高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第八节函数与方程课时规范练理含解析新人教版

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第八节 函数与方程

[A组　基础对点练]
1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A．，0 B．－2，0
C． D．0
解析：当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0．
答案：D
2．(2021·江西赣中南五校联考)函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(－2，－1) D．(－1，0)
解析：∵f(－2)＝－，f(－1)＝－，
f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，
∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0，
f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0.
答案：D
3．函数f(x)＝的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：当x＞0时，由ln x＝0可得x＝1，当x≤0时，由－x(x＋2)＝0，即x＝－2或x＝0，故函数的零点个数为3.
答案：D
4．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A.(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：令y1＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＝(x－b)·[2x－(a＋c)]，y2＝－(x－c)(x－a)，由a 答案：A
5．(2020·宁夏育才中学模拟)已知函数f(x)＝(a∈R).若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(－1，0) D．[－1，0)
解析：当x＞0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝，所以只需要当x≤0时，ex＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a.当x≤0时，ex∈(0，1]，所以－a∈(0，1]，即a∈[－1，0).
答案：D
6．函数y＝ln x＋x－－2的零点所在的区间为(　　)
A． B．(1，2)
C．(2，e) D．(e，3)
解析：由题意可知，函数y＝ln x＋x－－2的零点，即为两个函数y＝ ln x与y＝－x＋＋2的交点，又因为y＝ln x为增函数，故交点只有一个．因为f(2)＝ln 2＋2－－2＝ln 2－＜0，f(e)＝ln e＋e－－2＝＋(e－2)＞0，所以f(2)f(e)＜0，故函数y＝ln x＋x－－2的零点在区间(2，e)内．
答案：C
7．(2021·贵州贵阳模拟)函数f(x)＝lg x－sin x在(0，＋∞)上的零点个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：函数f(x)＝lg x－sin x的零点个数，即函数y＝lg x的图象和函数y＝sin x的图象的交点个数(图略)，显然，函数y＝lg x的图象和函数y＝sin x的图象的交点个数为3.
答案：C
8．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1，1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)
C．(－3，1) D．(1，＋∞)
解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1.
答案：A
9．(2021·内蒙古模拟)已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－1，0) B．{－1}∪(0，＋∞)
C．[－1，0)∪(0，＋∞) D．(0，1)
解析：在同一直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m＞0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点．

答案：B
10．已知函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：由题意得，当x＜1时，令3x－1＝0，得x＝；当x≥1时，令2x2－ax＝0得x＝.要使函数有两个不同的零点，则只需≥1，解得a≥2.
答案：C
11．已知函数f(x)＝则函数f(x)在(－6，＋∞)上的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意知函数f(x)＝
在(－6，＋∞)上有零点，则或解得x＝2或x＝4或x＝e－6，即函数f(x)在(－6，＋∞)上的零点个数为3.
答案：C
12．设函数f(x)＝若f(x)－b＝0有三个不等实数根，则b的取值范围是(　　)
A．(0，10] B．
C． D．(1，10]
解析：当x≤0时，f(x)≥10，数形结合可得1＜b≤10.

答案：D
13．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2 x＋x的零点依次为a，b，c，则(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
解析：法一：由于f(－1)＝－1＝－＜0，f(0)＝1＞0，且f(x)为R上的增函数，故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1，0).因为g(2)＝0，所以g(x)的零点b＝2.因为h＝－1＋＝－＜0，h(1)＝1＞0，
且h(x)为(0，＋∞)上的增函数，
所以h(x)的零点c∈，
因此a＜c＜b.
法二：如图所示，在同一直角坐标系中，作出函数y1＝2x，y2＝－2，y3＝log2x，y4＝－x的图象，y1，y2，y3与y4图象交点的横坐标分别为a，b，c，由图知a＜c＜b.

答案：B
14．已知函数f(x)＝a∈R.若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．[－1，0) D．(0，1]
解析：因为当x＞0时，f(x)＝2x－1，由f(x)＝0得x＝，所以要使f(x)在R上有两个零点，则必须2x－a＝0在(－∞，0]上有一解，又当x∈(－∞，0]时，2x∈(0，1]，故所求a的取值范围是(0，1].
答案：D
15．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，实数a的取值范围为________．
解析：∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，
∴方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，
∴a＝4x－2x＝－.
∵x∈[－1，1]，
∴2x∈，
∴－∈，
即a∈.
答案：
16．已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝mx＋1.若f(x)与g(x)的图象上存在关于直线y＝1对称的点，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意知f(x)与g(x)的图象上存在关于直线y＝1对称的点，又g(x)＝mx＋1的图象关于直线y＝1对称的图象的解析式为y＝－mx＋1，则直线y＝－mx＋1与y＝2ln x的图象在上有交点，直线y＝－mx＋1过定点(0，1)，当直线y＝－mx＋1经过点时，得m＝3e，若直线y＝－mx＋1与y＝2ln x的图象相切，设切点为(x1，y1)，则
解得
∴－≤m≤3e时，直线y＝－mx＋1与y＝2ln x的图象在上有交点，
即f(x)与g(x)的图象上存在关于直线y＝1对称的点，
故实数m的取值范围是[－2e－，3e].
答案：[－2e－，3e]
[B组　素养提升练]
1．已知a，b∈R，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝2x＋1⊗(2－4x)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(0，2)∪(2，3)
C．(0，2) D．(0，－1)∪(－1，2)
解析：若2x＋1－(2－4x)≤1，则(2x)2＋2·2x－3≤0，即2x≤1，解得x≤0；若2x＋1－(2－4x)＞1，则(2x)2＋2·2x－3＞0，解得2x＞1或2x＜－3(舍去)，即x＞0，∴f(x)＝作出函数f(x)的图象和y＝c的图象如图所示．∵y＝f(x)－c有两个零点，∴f(x)＝c有两个解，∴0＜c＜1.

答案：A
2．定义在R上的偶函数f(x)满足：当x＞0时，f(x＋3)＝f(x).当0≤x≤3时，f(x)＝2|x－2|，则函数g(x)＝f(x)＋x－的零点的个数是(　　)
A．6 B．7
C．8 D．无数个
解析：函数g(x)＝f(x)＋x－的零点个数即为函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x的交点个数．由当x＞0时，f(x＋3)＝f(x)可知，函数f(x)在x＞0时，图象向右平移3个单位长度后，函数值变为原来的.由当0≤x≤3时，f(x)＝2|x－2|可知f(x)＝所以函数f(x)的大致图象如图所示．由图象可知函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x共有7个交点．

答案：B
3．已知a为正实数，f(x)＝若∃x1，x2∈R，使得f(x1)＝f(x2)，则实数a的取值范围是________．
解析：因为a＞0，所以抛物线y＝x2＋ax＋3的对称轴在y轴左侧，所以函数y＝x2＋ax＋3在[0，＋∞)上单调递增，且当x＝0时有最小值为3.又函数y＝2x＋a在(－∞，0)上为增函数．若∃x1，x2∈R，使得f(x1)＝f(x2)，只需20＋a＞3，解得a＞2，则实数a的取值范围为(2，＋∞).
答案：(2，＋∞)
4．已知函数f(x)＝ln x＋(a∈R).若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
解析：函数f(x)＝ln x＋(a∈R)的定义域为(0，＋∞)，要使函数f(x)＝ln x＋(a∈R)有两个零点，则方程x2ln x＝－a有两个正实根．令g(x)＝x2ln x，则g′(x)＝2x ln x＋＝x(2ln x＋1).

令g′(x)＝0，可得x＝，所以g(x)在上单调递减，在上单调递增，因此函数g(x)在x＝处取得最小值－.作出函数g(x)的图象如图所示．要使g(x)＝x2ln x的图象与直线y＝－a有两个交点，则－a∈，即实数a的取值范围是.
5．据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为时间t内台风所经过的路程s(单位：km).

(1)当t＝4时，求s的值；
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场台风是否会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多长时间将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
解析：(1)由图象可知，线段OA的方程是v＝3t(0≤t≤10).
当t＝4时，v＝12，所以s＝×4×12＝24.
(2)当0≤t≤10时，s＝×t×3t＝t2；
当10＜t≤20时，s＝×10×30＋(t－10)×30＝30t－150；
当20＜t≤35时，线段BC的方程是v＝－2t＋70(0≤t≤35).
s＝150＋300＋×(t－20)×(－2t＋70＋30)＝－t2＋70t－550.
综上可知，s随t变化的规律是
s＝
(3)会，在台风发生30 h后将侵袭到N城．
当t∈[0，10]时，smax＝×102＝150＜650，
当t∈(10，20]时，smax＝30×20－150＝450＜650，
当t∈(20，35]时，令－t2＋70t－550＝650，解得t＝30或t＝40(舍去)，
即在台风发生30 h后将侵袭到N城．