞，2]内为增函数，求实数m的取值范围．

解析：(1)由f(x)的值域为R，可得u＝x2－2mx＋5能取得(0，＋∞)内的一切值，

故函数u＝x2－2mx＋5的图象与x轴有公共点，

所以Δ＝4m2－20≥0，解得m≤－或m≥.

故实数m的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞).

(2)因为f(x)在(－∞，2]内为增函数，

所以u＝x2－2mx＋5在(－∞，2]内单调递减且恒正，

所以解得2≤m＜.

故实数m的取值范围为.