高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第三节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课时规范练理含解析新人教版

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[A组　基础对点练]

1．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　)

A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x＜0

B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0

C．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0＜0

D．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0

答案：C

2．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是(　　)

A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1

B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1

C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1

D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1

解析：该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可．

答案：A

3．下列命题中是假命题的是(　　)

A．∃x0∈R，log2x0＝0

B．∃x0∈R，cos x0＝1

C．∀x∈R，x2＞0

D．∀x∈R，2x＞0

解析：因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项AB均为真命题；02＝0，选项C为假命题；∀x∈R，2x＞0恒成立，选项D为真命题．

答案：C

4．(2021·双鸭山模拟)“若a≥，则∀x≥0，都有f(x)≥0成立”的逆否命题是(　　)

A．若∃x≥0，有f(x)＜0成立，则a＜

B．若∃x＜0，f(x)≥0，则a＜

C．若∀x≥0，都有f(x)＜0成立，则a＜

D．若∃x＜0，有f(x)＜0成立，则a＜

解析：由题意知，命题的逆否命题是“若∃x≥0，有f(x)＜0成立，则a＜”．

答案：A

5．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨q中，真命题是(　　)

A．①③     B．①④

C．②③     D．②④

解析：由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③¬q为真命题，则p∧(¬q)为真命题，④¬p为假命题，则(¬p)∨q为假命题．

答案：C

6．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是(　　)

A．p∨q     B．p∧q

C．(¬p)∧(¬q)     D．p∨(¬q)

解析：命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，是假命题；q：若a∥b，b∥c，则a∥c，是真命题．因此p∨q是真命题，其他选项都不正确．

答案：A

7．已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(4，＋∞)     B．(0，4)

C．(－∞，4]     D．[0，4)

解析：∀x∈R，ax2＋4x＋1＞0，恒成立，

当a＝0时，显然不成立，

当时，a＞4，

故原命题为假时，其解集为(－∞，4].

答案：C

8．若命题“∃x0∈R，使得x＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是(　　)

A．[2，6]     B．[－6，－2]

C．(2，6)     D．(－6，－2)

解析：由题意知不等式x2＋mx＋2m－3≥0对一切x∈R恒成立，所以Δ＝m2－4(2m－3)≤0，解得2≤m≤6，所以实数m的取值范围是[2，6].

答案：A

9．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x＋1，则下列关于f(x)，g(x)的语句为假命题的是(　　)

A．∀x∈R，f(x)>g(x)

B．∃x1，x2∈R，f(x1)<g(x2)

C．∃x0∈R，f(x0)＝g(x0)

D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f(x0)－g(x0)≤f(x)－g(x)

解析：设F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝ex－1，于是当x<0时F′(x)<0，F(x)单调递减；当x>0时F′(x)>0，F(x)单调递增，从而F(x)有最小值F(0)＝0，于是可以判断选项A为假命题，其余选项为真命题．

答案：A

10．下列说法正确的是(　　)

A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”

B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件

C．命题“∃x0∈R，x＋x0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1＜0”

D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题

解析：选项A中，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故选项A不正确；选项B中，由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或x＝6，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故选项B不正确；选项C中，“∃x0∈R，x＋x0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，故选项C不正确；选项D中，命题“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，因此其逆否命题为真命题，选项D正确．

答案：D

11．下列命题中的假命题是(　　)

A．∀x∈R，2x＞0     B．∀x∈N*，(x－1)2＞0

C．∃x0∈R，lg x0＜1     D．∃x0∈R，tan x0＝

解析：对于选项A，因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以选项A正确；对于选项B，当x＝1时，(x－1)2＝0，所以选项B错误；对于选项C，当x＝1时，lg  1＝0＜1，所以选项C正确；对于选项D，当x＝时，tan x＝，所以选项D正确．

答案：B

12．已知命题p：若△ABC为锐角三角形，则sin A<cos B；命题q：∀x，y∈R，若x＋y≠5，则x≠－1或y≠6.下列命题为真命题的是(　　)

A．p∨(¬q)     B．(¬p)∧q

C．p∧q     D．(¬p)∧(¬q)

解析：命题p：若△ABC为锐角三角形，则0<C<，所以π>A＋B>，因此>A>－B>0，则sin A>sin ＝cos B，可知p是假命题；

命题q：∀x，y∈R，若x＋y≠5，则x≠－1或y≠6的逆否命题是∀x，y∈R，若x＝－1且y＝6，则x＋y＝5，是真命题，因此原命题q是真命题，所以(¬p)∧q为真命题．

答案：B

13．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．

则下列命题为真命题的是__________．(填序号)

①p∧(¬q)；②(¬p)∧q；

③(¬p)∧(¬q)；④p∧q.

解析：命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题¬q为真命题，所以p∧(¬q)为真命题．

答案：①

14．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

解析：由题意可知，只需m≥tan x的最大值．

∵x∈时，y＝tan x为增函数，当x＝时，y＝tan x取最大值1，

∴m≥1.

答案：1

[B组　素养提升练]

1．已知命题p：对任意x∈(0，＋∞)，log4x＜log8x；命题q：存在x∈R，使得tan x＝1－3x，则下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q     B．(¬p)∧(¬q)

C．p∧(¬q)     D．(¬p)∧q

解析：当x＝1时，log4x＝log8x，所以命题p是假命题；函数y＝tan x的图象与y＝1－3x的图象有无数个交点，所以存在x∈R，使得tan x＝1－3x，即命题q是真命题，故(¬p)∧q是真命题．

答案：D

2．设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1，1]上单调递减；命题q：函数y＝ln (x2＋ax＋1)的值域是R.如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，3]     B．(－∞，－2]∪[2，3)

C．(2，3]     D．[3，＋∞)

解析：由函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1，1]上单调递减，得f′(x)＝3x2－a≤0在[－1，1]上恒成立，故a≥(3x2)max＝3，即a≥3；由函数y＝ln (x2＋ax＋1)的值域是R，得x2＋ax＋1能取到全体正数，故Δ＝a2－4≥0，解得a≤－2或a≥2.因为命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假，当p真q假时，可得{a|a≥3}∩{a|－2＜a＜2}＝∅，当p假q真时，可得{a|a＜3}∩{a|a≤－2或a≥2}＝{a|a≤－2或2≤a＜3}．综上，可得实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，3).

答案：B

3．已知命题p：关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实根；命题q：∀x＞0，2x－a＞0.若“¬p”和“p∧q”都是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)     B．(－2，1]

C．(1，2)     D．(1，＋∞)

解析：方程x2＋ax＋1＝0无实根等价于Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2；∀x＞0，2x－a＞0等价于a＜2x在(0，＋∞)上恒成立，即a≤1.

又“¬p”是假命题，则p是真命题，又“p∧q”是假命题，则q是假命题，所以得1＜a＜2.

答案：C

4．命题p：若x>0，则x>a；命题q：若m≤a－2，则m<sin x(x∈R)恒成立．若p的逆命题，q的逆否命题都是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：命题p的逆命题是若x>a，则x>0，故a≥0.因为命题q的逆否命题为真命题，所以命题q为真命题，则a－2<－1，解得a<1，则实数a的取值范围是[0，1).

答案：[0，1)