高考数学一轮复习第二章第六节对数与对数函数课时作业理含解析北师大版

第六节 对数与对数函数

授课提示：对应学生用书第281页

[A组　基础保分练]

1.（2020·高考全国卷Ⅰ）设alog34＝2，则4－a＝（　　）

A.　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，所以4a＝32＝9，

所以4－a＝＝.

法二：因为alog34＝2，所以a＝＝2log43＝log432＝log49，所以4－a＝＝9－1＝.

答案：B

2.函数y＝的定义域是（　　）

A.[1，2]  B.[1，2）

C.  D.

解析：由

即解得x≥.

答案：C

3.（2021·吕梁模拟）已知a＝log35，b＝1.51.5，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是（　　）

A.c＜a＜b  B.c＜b＜a

C.a＜c＜b  D.a＜b＜c

解析：1＜a＝log35＝log325＜log327＝1.5，b＝1.51.5＞1.5，c＝ln 2＜1，所以c＜a＜b.

答案：A

4.已知x∈，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，那么（　　）

A.a＜b＜c  B.c＜a＜b

C.b＜a＜c  D.b＜c＜a

解析：由于＜x＜1，故x＞x2，故ln x＞ln x2＝2ln x，所以a＞b.c－a＝ln3x－ln x＝ln x（ln2x－1），由于ln x＜0，|ln x|＜ln 2＜1，ln2x－1＜0，所以ln x（ln2x－1）＞0，故c＞a.

答案：C

5.若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝log2a（x＋1）满足f（x）＞0，则实数a的取值范围是（　　）

A.  B.

C.  D.（0，＋∞）

解析：因为－1＜x＜0，所以0＜x＋1＜1.又因为f（x）＞0，所以0＜2a＜1，所以0＜a＜.

答案：A

6.（2021·西安模拟）设方程10x＝|lg（－x）|的两个根分别为x1，x2，则（　　）

A.x1x2＜0  B.x1x2＝0

C.x1x2＞1  D.0＜x1x2＜1

解析：作出y＝10x与 y＝|lg（－x）|的大致图像，如图所示.

显然x1＜0，x2＜0.

不妨令x1＜x2，

则x1＜－1＜x2＜0，

所以10x1＝lg（－x1），10x2＝－lg（－x2），

此时10x1＜10x2，即lg（－x1）＜－lg（－x2），

由此得lg（x1x2）＜0，所以0＜x1x2＜1.

答案：D

7.已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A的值是__________.

解析：由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝log7A，则＋＝＋＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，A2＝98.

又A＞0，故A＝＝7.

答案：7

8.已知函数f（x）＝log0.5（x2－ax＋3a）在[2，＋∞）上单调递减，则a的取值范围为__________.

解析：令g（x）＝x2－ax＋3a，

因为f（x）＝log0.5（x2－ax＋3a）在[2，＋∞）上单调递减，

所以函数g（x）在区间[2，＋∞）内单调递增，且恒大于0，

所以a≤2且g（2）＞0，

所以a≤4且4＋a＞0，所以－4＜a≤4.

答案：（－4，4]

9.设f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，且a≠1），且f（1）＝2.

（1）求a的值及f（x）的定义域；

（2）求f（x）在区间上的最大值.

解析：（1）因为f（1）＝2，所以loga4＝2（a＞0，且a≠1），所以a＝2.

由得－1＜x＜3，

所以函数f（x）的定义域为（－1，3）.

（2）f（x）＝log2（1＋x）＋log2（3－x）

＝log2[（1＋x）（3－x）]＝log2[－（x－1）2＋4]，

所以当x∈（－1，1]时，f（x）是增函数；

当x∈（1，3）时，f（x）是减函数，

故函数f（x）在上的最大值是f（1）＝log24＝2.

10.已知函数f（x）＝log4（ax2＋2x＋3）.

（1）若f（1）＝1，求f（x）的单调区间；

（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

解析：（1）∵f（1）＝1，∴log4（a＋5）＝1，得a＝－1，

故f（x）＝log4（－x2＋2x＋3）.

由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，函数定义域为（－1，3）.

令g（x）＝－x2＋2x＋3，

则g（x）在（－1，1）上递增，在（1，3）上递减，

又y＝log4x在（0，＋∞）上递增，

所以f（x）的单调递增区间是（－1，1），递减区间是（1，3）.

（2）假设存在实数a使f（x）的最小值为0，

则h（x）＝ax2＋2x＋3应有最小值1，

因此解得a＝.

故存在实数a＝使f（x）的最小值为0.

[B组　能力提升练]

1.函数f（x）＝|loga（x＋1）|（a＞0，且a≠1）的图像大致是（　　）

解析：函数f（x）＝|loga（x＋1）|的定义域为{x|x＞－1}，且对任意的x，均有f（x）≥0，结合对数函数的图像可知选C.

答案：C

2.函数y＝logax与y＝－x＋a在同一平面直角坐标系中的图像可能是（　　）

解析：当a＞1时，函数y＝logax的图像为选项B，D中过点（1，0）的曲线，此时函数y＝－x＋a的图像与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，选项B，D中的图像都不符合要求；

当0＜a＜1时，函数y＝logax的图像为选项A，C中过点（1，0）的曲线，此时函数y＝－x＋a的图像与y轴的交点的纵坐标a应满足0＜a＜1，选项A中的图像符合要求.

答案：A

3.已知函数f（x）＝|ln x|.若0＜a＜b，且f（a）＝f（b），则a＋4b的取值范围是（　　）

A.（4，＋∞）  B.[4，＋∞）

C.（5，＋∞）  D.[5，＋∞）

解析：由f（a）＝f（b）得|ln a|＝|ln b|，根据函数y＝|ln x|的图像及0＜a＜b，得－ln a＝ln b，0＜a＜1＜b，＝b.令g（b）＝a＋4b＝4b＋，易得g（b）在（1，＋∞）上单调递增，所以g（b）＞g（1）＝5，即a＋4b＞5.

答案：C

4.若log2x＝log3y＝log5z＜－1，则（　　）

A.2x＜3y＜5z  B.5z＜3y＜2x

C.3y＜2x＜5z  D.5z＜2x＜3y

解析：设log2x＝log3y＝log5z＝t，则t＜－1，x＝2t，y＝3t，z＝5t，因此2x＝2t＋1，3y＝3t＋1，5z＝5t＋1.又t＜－1，所以t＋1＜0，由幂函数y＝xt＋1的单调性可知5z＜3y＜2x.

答案：B

5.（2020·高考全国卷Ⅲ）已知55＜84，134＜85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（　　）

A.a＜b＜c  B.b＜a＜c

C.b＜c＜a  D.c＜a＜b

解析：∵log53－log85＝log53－＝＜＝＜＝0，

∴log53＜log85.∵55＜84，134＜85，∴5log85＜4，4＜5log138，∴log85＜log138，∴log53＜log85＜log138，即a＜b＜c.

答案：A

6.（2021·黄石模拟）已知x1＝log2，x2＝2，x3满足＝log3x3，则（　　）

A.x1＜x2＜x3  B.x1＜x3＜x2

C.x2＜x1＜x3  D.x3＜x1＜x2

解析：

由题意可知x3是函数y1＝与y2＝log3x的图像交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y1＝与y2＝log3x的图像，如图所示，由图像可知x3＞1，而x1＝log2＜0，0＜x2＝2＜1，所以x3＞x2＞x1.

答案：A

7.已知函数f（x）＝若存在实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围__________.

解析：由题意可得－log3a＝log3b＝c2－c＋8＝d2－d＋8，

可得log3（ab）＝0，故ab＝1.

结合函数f（x）的图像，在区间[3，＋∞）上，

令f（x）＝1可得c＝3，d＝7，cd＝21.

令f（x）＝0可得c＝4，d＝6，cd＝24.

故有21＜abcd＜24.

答案：（21，24）

[C组　创新应用练]

1.（2020·新高考全国卷）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝ert描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln 2≈0.69）（　　）

A.1.2天  B.1.8天

C.2.5天  D.3.5天

解析：由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，

得r＝＝＝0.38.

由题意，累计感染病倒数增加1倍，则I（t2）＝2I（t1），

即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38（t2－t1）＝2，即0.38（t2－t1）＝ln 2，∴t2－t1＝≈≈1.8.

答案：B

2.（2021·朝阳模拟）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度（单位mol/L，记作[H＋]）和氢氧根离子的物质的量浓度（单位mol/L，记作[OH－]）的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48）（　　）

A.  B.

C.  D.

解析：由题意可得pH＝－lg[H＋]∈（7.35，7.45），且[H＋]·[OH－]＝10－14，∴lg＝lg＝lg [H＋]2＋14＝2lg[H＋]＋14.∵7.35＜－lg[H＋]＜7.45，∴－7.45＜lg[H＋]＜－7.35，∴－0.9＜2lg[H＋]＋14＜－0.7，即－0.9＜lg＜－0.7.∵lg＝－lg 2≈－0.30，故A错误；lg＝－lg 3≈－0.48，故B错误；lg＝－lg 6＝－（lg 2＋lg 3）≈－0.78，故C正确；lg＝－1，故D错误.

答案：C

3.已知函数f（x）＝ln，若f（a）＋f（b）＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是__________.

解析：由题意可知ln＋ln＝0，

即ln＝0，从而·＝1，化简得a＋b＝1，

故ab＝a（1－a）＝－a2＋a＝－＋.又0＜a＜b＜1，

∴0＜a＜，故0＜－＋＜，

即ab∈.

答案：