高考数学一轮复习第三章第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式课时作业理含解析北师大版

同角三角函数的基本关系及诱导公式

授课提示：对应学生用书第301页

[A组　基础保分练]

1．（2021·辽宁五校联考）sin 1 470°＝（　　）

A．　　　　　　　　　 B．

C．－  D．－

解析：sin 1 470°＝sin（1 440°＋30°）＝sin（360°×4＋30°）＝sin 30°＝．

答案：B

2．若θ∈，则 ＝（　　）

A．sin θ－cos θ  B．cos θ－sin θ

C．±（sin θ－cos θ）  D．sin θ＋cos θ

解析：因为＝＝＝|sin θ－cos θ|，又θ∈，所以原式＝sin θ－cos θ．

答案：A

3．（2021·山东省实验中学第二次诊考）已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为（　　）

A．  B．－

C．  D．－

解析：∵sin θ＋cos θ＝，

∴1＋2sin θcos θ＝，

∴2sin θcos θ＝．故sin θ－cos θ＝－＝－＝－．

答案：B

4．已知α∈（0，π），且cos α＝－，则sin·tan（π＋α）＝（　　）

A．－  B．

C．－  D．

解析：sin·tan（π＋α）＝cos α·tan α＝sin α，因为α∈（0，π），且cos α＝－，所以sin α＝＝＝，即sin·tan（π＋α）＝．

答案：D

5．（2021·贵阳十二中期中测试）已知＝－，则的值是（　　）

A．  B．－

C．  D．－

解析：∵×＝＝＝1，

∴＝－．

答案：D

6．（2021·会宁一中月考）已知cos＝，则sin的值是（　　）

A．  B．－

C．  D．－

解析：易知sin＝sin＝sin＝sin＝－cos＝－．

答案：B

7．已知π<α<2π，cos（α－7π）＝－，则sin（3π＋α）·tan的值为_________．

解析：∵cos（α－7π）＝cos（7π－α）

＝cos（π－α）＝－cos α＝－，∴cos α＝．

∴sin（3π＋α）·tan＝sin（π＋α）·＝sin α·tan＝sin α·

＝sin α·＝cos α＝．

答案：

8．（2021·太原一中月考）已知sin（3π＋α）＝2sin，则的值为_________．

解析：∵sin（3π＋α）＝2sin，∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，∴tan α＝2，

∴＝＝－．

答案：－

9．已知cos＝，且π<x<π．

求：（1）cos x＋sin x的值；

（2）的值．

解析：（1）∵π<x<π，

∴π<x＋<2π，

∴sin<0．

∵cos＝，

∴sin＝－，

∴sin x＋cos x＝－，

∴sin x＋cos x＝－．

（2）∵cos＝cos x－sin x＝，

∴cos x－sin x＝，

∴sin x＝－，cos x＝－，

∴tan x＝7，

∴＝－．

10．（1）化简：；

（2）已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x的方程2x2＋（－1）x＋m＝0（m∈R）的两根，求sin θ－cos θ．

解析：（1）原式＝

＝＝－1．

（2）由题意可得，

sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，

可得（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ，

即＝1＋m，即m＝－．

∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0，

即sin θ－cos θ>0，∵（sin θ－cos θ）2

＝（sin θ＋cos θ）2－4sin θcos θ

＝－2m＝1－＋＝，

∴sin θ－cos θ＝＝．

[B组　能力提升练]

1．已知tan x＝，则sin xcos x＝（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：法一：∵tan x＝，∴＝，即cos x＝3sin x，又sin2x＋cos2x＝1，∴sin2x＝，又1＋2sin xcos x＝（sin x＋cos x）2＝16sin2x，∴sin x·cos x＝＝＝．

法二：∵tan x＝>0，∴sin x与cos x同号，∴sin xcos x>0，不妨设x是第一象限角，且角x终边上一点的坐标为（3，1），∴sin x＝，

cos x＝，∴sin xcos x＝．

答案：C

2．已知α为锐角，且2tan（π－α）－3cos＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin＝1，则sin β的值为（　　）

A．  B．

C．－  D．－

解析：由2tan（π－α）－3cos＋5＝0，化简得－2tan α＋3sin β＋5＝0；由tan（π＋α）＋6sin（π＋β）＝1，化简得tan α－6sin β＝1．联立方程得

解得sin β＝．

答案：A

3．（2021·聊城模拟）已知α为锐角，且2tan（π－α）－3cos＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，则sin α的值是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝．

答案：C

4．（2021·吉安期末测试）已知tan（－2 019π＋θ）＝－2，则2sinsin＝（　　）

A．－2  B．

C．  D．

解析：因为tan（－2 019π＋θ）＝－2，

所以tan θ＝－2．

则2sinsin

＝（sin θ－cos θ）（sin θ＋cos θ）

＝sin2θ－cos2θ＋（－1）sin θcos θ

＝

＝

＝

＝．

答案：B

5．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则等于（　　）

A．－  B．

C．0  D．

解析：∵角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，

∴tan θ＝3，∴＝＝＝．

答案：B

6．（2021·九江一中月考）已知cos＝，则cos－sin2＝_________．

解析：cos－sin2＝cos－sin2＝－cos－sin2＝cos2－cos－1＝－．

答案：－

7．已知函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），且f（4）＝3，则f（2 019）的值为_________．

解析：因为f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），

所以f（4）＝asin（4π＋α）＋bcos（4π＋β）

＝asin α＋bcos β＝3，

所以f（2 019）＝asin（2 019π＋α）＋bcos（2 019 π＋β）

＝asin（π＋α）＋bcos（π＋β）

＝－asin α－bcos β＝－3．

答案：－3

8．（2021·天津调研）已知α是第三象限角，且f（α）＝．

（1）化简f（α）；

（2）若tan（π－α）＝－2，求f（α）的值；

（3）若α＝－420°，求f（α）的值．

解析：（1）由题可得，

f（α）＝

＝＝－cos α．

（2）因为tan（π－α）＝－2，所以tan α＝2．

所以sin α＝2cos α．

所以（2cos α）2＋cos2 α＝1，所以cos2 α＝．

因为α是第三象限角，所以cos α＝－，

所以f（α）＝．

（3）因为cos（－420°）＝cos 420°＝cos 60°＝，

所以f（α）＝－cos α＝－．

[C组　创新应用练]

1．（2021·兰州质检）向量a＝，b＝（cos α，1），且a∥b，则cos＝（　　）

A．－  B．

C．－  D．－

解析：∵a＝，b＝（cos α，1），且a∥b，

∴×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝，

∴cos＝－sin α＝－．

答案：A

2．已知倾斜角为θ的直线与直线x－3y＋1＝0垂直，则＝（　　）

A．  B．－

C．  D．－

解析：直线x－3y＋1＝0的斜率为，因此与此直线垂直的直线的斜率k＝－3，

∴tan θ＝－3，

∴＝＝，

把tan θ＝－3代入得，原式＝＝．

答案：C

3．（2021·长春四校第一次联考）已知－＜φ＜π，cos为函数f（x）＝x2－x＋的零点，则tan（－φ）的值为_________．

解析：因为函数f（x）＝x2－x＋＝，所以函数f（x）的零点为x＝，所以cos＝－sin φ＝，得sin φ＝－＜0．又－＜φ＜π，所以－＜φ＜0，所以cos φ＝，于是tan（－φ）＝－tan φ＝－＝－＝．

答案：