高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第五节指数函数课时规范练理含解析新人教版

第五节 指数函数

[A组　基础对点练]

1．函数y＝(0.3)|x|(x∈R)的值域是(　　)

A．正实数     B．{y|y≤1}

C．{y|y≥1}     D．{y|0＜y≤1}

解析：因为|x|≥0，所以0＜(0.3)|x|≤1，即0＜y≤1.

答案：D

2．设a＞0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是(　　)

A．a     B．a

C．a     D．a

解析：＝＝＝＝a2－＝a.

答案：C

3．(2021·浙江镇海中学检测)不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标是(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，故函数y＝(a－1)2x－恒过定点.

答案：C

4．(2021·湖北武汉模拟)已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为(　　)

A．[9，81]     B．[3，9]

C．[1，9]     D．[1，＋∞)

解析：由f(x)的图象过点(2，1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2，4]上是增函数，所以f(x)min＝f(2)＝32－2＝1，f(x)max＝f(4)＝34－2＝9.

答案：C

5．函数f(x)＝ax－(a＞0，a≠1)的图象可能是(　　)

解析：当a＞1时，将y＝ax的图象向下平移个单位长度得f(x)＝ax－的图象，选项AB都不符合；当0＜a＜1时，将y＝ax的图象向下平移个单位长度得f(x)＝ax－的图象，而大于1，选项C不符合，选项D符合．

答案：D

6．(2020·茂名模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　)

解析：由函数f(x)的图象可知，－1<b<0，a>1，则g(x)＝ax＋b为增函数，当x＝0时，g(0)＝1＋b>0.

答案：C

7．若a＝40.9，b＝80.48，c＝，则(　　)

A．c＞a＞b     B．b＞a＞c

C．a＞b＞c     D．a＞c＞b

解析：a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝21.5，所以a＞c＞b.

答案：D

8．函数f(x)＝2x－2－x是(　　)

A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增

B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增

D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

解析：f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，f(x)的定义域为R，关于原点对称，所以函数f(x)是奇函数，排除选项CD.又函数y＝－2－x，y＝2x均是在R上的增函数，故f(x)＝2x－2－x在R上为增函数．

答案：A

9．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，2]     B．[2，＋∞)

C．[－2，＋∞)     D．(－∞，－2]

解析：由f(1)＝得a2＝，

又a>0，所以a＝，

因此f(x)＝.

因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，

所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞).

答案：B

10．设x＞0，且1＜bx＜ax，则(　　)

A．0＜b＜a＜1     B．0＜a＜b＜1

C．1＜b＜a     D．1＜a＜b

解析：∵1＜bx，∴b0＜bx.∵x＞0，∴b＞1.

∵bx＜ax，∴＞1.∵x＞0，∴＞1⇒a＞b，∴1＜b＜a.

答案：C

11．设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝的大小关系是(　　)

A．M＝N     B．M≤N

C．M＜N     D．M＞N

解析：因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a＞2，所以M＝(a－1)0.2＞1，N＝＜1，所以M＞N.

答案：D

12．(2021·四川绵阳质检)已知函数f(x)＝ax，其中a＞0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于(　　)

A．1     B．a

C．2     D．a2

解析：∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，∴x1＋x2＝0.又∵f(x)＝ax，∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1.

答案：A

13．计算(0.008 1)－－×[81－0.25＋]－－10×0.027＝________．

解析：原式＝－(3×1)－1×－10×[(0.3)3]

＝－×－10×[(0.3)3]

＝－－3＝0.

答案：0

14．方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________．

解析：作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m的取值范围是(0，＋∞).

答案：(0，＋∞)

15．若f(x)＝x－x－，则满足f(x)＜0的x的取值范围是________．

解析：令y1＝x，y2＝x－，f(x)<0即为y1＜y2，在同一平面直角坐标系中作出函数y1＝x，y2＝x－的图象如图所示．

由函数图象知，当0＜x＜1时，y1＜y2，所以满足f(x)＜0的x的取值范围是(0，1).

答案：(0，1)

16．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．

解析：当a＞1时，由f(x)的单调性知，a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意；当0＜a＜1时，则a－1＝4，a2＝m，故a＝，m＝，g(x)＝ 在[0，＋∞)上是增函数，符合题意．

答案：

[B组　素养提升练]

1．设f(x)＝|3x－1|，c＜b＜a，且f(c)＞f(a)＞f(b)，则下列关系中一定成立的是(　　)

A．3c＞3a

B．3c＞3b

C．3c＋3a＞2

D．3c＋3a＜2

解析：画出f(x)＝|3x－1|的图象，如图所示，要使c＜b＜a，且f(c)＞f(a)＞f(b)成立，则有c＜0，且a＞0.由y＝3x的图象可得0＜3c＜1＜3a，

∵f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1，

f(c)＞f(a)，∴1－3c＞3a－1，即3a＋3c＜2.

答案：D

2．设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)     B．(1，＋∞)

C．(－3，1)     D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

解析：当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为－7＜1，

即＜8，即＜，

因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；

当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为＜1，

所以0≤a＜1，故a的取值范围是(－3，1).

答案：C

3．设a＞0，b＞0，(　　)

A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b

B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b

C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b

D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b

解析：因为函数y＝2x＋2x为单调递增函数，若2a＋2a＝2b＋2b，则a＝b，若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b.

答案：A

4．已知函数f(x)＝ex，若关于x的不等式[f(x)]2－2f(x)－a≥0在[0，1]上有解，则实数a的取值范围是________．

解析：由[f(x)]2－2f(x)－a≥0在[0，1]上有解，可得a≤[f(x)]2－2f(x)，即a≤e2x－2ex.令g(x)＝e2x－2ex(0≤x≤1)，则a≤g(x)max.因为0≤x≤1，所以1≤ex≤e，则当ex＝e，即x＝1时，g(x)max＝e2－2e，即a≤e2－2e，故实数a的取值范围为(－∞，e2－2e].

答案：(－∞，e2－2e]

5．(2021·山西吕梁期末)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m，n的值；

(2)若对于任意的t∈[－1，1]，不等式f(t2－2)＋f(2a－at)≥0恒成立，求实数a的取值范围．

解析：(1)因为f(x)是奇函数，且在原点处有意义，所以f(0)＝0，

即＝0，要使分式有意义，分母m＋2≠0，

所以n－1＝0，所以n＝1，所以f(x)＝.

又因为f(1)＝－f(－1)，所以＝－，

解得m＝2.

经检验，m＝2，n＝1符合题意．

(2)由(1)知f(x)＝＝－，

根据复合函数单调性同增异减，易知函数f(x)为减函数，

又因为f(x)是奇函数，所以f(t2－2)≥f(at－2a).

因为f(x)为减函数，得到t2－at＋2a－2≤0，所以对于任意的t∈[－1，1]，有t2－at＋2a－2≤0，令g(t)＝t2－at＋2a－2，

故解得a≤.

所以实数a的取值范围是.

6．已知函数f(x)＝.

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值；

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝，

令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.

则u在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，

而y＝在R上单调递减，

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，

即函数f(x)的单调递增区间是[－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).

(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，则y＝，

因为f(x)有最大值3，

所以h(x)有最小值－1，

因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.

(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.