高考数学一轮复习第三章第四节三角函数的图像与性质课时作业理含解析北师大版

第四节 三角函数的图像与性质

授课提示：对应学生用书第307页

[A组　基础保分练]

1．下列函数中，周期为π的奇函数为（　　）

A．y＝sin xcos x　　　　　 B．y＝sin2x

C．y＝tan 2x  D．y＝sin 2x＋cos 2x

解析：y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B、C、D三项都不正确．

答案：A

2．y＝|cos x|的一个单调递增区间是（　　）

A．  B．[0，π]

C．  D．

解析：将y＝cos x的图像位于x轴下方的图像关于x轴对称，x轴上方（或x轴上）的图像不变，即得y＝|cos x|的图像（如图）．

答案：D

3．（2021·广州模拟）函数f（x）＝sin（x＋φ）在区间上单调递增，常数φ的值可能是（　　）

A．0  B．

C．π  D．

解析：由函数f（x）＝sin x的图像可以看出，要使函数f（x）＝sin（x＋φ）在区间上单调递增，结合选项，经验证知，需将f（x）＝sin x的图像向左平移个单位长度，故选项D正确．

答案：D

4．（2021·石家庄质检）已知函数f（x）＝sin＋cos 2x，则f（x）的一个单调递减区间是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：f（x）＝sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin．由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈N），所以f（x）的一个单调递减区间为．

答案：A

5．已知函数y＝2cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是（　　）

A．2  B．3

C．＋2  D．2－

解析：因为x∈，所以cos x∈，故y＝2cos x的值域为[－2，1]，所以b－a＝3．

答案：B

6．若函数f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）为奇函数，且在上为减函数，则θ的一个值为（　　）

A．－  B．－

C．  D．

解析：由题意得f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）＝2sin．因为函数f（x）为奇函数，所以θ＋＝kπ，k∈Z，故θ＝－＋kπ，k∈Z．当θ＝－时，f（x）＝2sin 2x，在上为增函数，不合题意．当θ＝时，f（x）＝－2sin 2x，在上为减函数，符合题意．

答案：D

7．若函数f（x）＝sin ωx（ω>0）在区间上是减少的，则ω的取值范围是_________．

解析：令＋2kπ≤ωx≤π＋2kπ（k∈Z），得＋≤x≤＋，因为f（x）在上是减少的，所以得6k＋≤ω≤4k＋3．又ω>0，所以k≥0，又6k＋<4k＋3，得0≤k<，所以k＝0．即≤ω≤3．

答案：

8．已知函数f（x）＝2sin＋1（x∈R）的图像的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈（1，2），则函数f（x）的最小正周期为_________．

解析：由函数f（x）＝2sin＋1（x∈R）的图像的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，

所以ω＝k＋，又ω∈（1，2），所以ω＝，从而得函数f（x）的最小正周期为＝．

答案：

9．已知函数f（x）＝－sin2x＋sin xcos x．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）求函数f（x）在x∈上的值域．

解析：f（x）＝－sin2x＋sin xcos x

＝－×＋sin 2x

＝sin 2x＋cos 2x－

＝sin－．

（1）T＝＝π．

（2）∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，

∴－≤sin≤1．

∴f（x）在x∈上的值域为．

[B组　能力提升练]

1．（2021·六安一中月考）y＝2sin的单调递增区间为（　　）

A．（k∈Z）

B．（k∈Z）

C．（k∈Z）

D．（k∈Z）

解析：∵函数可化为y＝－2sin，

∴2kπ＋≤2x－≤2kπ＋（k∈Z）．

即kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z）．

答案：B

2．（2021·衡水质检）同时满足f（x＋π）＝f（x）与f＝f的函数f（x）的解析式可以是（　　）

A．f（x）＝cos 2x  B．f（x）＝tan x

C．f（x）＝sin x  D．f（x）＝sin 2x

解析：由题意得所求函数的周期为π，且图像关于x＝对称．

A．f（x）＝cos 2x的周期为π，而f＝0不是函数的最值．

所以其图像不关于x＝对称．

B．f（x）＝tan x的周期为π，但图像不关于x＝对称．

C．f（x）＝sin x的周期为2π，不合题意．

D．f（x）＝sin 2x的周期为π，且f＝1为函数最大值，

所以D满足条件．

答案：D

3．（2021·沈阳教学质量监测）函数y＝sin2 x＋2sin xcos x＋3cos2x，x∈的单调递增区间是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：把函数的解析式变形，得y＝＋sin 2x＋3×＝2＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋2．若x∈，则2x＋∈，由<2x＋<，得0<x<，则函数的单调递增区间是．

答案：C

4．（2021·晋城模拟）已知函数f（x）＝2sin的图像的一个对称中心为，其中ω为常数，且ω∈（1，3）．若对任意的实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1－x2|的最小值是（　　）

A．1  B．

C．2  D．π

解析：因为函数f（x）＝2sin的图像的一个对称中心为，所以ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k－1，k∈Z，由ω∈（1，3），得ω＝2．由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即＝＝．

答案：B

5．设函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），若f＝2，f＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则φ＝_________．

解析：由f（x）的最小正周期大于2π，得>．又f＝2，f＝0，得＝－＝，所以T＝3π，则＝3π⇒ω＝，所以f（x）＝2sin（ωx＋φ）＝2sin．

由f＝2sin＝2⇒sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z．又|φ|<，取k＝0，得φ＝．

答案：

6．已知函数f（x）＝sin ωx＋cos ωx（ω>0），f＋f＝0，且f（x）在区间上递减，则ω＝_________．

解析：因为f（x）＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，

由＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，

得＋≤x≤＋，因为f（x）在区间上递减，所以⊆，从而有

解得12k＋1≤ω≤，k∈Z，

所以1≤ω≤．因为f＋f＝0，

所以x＝＝为f（x）＝2sin的一个对称中心的横坐标，

所以ω＋＝kπ（k∈Z），ω＝3k－1，k∈Z，

又1≤ω≤，所以ω＝2．

答案：2

7．（2021·绍兴期末测试）已知函数f（x）＝2sin x·，x∈．

（1）求f；

（2）求f（x）的最大值与最小值．

解析：（1）因为cos＝cos＝，sin＝，

所以f＝2××＝．

（2）f（x）＝2sin x·

＝2sin x·

＝sin 2x＋（1－cos 2x）＝sin＋．

因为x∈，所以2x－∈．又因为y＝sin z在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，当2x－＝，即x＝时，f（x）有最大值；当2x－＝－，即x＝0时，f（x）有最小值0．

[C组　创新应用练]

1．若函数y＝sin在x＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由题意得2ω＋＝＋2kπ（k∈Z），解得ω＝＋kπ（k∈Z），因为ω>0，所以当k＝0时，ωmin＝．

答案：D

2．（2021·太原模拟）已知函数f（x）＝sin ωx－cos ωx（ω>0）在（0，π）上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：法一：易得f（x）＝2sin，设t＝ωx－，因为0<x<π，所以－<t<ωπ－．因为函数f（x）在（0，π）上有且仅有两个零点，所以π<ωπ－≤2π，解得<ω≤．

法二：当ω＝2时，f（x）＝2sin，设t＝2x－，因为0<x<π，所以－<t<，此时函数f（x）在（0，π）上有且仅有两个零点x＝，，满足题意，只有选项B的取值范围中含有数值2．

答案：B

3．将函数y＝sin2x－cos2x的图像向左平移m（m>0）个单位长度以后得到的图像与函数y＝ksin xcos x（k>0）的图像关于对称，则k＋m的最小值是（　　）

A．2＋  B．2＋

C．2＋  D．2＋

解析：将函数y＝sin2x－cos2x＝－cos 2x的图像向左平移m个单位长度后对应图像的函数解析式为y＝－cos[2（x＋m）]＝－cos（2x＋2m）（m>0），此函数的图像与y＝ksin xcos x（k>0）的图像关于对称，设点P（x0，y0）为y＝－cos（2x＋2m）图像上任意一点，则y0＝－cos（2x0＋2m），点P（x0，y0）关于对称的点为Q，则点Q在y＝ksin xcos x＝sin 2x（k>0）的图像上，即－y0＝sin＝sin，由得sin＝cos（2x0＋2m），所以k＝2，sin＝cos（2x0＋2m），sin＝cos（2x0＋2m），cos＝cos（2x0＋2m），所以2m＝－＋2nπ（n∈Z），即m＝－＋nπ（n∈Z），又m>0，所以m的最小值为，故k＋m的最小值为2＋．

答案：D